Номер 10, страница 171 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

10. Каким методом можно доказать единственность арифметического корня из неотрицательного числа? Доказать единственность арифметического корня степени $n \ge 2$ из неотрицательного числа $a$.

Каким методом можно доказать единственность арифметического корня из неотрицательного числа?

Для доказательства единственности арифметического корня из неотрицательного числа, как и для доказательства единственности во многих других математических задачах, используется метод доказательства от противного. Суть метода заключается в том, что мы предполагаем существование двух или более различных объектов, удовлетворяющих заданным условиям, а затем, с помощью логических рассуждений, приходим к противоречию. Это противоречие доказывает, что наше первоначальное предположение было неверным, и, следовательно, такой объект может быть только один (он уникален или единственен).

Ответ: Метод доказательства от противного.

Доказать единственность арифметического корня степени $n \ge 2$ из неотрицательного числа $a$.

Сначала сформулируем определение. Арифметическим корнем степени $n$ (где $n$ — натуральное число, $n \ge 2$) из неотрицательного числа $a$ называется такое неотрицательное число $x$, что его $n$-я степень равна $a$. Это записывается как $x = \sqrt[n]{a}$, и по определению выполняются два условия:

1. $x \ge 0$
2. $x^n = a$

Теперь докажем, что для любого $a \ge 0$ существует только одно такое число $x$. Воспользуемся методом от противного.

Предположим, что существуют два различных неотрицательных числа, $x_1$ и $x_2$, которые являются арифметическими корнями степени $n$ из числа $a$.

Тогда, согласно определению, для них должны выполняться следующие равенства:

• $x_1 \ge 0$ и $x_1^n = a$
• $x_2 \ge 0$ и $x_2^n = a$

Из этих равенств следует, что $x_1^n = x_2^n$.

По нашему предположению, числа $x_1$ и $x_2$ различны, то есть $x_1 \neq x_2$. Так как оба числа неотрицательны, это означает, что либо $x_1 < x_2$, либо $x_2 < x_1$. Не теряя общности, рассмотрим случай, когда $0 \le x_1 < x_2$.

Рассмотрим функцию $y(x) = x^n$ для $x \ge 0$ и натуральном $n \ge 2$. Эта функция является строго возрастающей на промежутке $[0, +\infty)$. Это означает, что для любых двух неотрицательных чисел $x_a$ и $x_b$ из неравенства $x_a < x_b$ следует строгое неравенство $x_a^n < x_b^n$.

Поскольку мы предположили, что $0 \le x_1 < x_2$, то из свойства строгой монотонности функции $y=x^n$ для неотрицательных аргументов должно следовать, что $x_1^n < x_2^n$.

Таким образом, мы пришли к противоречию:

• Из нашего предположения ($x_1 < x_2$) следует, что $x_1^n < x_2^n$.
• Из определения корня следует, что $x_1^n = a$ и $x_2^n = a$, то есть $x_1^n = x_2^n$.

Одновременное выполнение условий $x_1^n < x_2^n$ и $x_1^n = x_2^n$ невозможно. Следовательно, наше первоначальное предположение о существовании двух различных неотрицательных корней было неверным. Это доказывает, что существует только один арифметический корень степени $n \ge 2$ из неотрицательного числа $a$.

Ответ: Единственность арифметического корня доказана методом от противного, который приводит к противоречию на основе свойства строгой монотонности степенной функции $y=x^n$ на множестве неотрицательных чисел.