Номер 12, страница 171 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

12. Перечислить свойства арифметического корня натуральной степени.

Арифметическим корнем натуральной степени $n \ge 2$ из неотрицательного числа $a$ называется такое неотрицательное число, $n$-я степень которого равна $a$.

Пусть $a \ge 0$, $b \ge 0$, а $n$, $m$, $k$ — натуральные числа, причем $n \ge 2$, $m \ge 2$.

1. Корень из произведения

Арифметический корень n-ой степени из произведения неотрицательных сомножителей равен произведению арифметических корней n-ой степени из этих сомножителей.

Ответ: $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$

2. Корень из частного (дроби)

Арифметический корень n-ой степени из дроби с неотрицательным числителем и положительным знаменателем равен частному от деления корня n-ой степени из числителя на корень n-ой степени из знаменателя.

Ответ: $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ (где $b > 0$)

3. Возведение корня в степень

Чтобы возвести арифметический корень в натуральную степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное выражение, оставив показатель корня без изменений.

Ответ: $(\sqrt[n]{a})^k = \sqrt[n]{a^k}$

4. Извлечение корня из корня

Чтобы извлечь корень из корня, нужно перемножить показатели корней, а подкоренное выражение оставить без изменений.

Ответ: $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$

5. Основное свойство корня

Если показатель корня и показатель степени подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то значение корня не изменится.

Ответ: $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$

6. Сравнение корней

Из двух неотрицательных чисел больше то, корень n-ой степени из которого больше. Для корней с одинаковым показателем $n$, больше тот корень, у которого подкоренное выражение больше.

Ответ: если $a < b$, то $\sqrt[n]{a} < \sqrt[n]{b}$

7. Корень n-ой степени из n-ой степени

Арифметический корень n-ой степени из неотрицательного числа $a$, возведенного в степень $n$, равен самому числу $a$. Важно помнить, что для четного $n$, если $a$ может быть любым действительным числом, то $\sqrt[n]{a^n} = |a|$. Но для арифметического корня $a$ по определению неотрицательно.

Ответ: $\sqrt[n]{a^n} = a$ (при $a \ge 0$)