Страница 171 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

9. Что называется арифметическим корнем натуральной степени n при $n \ge 2$?

Арифметическим корнем натуральной степени $n$ (где $n$ — натуральное число и $n \ge 2$) из неотрицательного числа $a$ называется такое неотрицательное число, $n$-я степень которого равна $a$.

Обозначается такой корень символом $\sqrt[n]{a}$. В этом выражении число $a$ называют подкоренным выражением, а число $n$ — показателем корня.

Таким образом, равенство $\sqrt[n]{a} = x$ является верным, если одновременно выполняются два обязательных условия:

1. Число $x$ должно быть неотрицательным, то есть $x \ge 0$.
2. Число $x$, возведенное в степень $n$, должно быть равно подкоренному выражению $a$, то есть $x^n = a$.

Ключевые особенности определения:

- Область определения: Арифметический корень определен только для неотрицательных подкоренных выражений ($a \ge 0$). Например, выражение $\sqrt[4]{-16}$ не имеет смысла в контексте арифметических корней.

- Значение корня: Результат извлечения арифметического корня всегда является неотрицательным числом. Это принципиально важно, особенно для корней четной степени. Например, уравнение $x^2 = 9$ имеет два решения: $x = 3$ и $x = -3$. Однако арифметический квадратный корень $\sqrt{9}$ равен именно $3$, поскольку по определению он должен быть неотрицательным.

- Частный случай $n=2$: Корень второй степени называется квадратным корнем. Для него показатель корня $n=2$ принято не указывать, то есть пишут $\sqrt{a}$ вместо $\sqrt[2]{a}$.

Примеры:

- $\sqrt[3]{64} = 4$, потому что $4 \ge 0$ и $4^3 = 64$.
- $\sqrt{25} = 5$, потому что $5 \ge 0$ и $5^2 = 25$.
- $\sqrt[5]{32} = 2$, потому что $2 \ge 0$ и $2^5 = 32$.
- $\sqrt[4]{81} = 3$, а не $-3$, так как значение арифметического корня по определению не может быть отрицательным.

Ответ: Арифметическим корнем натуральной степени $n \ge 2$ из неотрицательного числа $a$ называется неотрицательное число, $n$-я степень которого равна $a$.

10. Каким методом можно доказать единственность арифметического корня из неотрицательного числа? Доказать единственность арифметического корня степени $n \ge 2$ из неотрицательного числа $a$.

Каким методом можно доказать единственность арифметического корня из неотрицательного числа?

Для доказательства единственности арифметического корня из неотрицательного числа, как и для доказательства единственности во многих других математических задачах, используется метод доказательства от противного. Суть метода заключается в том, что мы предполагаем существование двух или более различных объектов, удовлетворяющих заданным условиям, а затем, с помощью логических рассуждений, приходим к противоречию. Это противоречие доказывает, что наше первоначальное предположение было неверным, и, следовательно, такой объект может быть только один (он уникален или единственен).

Ответ: Метод доказательства от противного.

Доказать единственность арифметического корня степени $n \ge 2$ из неотрицательного числа $a$.

Сначала сформулируем определение. Арифметическим корнем степени $n$ (где $n$ — натуральное число, $n \ge 2$) из неотрицательного числа $a$ называется такое неотрицательное число $x$, что его $n$-я степень равна $a$. Это записывается как $x = \sqrt[n]{a}$, и по определению выполняются два условия:

1. $x \ge 0$
2. $x^n = a$

Теперь докажем, что для любого $a \ge 0$ существует только одно такое число $x$. Воспользуемся методом от противного.

Предположим, что существуют два различных неотрицательных числа, $x_1$ и $x_2$, которые являются арифметическими корнями степени $n$ из числа $a$.

Тогда, согласно определению, для них должны выполняться следующие равенства:

• $x_1 \ge 0$ и $x_1^n = a$
• $x_2 \ge 0$ и $x_2^n = a$

Из этих равенств следует, что $x_1^n = x_2^n$.

По нашему предположению, числа $x_1$ и $x_2$ различны, то есть $x_1 \neq x_2$. Так как оба числа неотрицательны, это означает, что либо $x_1 < x_2$, либо $x_2 < x_1$. Не теряя общности, рассмотрим случай, когда $0 \le x_1 < x_2$.

Рассмотрим функцию $y(x) = x^n$ для $x \ge 0$ и натуральном $n \ge 2$. Эта функция является строго возрастающей на промежутке $[0, +\infty)$. Это означает, что для любых двух неотрицательных чисел $x_a$ и $x_b$ из неравенства $x_a < x_b$ следует строгое неравенство $x_a^n < x_b^n$.

Поскольку мы предположили, что $0 \le x_1 < x_2$, то из свойства строгой монотонности функции $y=x^n$ для неотрицательных аргументов должно следовать, что $x_1^n < x_2^n$.

Таким образом, мы пришли к противоречию:

• Из нашего предположения ($x_1 < x_2$) следует, что $x_1^n < x_2^n$.
• Из определения корня следует, что $x_1^n = a$ и $x_2^n = a$, то есть $x_1^n = x_2^n$.

Одновременное выполнение условий $x_1^n < x_2^n$ и $x_1^n = x_2^n$ невозможно. Следовательно, наше первоначальное предположение о существовании двух различных неотрицательных корней было неверным. Это доказывает, что существует только один арифметический корень степени $n \ge 2$ из неотрицательного числа $a$.

Ответ: Единственность арифметического корня доказана методом от противного, который приводит к противоречию на основе свойства строгой монотонности степенной функции $y=x^n$ на множестве неотрицательных чисел.

11. Какое равенство связывает корень нечётной степени из отрицательного числа и арифметический корень из противоположного ему числа?

Рассмотрим корень нечётной степени $n$ из отрицательного числа. Обозначим это отрицательное число как $-a$, где $a$ — положительное число ($a>0$). Тогда корень нечётной степени из этого числа записывается как $\sqrt[n]{-a}$, где $n$ — нечётное натуральное число ($n=1, 3, 5, \dots$).

Число, противоположное $-a$, это число $a$. Арифметический корень степени $n$ из числа $a$ — это неотрицательное число, $n$-я степень которого равна $a$. Он обозначается как $\sqrt[n]{a}$.

Равенство, связывающее эти два выражения, выглядит следующим образом:$$ \sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a} $$Это равенство означает, что корень нечётной степени из отрицательного числа равен числу, противоположному арифметическому корню той же степени из модуля этого числа (так как для $a>0$, $|-a| = a$).

Для доказательства этого равенства необходимо показать, что $n$-я степень числа $-\sqrt[n]{a}$ равна подкоренному выражению $-a$.
Возведём $-\sqrt[n]{a}$ в степень $n$:$$ (-\sqrt[n]{a})^n = (-1 \cdot \sqrt[n]{a})^n = (-1)^n \cdot (\sqrt[n]{a})^n $$Поскольку по условию степень $n$ — нечётное число, то $(-1)^n = -1$.
По определению арифметического корня, $(\sqrt[n]{a})^n = a$.
Подставляя полученные результаты, имеем:$$ (-\sqrt[n]{a})^n = -1 \cdot a = -a $$Так как $n$-я степень числа $-\sqrt[n]{a}$ равна $-a$, то по определению корня $n$-й степени, $-\sqrt[n]{a}$ и есть $\sqrt[n]{-a}$. Равенство доказано.

Пример:
Найдём $\sqrt[3]{-64}$. Здесь $n=3$ (нечётное), $-a=-64$, значит $a=64$.
Используя равенство, получаем: $\sqrt[3]{-64} = -\sqrt[3]{64}$.
Арифметический корень $\sqrt[3]{64} = 4$, так как $4^3 = 64$.
Следовательно, $\sqrt[3]{-64} = -4$.

Ответ: Корень нечётной степени из отрицательного числа и арифметический корень из противоположного ему числа связаны равенством $\sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a}$, где $n$ — нечётное натуральное число, а $a$ — положительное число ($a > 0$).

12. Перечислить свойства арифметического корня натуральной степени.

Арифметическим корнем натуральной степени $n \ge 2$ из неотрицательного числа $a$ называется такое неотрицательное число, $n$-я степень которого равна $a$.

Пусть $a \ge 0$, $b \ge 0$, а $n$, $m$, $k$ — натуральные числа, причем $n \ge 2$, $m \ge 2$.

1. Корень из произведения

Арифметический корень n-ой степени из произведения неотрицательных сомножителей равен произведению арифметических корней n-ой степени из этих сомножителей.

Ответ: $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$

2. Корень из частного (дроби)

Арифметический корень n-ой степени из дроби с неотрицательным числителем и положительным знаменателем равен частному от деления корня n-ой степени из числителя на корень n-ой степени из знаменателя.

Ответ: $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ (где $b > 0$)

3. Возведение корня в степень

Чтобы возвести арифметический корень в натуральную степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное выражение, оставив показатель корня без изменений.

Ответ: $(\sqrt[n]{a})^k = \sqrt[n]{a^k}$

4. Извлечение корня из корня

Чтобы извлечь корень из корня, нужно перемножить показатели корней, а подкоренное выражение оставить без изменений.

Ответ: $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$

5. Основное свойство корня

Если показатель корня и показатель степени подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то значение корня не изменится.

Ответ: $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$

6. Сравнение корней

Из двух неотрицательных чисел больше то, корень n-ой степени из которого больше. Для корней с одинаковым показателем $n$, больше тот корень, у которого подкоренное выражение больше.

Ответ: если $a < b$, то $\sqrt[n]{a} < \sqrt[n]{b}$

7. Корень n-ой степени из n-ой степени

Арифметический корень n-ой степени из неотрицательного числа $a$, возведенного в степень $n$, равен самому числу $a$. Важно помнить, что для четного $n$, если $a$ может быть любым действительным числом, то $\sqrt[n]{a^n} = |a|$. Но для арифметического корня $a$ по определению неотрицательно.

Ответ: $\sqrt[n]{a^n} = a$ (при $a \ge 0$)

13. При каких значениях $r$ справедливо равенство $0^r = 0$?

Для того чтобы определить, при каких значениях $r$ справедливо равенство $0^r = 0$, необходимо рассмотреть три случая для действительного числа $r$: когда $r$ больше нуля, равно нулю и меньше нуля.

1. Случай, когда $r > 0$ (r — положительное число)

По определению возведения в степень, если основание равно нулю, а показатель степени — любое положительное действительное число, результат всегда равен нулю.

Например:

• $0^2 = 0 \cdot 0 = 0$
• $0^{1/3} = \sqrt[3]{0} = 0$
• $0^\pi = 0$

В общем виде, для любого $r > 0$, выражение $0^r$ определено и равно 0. Таким образом, в этом случае равенство $0^r = 0$ является верным.

2. Случай, когда $r = 0$

При $r = 0$ мы получаем выражение $0^0$. В математике это выражение считается неопределенностью. Его значение зависит от контекста:

• В некоторых областях, например в комбинаторике или при работе с многочленами и степенными рядами, $0^0$ по соглашению принимают равным 1.
• В математическом анализе, при вычислении пределов, форма $0^0$ является неопределенной, и ее раскрытие может дать различные результаты. Например, предел $\lim_{x\to 0^+} x^0 = 1$, в то время как $\lim_{y\to 0^+} 0^y = 0$.

Поскольку не существует единого общепринятого значения для $0^0$, и оно чаще всего не равно нулю, то при $r=0$ равенство $0^r=0$ не выполняется.

3. Случай, когда $r < 0$ (r — отрицательное число)

Если $r$ — отрицательное число, его можно представить в виде $r = -s$, где $s$ — положительное число ($s > 0$).

Тогда выражение $0^r$ можно записать как:

$0^r = 0^{-s} = \frac{1}{0^s}$

Так как $s > 0$, из первого случая мы знаем, что $0^s = 0$. Следовательно, мы получаем выражение:

$\frac{1}{0}$

Деление на ноль в математике не определено. Это означает, что при любом отрицательном значении $r$ выражение $0^r$ не имеет смысла и, следовательно, не может быть равно нулю.

Вывод

Проанализировав все три случая, можно заключить, что равенство $0^r = 0$ справедливо только для положительных значений $r$.

Ответ: Равенство справедливо при всех $r$ из промежутка $(0; +\infty)$, то есть для всех $r > 0$.

14. Доказать одно из свойств степени с рациональным показателем.

15.
$x_1, x_2, \dots, =1$

Докажем одно из свойств степени с рациональным показателем, а именно: для любого $a > 0$ и любых рациональных чисел $p$ и $q$ справедливо равенство $a^p \cdot a^q = a^{p+q}$.

Доказательство:

1. Пусть $p$ и $q$ — рациональные числа. По определению, их можно представить в виде дробей:$p = \frac{m}{n}$ и $q = \frac{k}{l}$, где $m, k$ — целые числа ($m, k \in \mathbb{Z}$), а $n, l$ — натуральные числа ($n, l \in \mathbb{N}$).

2. По определению степени с рациональным показателем, для $a > 0$ имеем:$a^p = a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$$a^q = a^{k/l} = \sqrt[l]{a^k}$

3. Рассмотрим левую часть доказываемого равенства $a^p \cdot a^q$:$a^p \cdot a^q = \sqrt[n]{a^m} \cdot \sqrt[l]{a^k}$

4. Чтобы перемножить корни с разными показателями ($n$ и $l$), приведем их к общему показателю $nl$. Для этого используем свойство корня $\sqrt[x]{y} = \sqrt[x \cdot z]{y^z}$:$\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n \cdot l]{(a^m)^l} = \sqrt[nl]{a^{ml}}$$\sqrt[l]{a^k} = \sqrt[l \cdot n]{(a^k)^n} = \sqrt[nl]{a^{kn}}$

5. Теперь подставим преобразованные корни обратно в произведение:$a^p \cdot a^q = \sqrt[nl]{a^{ml}} \cdot \sqrt[nl]{a^{kn}}$Используя свойство произведения корней с одинаковым показателем ($\sqrt[x]{y} \cdot \sqrt[x]{z} = \sqrt[x]{yz}$), получаем:$a^p \cdot a^q = \sqrt[nl]{a^{ml} \cdot a^{kn}}$

6. В выражении под корнем воспользуемся свойством умножения степеней с целыми показателями ($b^x \cdot b^y = b^{x+y}$):$a^p \cdot a^q = \sqrt[nl]{a^{ml+kn}}$Левая часть равенства преобразована.

7. Теперь рассмотрим правую часть исходного равенства $a^{p+q}$. Сначала выполним сложение рациональных показателей:$p+q = \frac{m}{n} + \frac{k}{l} = \frac{ml + kn}{nl}$

8. Применим определение степени с рациональным показателем к правой части:$a^{p+q} = a^{\frac{ml+kn}{nl}} = \sqrt[nl]{a^{ml+kn}}$

9. Сравнивая результаты, полученные в пунктах 6 и 8, видим, что левая и правая части исходного равенства равны одному и тому же выражению:$a^p \cdot a^q = \sqrt[nl]{a^{ml+kn}}$$a^{p+q} = \sqrt[nl]{a^{ml+kn}}$Следовательно, равенство $a^p \cdot a^q = a^{p+q}$ является верным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Было доказано свойство умножения степеней с одинаковым основанием и рациональными показателями: $a^p \cdot a^q = a^{p+q}$ для $a > 0$ и любых рациональных $p, q$. Доказательство основано на определении степени с рациональным показателем ($a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$) и сведении задачи к использованию ранее доказанных свойств для степеней с целыми показателями и арифметических корней.

15. Доказать теорему о том, что $a^{x_1} < a^{x_2}$ при $a > 1$ и $x_1 < x_2$.

Сформулировать следствия из этой теоремы.

Доказательство теоремы

Теорема утверждает, что для показательной функции $y = a^x$ с основанием $a > 1$, большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Формально: если даны $a > 1$ и $x_1 < x_2$, то необходимо доказать, что $a^{x_1} < a^{x_2}$.

Для доказательства воспользуемся методами дифференциального исчисления. Рассмотрим показательную функцию $f(x) = a^x$.

Найдем ее производную: $$ f'(x) = (a^x)' = a^x \ln a $$

Проанализируем знак этой производной при условии, что $a > 1$.
1. По определению показательной функции, $a^x > 0$ для любых действительных значений $x$.
2. Так как основание $a > 1$, его натуральный логарифм положителен: $\ln a > 0$.

Поскольку производная $f'(x)$ является произведением двух положительных величин ($a^x$ и $\ln a$), она всегда положительна: $f'(x) > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Согласно свойству производной, если производная функции положительна на некотором интервале, то функция на этом интервале строго возрастает. Так как $f'(x) > 0$ для всех действительных чисел, функция $f(x) = a^x$ является строго возрастающей на всей числовой оси.

По определению строго возрастающей функции, для любых двух аргументов $x_1$ и $x_2$ из области определения, если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) < f(x_2)$. В нашем случае это означает, что из $x_1 < x_2$ следует $a^{x_1} < a^{x_2}$. Теорема доказана.

Ответ: Теорема доказана с использованием производной. Так как производная функции $y=a^x$ при $a>1$ всегда положительна, функция является строго возрастающей, и, следовательно, для любых $x_1 < x_2$ выполняется неравенство $a^{x_1} < a^{x_2}$.

Следствия из этой теоремы

На основе доказанной теоремы о монотонном возрастании функции $y=a^x$ при $a>1$ можно сформулировать несколько важных следствий, которые широко применяются при решении показательных уравнений и неравенств.

1. Сравнение степеней с основанием $0 < a < 1$.
Если основание степени $a$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$ и $x_1 < x_2$, то $a^{x_1} > a^{x_2}$.
Доказательство: Пусть $a \in (0, 1)$. Тогда $b = \frac{1}{a} > 1$. Из $x_1 < x_2$ следует $-x_1 > -x_2$. По доказанной теореме, так как $b > 1$, имеем $b^{-x_2} < b^{-x_1}$. Подставляя обратно $a$, получаем $(\frac{1}{a})^{-x_2} < (\frac{1}{a})^{-x_1}$, что равносильно $a^{x_2} < a^{x_1}$.
Таким образом, показательная функция с основанием $0 < a < 1$ является строго убывающей.

2. Решение показательных уравнений.
Если $a > 0$ и $a \neq 1$, то равенство $a^{x_1} = a^{x_2}$ выполняется тогда и только тогда, когда $x_1 = x_2$.
Это следует из строгой монотонности функции (строго возрастающей при $a>1$ и строго убывающей при $0<a<1$), которая каждому значению аргумента ставит в соответствие уникальное значение функции.

3. Решение показательных неравенств.
При решении неравенств вида $a^{f(x)} > a^{g(x)}$ (или с другими знаками неравенств):
- если $a > 1$, то неравенство равносильно неравенству $f(x) > g(x)$ (знак неравенства сохраняется);
- если $0 < a < 1$, то неравенство равносильно неравенству $f(x) < g(x)$ (знак неравенства меняется на противоположный).
Это является прямым следствием монотонности функции.

4. Сравнение значения степени с единицей.
- Если $a > 1$, то $a^x > 1$ при $x > 0$, и $a^x < 1$ при $x < 0$. (Сравнение $x$ с $0$ и $a^x$ с $a^0=1$).
- Если $0 < a < 1$, то $a^x < 1$ при $x > 0$, и $a^x > 1$ при $x < 0$. (Следствие из убывания функции).

Ответ: Основными следствиями являются: 1) правило сравнения степеней с основанием $0 < a < 1$ (функция убывает); 2) критерий равенства показателей при равенстве степеней; 3) правила решения показательных неравенств (сохранение или изменение знака в зависимости от основания); 4) правила сравнения значения степени с единицей.

1. Вычислить:

1) $\frac{12^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{7}{3}}}{4^{-\frac{1}{3}}}$; 2) $\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} - \left(\frac{1}{27}\right)^{\frac{1}{3}} + 3 \cdot 589^0$; 3) $\left(\sqrt[3]{128} + \sqrt[3]{\frac{1}{4}}\right) : \sqrt[3]{2}.$

1) Для вычисления значения выражения $\frac{12^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{7}{3}}}{4^{-\frac{1}{3}}}$ представим основания степеней в виде произведения простых чисел и воспользуемся свойствами степеней.
Представим числа 12 и 4 в виде степеней простых чисел: $12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$, а $4 = 2^2$.
Подставим эти значения в исходное выражение:
$\frac{(2^2 \cdot 3)^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{7}{3}}}{(2^2)^{-\frac{1}{3}}}$.
Применим свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$ и свойство степени в степени $(a^m)^n = a^{mn}$:
$\frac{(2^2)^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{7}{3}}}{2^{2 \cdot (-\frac{1}{3})}} = \frac{2^{\frac{4}{3}} \cdot 3^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{7}{3}}}{2^{-\frac{2}{3}}}$.
Применим свойство произведения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ в числителе:
$\frac{2^{\frac{4}{3}} \cdot 3^{\frac{2}{3} + \frac{7}{3}}}{2^{-\frac{2}{3}}} = \frac{2^{\frac{4}{3}} \cdot 3^{\frac{9}{3}}}{2^{-\frac{2}{3}}} = \frac{2^{\frac{4}{3}} \cdot 3^3}{2^{-\frac{2}{3}}}$.
Применим свойство частного степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$2^{\frac{4}{3} - (-\frac{2}{3})} \cdot 3^3 = 2^{\frac{4}{3} + \frac{2}{3}} \cdot 3^3 = 2^{\frac{6}{3}} \cdot 3^3 = 2^2 \cdot 3^3$.
Вычислим окончательное значение:
$2^2 \cdot 3^3 = 4 \cdot 27 = 108$.
Ответ: 108.

2) Рассмотрим выражение $(\frac{2}{3})^{-2} - (\frac{1}{27})^{\frac{1}{3}} + 3 \cdot 589^0$. Вычислим значение каждого слагаемого по отдельности.
Первое слагаемое: $(\frac{2}{3})^{-2}$. Используем свойство степени с отрицательным показателем $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.
$(\frac{2}{3})^{-2} = (\frac{3}{2})^2 = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4}$.
Второе слагаемое: $(\frac{1}{27})^{\frac{1}{3}}$. Это кубический корень из $\frac{1}{27}$.
$(\frac{1}{27})^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{\frac{1}{27}} = \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{1}{3}$.
Третье слагаемое: $3 \cdot 589^0$. Любое ненулевое число в степени 0 равно 1, то есть $589^0 = 1$.
$3 \cdot 589^0 = 3 \cdot 1 = 3$.
Теперь подставим вычисленные значения в исходное выражение:
$\frac{9}{4} - \frac{1}{3} + 3$.
Приведем дроби к общему знаменателю 12:
$\frac{9 \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{3 \cdot 12}{12} = \frac{27}{12} - \frac{4}{12} + \frac{36}{12}$.
Выполним сложение и вычитание:
$\frac{27 - 4 + 36}{12} = \frac{23 + 36}{12} = \frac{59}{12}$.
Ответ: $\frac{59}{12}$.

3) Для вычисления значения выражения $(\sqrt[3]{128} + \sqrt[3]{\frac{1}{4}}) : \sqrt[3]{2}$ воспользуемся свойством дистрибутивности деления относительно сложения и свойствами корней.
Раскроем скобки, разделив каждый член в скобках на $\sqrt[3]{2}$:
$(\sqrt[3]{128} + \sqrt[3]{\frac{1}{4}}) : \sqrt[3]{2} = \frac{\sqrt[3]{128}}{\sqrt[3]{2}} + \frac{\sqrt[3]{\frac{1}{4}}}{\sqrt[3]{2}}$.
Используем свойство частного корней $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$:
$\sqrt[3]{\frac{128}{2}} + \sqrt[3]{\frac{1/4}{2}} = \sqrt[3]{64} + \sqrt[3]{\frac{1}{8}}$.
Теперь вычислим значения кубических корней:
$\sqrt[3]{64} = 4$.
$\sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{1}{2}$.
Сложим полученные результаты:
$4 + \frac{1}{2} = 4,5$.
Ответ: 4,5.

2. Упростить выражение при $a > 0, b > 0, c > 0$:

1) $\sqrt[3]{\frac{ab^2}{c}} \cdot \sqrt[3]{\frac{a^5b}{c^2}}$

2) $\frac{a^{-3} \cdot a^{\frac{7}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}}$

1) Для упрощения данного выражения воспользуемся свойством произведения корней одинаковой степени: $\sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{xy}$. Учитывая, что $a > 0, b > 0, c > 0$, все подкоренные выражения положительны.

Объединим два кубических корня в один:

$\sqrt[3]{\frac{ab^2}{c}} \cdot \sqrt[3]{\frac{a^5b}{c^2}} = \sqrt[3]{\frac{ab^2}{c} \cdot \frac{a^5b}{c^2}}$

Теперь перемножим дроби под знаком корня. Для этого используем правило умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

$\sqrt[3]{\frac{a \cdot a^5 \cdot b^2 \cdot b}{c \cdot c^2}} = \sqrt[3]{\frac{a^{1+5} \cdot b^{2+1}}{c^{1+2}}} = \sqrt[3]{\frac{a^6b^3}{c^3}}$

Далее, воспользуемся свойством корня из дроби $\sqrt[n]{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}}$ и свойством извлечения корня из степени $\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}$:

$\sqrt[3]{\frac{a^6b^3}{c^3}} = \frac{\sqrt[3]{a^6} \cdot \sqrt[3]{b^3}}{\sqrt[3]{c^3}} = \frac{a^{\frac{6}{3}} \cdot b^{\frac{3}{3}}}{c^{\frac{3}{3}}} = \frac{a^2 b^1}{c^1} = \frac{a^2b}{c}$

Ответ: $\frac{a^2b}{c}$

2) Для упрощения данного выражения воспользуемся свойствами степеней. Условие $a > 0$ обеспечивает корректность всех операций с дробными показателями.

Сначала упростим числитель, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

$a^{-3} \cdot a^{\frac{7}{3}} = a^{-3 + \frac{7}{3}}$

Приведем показатели к общему знаменателю:

$-3 + \frac{7}{3} = -\frac{9}{3} + \frac{7}{3} = \frac{-9+7}{3} = -\frac{2}{3}$

Таким образом, выражение принимает вид:

$\frac{a^{-\frac{2}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}}$

Теперь воспользуемся правилом деления степеней с одинаковым основанием $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:

$a^{-\frac{2}{3} - \frac{1}{3}} = a^{\frac{-2-1}{3}} = a^{\frac{-3}{3}} = a^{-1}$

Запишем результат в виде дроби, используя определение степени с отрицательным показателем $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$:

$a^{-1} = \frac{1}{a}$

Ответ: $\frac{1}{a}$

3. Сократить дробь: $ \frac{a - 9a^{\frac{1}{2}}}{7a^{\frac{1}{4}} + 21} $; $ \frac{\sqrt{x} + 1}{x - 1} $.

$\frac{a - 9a^{\frac{1}{2}}}{7a^{\frac{1}{4}} + 21}$

Чтобы сократить данную дробь, необходимо разложить её числитель и знаменатель на множители.

1. Начнем с числителя: $a - 9a^{\frac{1}{2}}$.
Заменим $a$ на $(a^{\frac{1}{2}})^2$ и вынесем общий множитель $a^{\frac{1}{2}}$ за скобки:
$a - 9a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - 9)$.
Выражение в скобках, $a^{\frac{1}{2}} - 9$, представляет собой разность квадратов, поскольку $a^{\frac{1}{2}} = (a^{\frac{1}{4}})^2$ и $9 = 3^2$.
Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:
$a^{\frac{1}{2}} - 9 = (a^{\frac{1}{4}})^2 - 3^2 = (a^{\frac{1}{4}} - 3)(a^{\frac{1}{4}} + 3)$.
Таким образом, числитель полностью раскладывается на множители: $a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{4}} - 3)(a^{\frac{1}{4}} + 3)$.

2. Теперь разложим на множители знаменатель: $7a^{\frac{1}{4}} + 21$.
Вынесем общий множитель 7 за скобки:
$7a^{\frac{1}{4}} + 21 = 7(a^{\frac{1}{4}} + 3)$.

3. Подставим разложенные числитель и знаменатель обратно в дробь и выполним сокращение:
$\frac{a - 9a^{\frac{1}{2}}}{7a^{\frac{1}{4}} + 21} = \frac{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{4}} - 3)(a^{\frac{1}{4}} + 3)}{7(a^{\frac{1}{4}} + 3)}$.
Сократим общий множитель $(a^{\frac{1}{4}} + 3)$:
$\frac{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{4}} - 3)\cancel{(a^{\frac{1}{4}} + 3)}}{7\cancel{(a^{\frac{1}{4}} + 3)}} = \frac{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{4}} - 3)}{7}$.

Ответ: $\frac{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{4}} - 3)}{7}$.

$\frac{\sqrt{x} + 1}{x - 1}$

Для сокращения этой дроби разложим её знаменатель на множители, используя формулу разности квадратов.

1. Знаменатель $x - 1$ можно представить как разность квадратов, так как $x = (\sqrt{x})^2$ и $1 = 1^2$.
Применяя формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, получаем:
$x - 1 = (\sqrt{x})^2 - 1^2 = (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)$.

2. Теперь подставим разложенный знаменатель в исходную дробь:
$\frac{\sqrt{x} + 1}{x - 1} = \frac{\sqrt{x} + 1}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}$.

3. Сократим общий множитель $(\sqrt{x} + 1)$ в числителе и знаменателе. Область допустимых значений для переменной $x$ это $x \ge 0$ и $x \neq 1$.
$\frac{\cancel{(\sqrt{x} + 1)}}{(\sqrt{x} - 1)\cancel{(\sqrt{x} + 1)}} = \frac{1}{\sqrt{x} - 1}$.

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{x} - 1}$.

4. Сравнить числа

$ \sqrt[5]{\left(\frac{3}{4}\right)^3} $ и $ \sqrt[5]{\left(\frac{11}{12}\right)^3} $.

Чтобы сравнить числа $\sqrt[5]{(\frac{3}{4})^3}$ и $\sqrt[5]{(\frac{11}{12})^3}$, воспользуемся свойством монотонности степенной функции.

Рассмотрим функцию $f(x) = x^{3/5}$. Эта функция, которая также может быть записана как $f(x) = \sqrt[5]{x^3}$, является возрастающей для всех положительных значений $x$, так как её показатель степени $\frac{3}{5}$ больше нуля. Свойство возрастания функции означает, что если $x_1 < x_2$, то и $f(x_1) < f(x_2)$.

Следовательно, для сравнения исходных чисел достаточно сравнить значения, находящиеся под корнем и в основании степени, то есть дроби $\frac{3}{4}$ и $\frac{11}{12}$.

Приведём эти дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 12 равен 12.

$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12}$

Теперь сравним полученную дробь $\frac{9}{12}$ с дробью $\frac{11}{12}$.

Так как $9 < 11$, то и $\frac{9}{12} < \frac{11}{12}$.

Из этого следует, что $\frac{3}{4} < \frac{11}{12}$.

Поскольку мы установили, что $\frac{3}{4} < \frac{11}{12}$, и функция $f(x) = x^{3/5}$ является возрастающей, мы можем заключить, что:

$f(\frac{3}{4}) < f(\frac{11}{12})$

Подставляя обратно в исходную форму записи, получаем:

$\sqrt[5]{(\frac{3}{4})^3} < \sqrt[5]{(\frac{11}{12})^3}$

Ответ: $\sqrt[5]{(\frac{3}{4})^3} < \sqrt[5]{(\frac{11}{12})^3}$.

5. Упростить выражение $\frac{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}}{\sqrt[3]{ab}} \cdot \frac{ab^{\frac{1}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}$

Для упрощения данного выражения представим все корни в виде степеней с дробными показателями и выполним преобразования по шагам.

Исходное выражение:

$$ \frac{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}}{\sqrt[3]{ab}} \cdot \frac{ab^{\frac{1}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} $$

1. Перепишем все члены выражения, используя степени с дробными показателями, помня, что $\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$:

$$ \frac{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}}{(ab)^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{ab^{\frac{1}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}} = \frac{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{ab^{\frac{1}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}} $$

2. Упростим числитель второй дроби, вынеся за скобки общий множитель $a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}$:

$$ ab^{\frac{1}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b = a^{\frac{1}{3}}a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}b^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}}) $$

3. Подставим полученное выражение обратно в исходное:

$$ \frac{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}})}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}} $$

4. Сократим общий множитель $a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}$:

$$ (a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}) \cdot \frac{a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}} $$

5. Преобразуем числитель оставшейся дроби $a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}}$, используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x=a^{\frac{1}{3}}$ и $y=b^{\frac{1}{3}}$:

$$ a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}} = (a^{\frac{1}{3}})^2 - (b^{\frac{1}{3}})^2 = (a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}) $$

6. Подставим это разложение в наше выражение:

$$ (a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}) \cdot \frac{(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}} $$

7. Сократим общий множитель $(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})$:

$$ (a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}) \cdot (a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}) = (a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})^2 $$

8. Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$$ (a^{\frac{1}{3}})^2 - 2 \cdot a^{\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{1}{3}} + (b^{\frac{1}{3}})^2 = a^{\frac{2}{3}} - 2(ab)^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}} $$

Это выражение также можно записать в виде $\sqrt[3]{a^2} - 2\sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}$.

Ответ: $a^{\frac{2}{3}} - 2(ab)^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}$

$\frac{5}{3}, \frac{5}{9}, \frac{5}{27}, \dots$

6. Для нахождения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии используется формула $S = \frac{b_1}{1 - q}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Формула применима при условии, что модуль знаменателя меньше единицы ($|q| < 1$).

В данной прогрессии первый член $b_1 = \frac{5}{3}$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{5/9}{5/3} = \frac{5}{9} \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.

Так как $|q| = |\frac{1}{3}| < 1$, условие выполняется, и мы можем найти сумму прогрессии.

Подставим значения $b_1$ и $q$ в формулу и вычислим сумму:

$S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{\frac{5}{3}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\frac{5}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{5}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{5}{2} = 2,5$.

Ответ: $2,5$.