Страница 168 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

526. Показать, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей, если:

1) $b_2 = -81, S_2 = 162;$

2) $b_2 = 33, S_2 = 67;$

3) $b_1 + b_2 = 130, b_1 - b_3 = 120;$

4) $b_2 + b_4 = 68, b_2 - b_4 = 60.$

Геометрическая прогрессия $(b_n)$ называется бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя $q$ меньше единицы, то есть $|q| < 1$. Чтобы показать, что данная прогрессия является бесконечно убывающей, необходимо в каждом случае найти знаменатель $q$ и проверить выполнение этого условия.

1) Дано: $b_2 = -81$, $S_2 = 162$.

Сумма первых двух членов геометрической прогрессии $S_2$ вычисляется как $S_2 = b_1 + b_2$. Используя данные, найдем первый член прогрессии $b_1$:

$162 = b_1 + (-81)$

$b_1 = 162 + 81 = 243$.

Знаменатель прогрессии $q$ можно найти из формулы $b_2 = b_1 \cdot q$.

$-81 = 243 \cdot q$

$q = \frac{-81}{243} = -\frac{1}{3}$.

Теперь проверим условие $|q| < 1$:

$|q| = |-\frac{1}{3}| = \frac{1}{3}$.

Поскольку $\frac{1}{3} < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей.

Ответ: Знаменатель прогрессии $q = -\frac{1}{3}$, и так как $|-\frac{1}{3}| < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей.

2) Дано: $b_2 = 33$, $S_2 = 67$.

Найдем первый член прогрессии $b_1$ из формулы $S_2 = b_1 + b_2$:

$67 = b_1 + 33$

$b_1 = 67 - 33 = 34$.

Теперь найдем знаменатель $q$ из формулы $b_2 = b_1 \cdot q$:

$33 = 34 \cdot q$

$q = \frac{33}{34}$.

Проверим условие $|q| < 1$:

$|q| = |\frac{33}{34}| = \frac{33}{34}$.

Поскольку $\frac{33}{34} < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей.

Ответ: Знаменатель прогрессии $q = \frac{33}{34}$, и так как $|\frac{33}{34}| < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей.

3) Дано: $b_1 + b_2 = 130$, $b_1 - b_3 = 120$.

Выразим члены прогрессии $b_2$ и $b_3$ через $b_1$ и $q$: $b_2 = b_1 q$, $b_3 = b_1 q^2$. Подставим эти выражения в данные уравнения:

$\begin{cases} b_1 + b_1 q = 130 \\ b_1 - b_1 q^2 = 120 \end{cases}$

Вынесем $b_1$ за скобки:

$\begin{cases} b_1(1 + q) = 130 & (1) \\ b_1(1 - q^2) = 120 & (2) \end{cases}$

Разложим на множители левую часть второго уравнения: $b_1(1 - q)(1 + q) = 120$.

Разделим второе уравнение на первое (это возможно, так как $b_1(1+q) = 130 \neq 0$):

$\frac{b_1(1 - q)(1 + q)}{b_1(1 + q)} = \frac{120}{130}$

Сократив общие множители, получим:

$1 - q = \frac{12}{13}$

Отсюда найдем $q$:

$q = 1 - \frac{12}{13} = \frac{1}{13}$.

Проверим условие $|q| < 1$:

$|q| = |\frac{1}{13}| = \frac{1}{13}$.

Поскольку $\frac{1}{13} < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей.

Ответ: Знаменатель прогрессии $q = \frac{1}{13}$, и так как $|\frac{1}{13}| < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей.

4) Дано: $b_2 + b_4 = 68$, $b_2 - b_4 = 60$.

Рассмотрим данные уравнения как систему линейных уравнений относительно $b_2$ и $b_4$:

$\begin{cases} b_2 + b_4 = 68 \\ b_2 - b_4 = 60 \end{cases}$

Сложив два уравнения, получим:

$2b_2 = 128 \implies b_2 = 64$.

Подставим $b_2 = 64$ в первое уравнение:

$64 + b_4 = 68 \implies b_4 = 4$.

Связь между членами $b_4$ и $b_2$ в геометрической прогрессии выражается формулой $b_4 = b_2 \cdot q^2$.

Подставим найденные значения $b_2$ и $b_4$:

$4 = 64 \cdot q^2$

$q^2 = \frac{4}{64} = \frac{1}{16}$.

Из этого уравнения находим возможные значения для $q$:

$q = \frac{1}{4}$ или $q = -\frac{1}{4}$.

В обоих случаях модуль знаменателя $q$ равен $\frac{1}{4}$:

$|q| = |\pm\frac{1}{4}| = \frac{1}{4}$.

Поскольку $\frac{1}{4} < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей при любом из двух возможных значений знаменателя.

Ответ: Знаменатель прогрессии $q = \pm\frac{1}{4}$, и так как $|\pm\frac{1}{4}| < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей.

527. Записать бесконечную периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной:

1) $1.10(209)$;

2) $0.108(32)$.

1) Для того чтобы перевести смешанную периодическую дробь $1,10(209)$ в обыкновенную, представим ее в виде переменной и выполним алгебраические преобразования.

Пусть $x = 1,10(209) = 1,10209209...$

Умножим обе части уравнения на $10^2 = 100$, чтобы сместить запятую за непериодическую часть (10).

$100x = 110,209209...$

Теперь умножим исходное уравнение на $10^5 = 100000$, чтобы сместить запятую за первый период (209). Количество знаков в непериодической части (2) и в периоде (3) в сумме дает 5.

$100000x = 110209,209209...$

Вычтем из второго полученного уравнения первое, чтобы устранить бесконечную периодическую часть.

$100000x - 100x = 110209,209209... - 110,209209...$

$99900x = 110209 - 110$

$99900x = 110099$

Выразим $x$, чтобы получить обыкновенную дробь.

$x = \frac{110099}{99900}$

Данная дробь является несократимой, так как у числителя и знаменателя нет общих делителей.

Ответ: $\frac{110099}{99900}$.

2) Для преобразования дроби $0,108(32)$ в обыкновенную используем тот же метод.

Пусть $x = 0,108(32) = 0,1083232...$

В непериодической части после запятой (108) содержится 3 цифры. Умножим уравнение на $10^3 = 1000$.

$1000x = 108,3232...$

В периоде (32) содержатся 2 цифры. Умножим исходное уравнение на $10^{3+2} = 10^5 = 100000$.

$100000x = 10832,3232...$

Вычтем из второго уравнения первое.

$100000x - 1000x = 10832,3232... - 108,3232...$

$99000x = 10832 - 108$

$99000x = 10724$

Найдем $x$.

$x = \frac{10724}{99000}$

Теперь необходимо сократить полученную дробь. Оба числа, числитель и знаменатель, являются четными. Наибольший общий делитель для них - 4.

$x = \frac{10724 : 4}{99000 : 4} = \frac{2681}{24750}$

Дальнейшее сокращение невозможно, так как числитель 2681 не имеет общих простых делителей со знаменателем $24750 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5^3 \cdot 11$.

Ответ: $\frac{2681}{24750}$.

528. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с положительными членами, если сумма первых трёх её членов равна 39, а сумма обратных им величин равна $ \frac{13}{27} $.

Пусть $b_1$ — первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

По условию, все члены прогрессии положительны, следовательно, $b_1 > 0$. Так как прогрессия является бесконечно убывающей, её знаменатель удовлетворяет условию $|q| < 1$. Поскольку все члены положительны, знаменатель также должен быть положительным, то есть $0 < q < 1$.

Первые три члена прогрессии: $b_1$, $b_2 = b_1q$, $b_3 = b_1q^2$.

Согласно условию, сумма первых трёх членов равна 39: $b_1 + b_1q + b_1q^2 = 39$ Вынесем $b_1$ за скобки: $b_1(1 + q + q^2) = 39$ (1)

Сумма обратных им величин равна $\frac{13}{27}$: $\frac{1}{b_1} + \frac{1}{b_1q} + \frac{1}{b_1q^2} = \frac{13}{27}$ Приведём к общему знаменателю $b_1q^2$: $\frac{q^2 + q + 1}{b_1q^2} = \frac{13}{27}$ (2)

Получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $b_1$ и $q$: $\begin{cases} b_1(1 + q + q^2) = 39 \\ \frac{1 + q + q^2}{b_1q^2} = \frac{13}{27} \end{cases}$

Из первого уравнения выразим множитель $(1 + q + q^2)$: $1 + q + q^2 = \frac{39}{b_1}$

Подставим это выражение во второе уравнение системы: $\frac{\frac{39}{b_1}}{b_1q^2} = \frac{13}{27}$ $\frac{39}{b_1^2q^2} = \frac{13}{27}$

Из этого уравнения выразим $b_1^2q^2$: $b_1^2q^2 = \frac{39 \cdot 27}{13}$ $b_1^2q^2 = 3 \cdot 27 = 81$ $(b_1q)^2 = 81$

Так как по условию $b_1 > 0$ и $q > 0$, то и произведение $b_1q > 0$. Следовательно, извлекая квадратный корень, получаем: $b_1q = 9$ Это означает, что второй член прогрессии $b_2 = 9$. Выразим $b_1$ через $q$: $b_1 = \frac{9}{q}$

Подставим полученное выражение для $b_1$ в первое исходное уравнение: $\frac{9}{q}(1 + q + q^2) = 39$ Разделим обе части уравнения на 3: $\frac{3}{q}(1 + q + q^2) = 13$ Умножим обе части на $q$ (так как $q \neq 0$): $3(1 + q + q^2) = 13q$ $3 + 3q + 3q^2 = 13q$ $3q^2 - 10q + 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$ Корни уравнения: $q_1 = \frac{10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ $q_2 = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$

Поскольку прогрессия является бесконечно убывающей, должно выполняться условие $|q| < 1$. Этому условию удовлетворяет только корень $q = \frac{1}{3}$. Значение $q=3$ соответствует возрастающей прогрессии.

Теперь найдём первый член прогрессии $b_1$: $b_1 = \frac{9}{q} = \frac{9}{\frac{1}{3}} = 9 \cdot 3 = 27$

Зная первый член $b_1 = 27$ и знаменатель $q = \frac{1}{3}$, мы можем найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$.

$S = \frac{27}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{27}{\frac{2}{3}} = 27 \cdot \frac{3}{2} = \frac{81}{2} = 40,5$

Ответ: 40,5

529. Найти сумму, все слагаемые которой, начиная с первого, являются членами одной и той же геометрической прогрессии:

1) $\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}; 1; \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}; ...$

2) $\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}; -1; \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}; ...$

1) Данная последовательность является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Найдем ее первый член $b_1$ и знаменатель $q$.

Первый член прогрессии:

$b_1 = \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} = \frac{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{(\sqrt{2}+1)^2}{(\sqrt{2})^2-1^2} = \frac{2+2\sqrt{2}+1}{2-1} = 3+2\sqrt{2}$

Второй член прогрессии $b_2 = 1$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1}{3+2\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot (3-2\sqrt{2})}{(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})} = \frac{3-2\sqrt{2}}{3^2-(2\sqrt{2})^2} = \frac{3-2\sqrt{2}}{9-8} = 3-2\sqrt{2}$

Прогрессия является бесконечно убывающей, если модуль ее знаменателя меньше единицы, то есть $|q| < 1$.

Так как $ \sqrt{2} \approx 1.414 $, то $ q = 3-2\sqrt{2} \approx 3-2 \cdot 1.414 = 3-2.828 = 0.172 $.

Поскольку $ |0.172| < 1 $, условие выполняется, и мы можем найти сумму по формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии $S = \frac{b_1}{1-q}$.

$S = \frac{3+2\sqrt{2}}{1-(3-2\sqrt{2})} = \frac{3+2\sqrt{2}}{1-3+2\sqrt{2}} = \frac{3+2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}-2} = \frac{3+2\sqrt{2}}{2(\sqrt{2}-1)}$

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение, то есть на $(\sqrt{2}+1)$:

$S = \frac{(3+2\sqrt{2})(\sqrt{2}+1)}{2(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{3\sqrt{2}+3+2(\sqrt{2})^2+2\sqrt{2}}{2((\sqrt{2})^2-1^2)} = \frac{3\sqrt{2}+3+4+2\sqrt{2}}{2(2-1)} = \frac{7+5\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $ \frac{7+5\sqrt{2}}{2} $

2) Данная последовательность также является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Найдем ее первый член $b_1$ и знаменатель $q$.

Первый член прогрессии:

$b_1 = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} = \frac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{(\sqrt{3})^2-1^2} = \frac{3+2\sqrt{3}+1}{3-1} = \frac{4+2\sqrt{3}}{2} = 2+\sqrt{3}$

Второй член прогрессии $b_2 = -1$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-1}{2+\sqrt{3}} = \frac{-1 \cdot (2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \frac{-(2-\sqrt{3})}{2^2-(\sqrt{3})^2} = \frac{-2+\sqrt{3}}{4-3} = \sqrt{3}-2$

Проверим условие $|q| < 1$.

Так как $ \sqrt{3} \approx 1.732 $, то $ q = \sqrt{3}-2 \approx 1.732-2 = -0.268 $.

Поскольку $ |-0.268| < 1 $, условие выполняется, и мы можем найти сумму по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$.

$S = \frac{2+\sqrt{3}}{1-(\sqrt{3}-2)} = \frac{2+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}+2} = \frac{2+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}$

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение, то есть на $(3+\sqrt{3})$:

$S = \frac{(2+\sqrt{3})(3+\sqrt{3})}{(3-\sqrt{3})(3+\sqrt{3})} = \frac{6+2\sqrt{3}+3\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2}{3^2-(\sqrt{3})^2} = \frac{6+5\sqrt{3}+3}{9-3} = \frac{9+5\sqrt{3}}{6}$

Ответ: $ \frac{9+5\sqrt{3}}{6} $

530. Найти $b_1$ и $q$ бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если известны её сумма (S) и сумма $n$ первых её членов ($S_n$):

1) $S = \frac{2}{3}, S_5 = \frac{31}{48};$

2) $S = 0,9, S_8 = \frac{8}{9}.$

1)

Для бесконечно убывающей геометрической прогрессии известны формулы суммы всех ее членов $S$ и суммы первых $n$ членов $S_n$:

$S = \frac{b_1}{1-q}$

$S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$

где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель ($|q| < 1$).

Из первой формулы можно выразить $b_1 = S(1-q)$. Подставив это выражение во вторую формулу, получим:

$S_n = \frac{S(1-q)(1-q^n)}{1-q} = S(1-q^n)$

Это соотношение позволяет нам найти $q$, зная $S$ и $S_n$.

По условию задачи имеем $S = \frac{2}{3}$ и $S_5 = \frac{31}{48}$.

Подставим эти значения в выведенную формулу $S_5 = S(1 - q^5)$:

$\frac{31}{48} = \frac{2}{3}(1 - q^5)$

Выразим $(1 - q^5)$:

$1 - q^5 = \frac{31/48}{2/3} = \frac{31}{48} \cdot \frac{3}{2} = \frac{31 \cdot 3}{48 \cdot 2} = \frac{31}{16 \cdot 2} = \frac{31}{32}$

Теперь найдем $q^5$:

$q^5 = 1 - \frac{31}{32} = \frac{32}{32} - \frac{31}{32} = \frac{1}{32}$

Отсюда находим знаменатель $q$:

$q = \sqrt[5]{\frac{1}{32}} = \frac{1}{2}$

Теперь, зная $q$, найдем первый член прогрессии $b_1$ по формуле $b_1 = S(1-q)$:

$b_1 = \frac{2}{3} \left(1 - \frac{1}{2}\right) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$

Ответ: $b_1 = \frac{1}{3}$, $q = \frac{1}{2}$.

2)

Используем тот же подход. По условию $S = 0.9 = \frac{9}{10}$ и $S_8 = \frac{8}{9}$.

Подставим значения в формулу $S_n = S(1 - q^n)$ для $n=8$:

$S_8 = S(1 - q^8)$

$\frac{8}{9} = \frac{9}{10}(1 - q^8)$

Выразим $(1 - q^8)$:

$1 - q^8 = \frac{8/9}{9/10} = \frac{8}{9} \cdot \frac{10}{9} = \frac{80}{81}$

Теперь найдем $q^8$:

$q^8 = 1 - \frac{80}{81} = \frac{81}{81} - \frac{80}{81} = \frac{1}{81}$

Извлекая корень восьмой степени, получаем два возможных значения для $q$, так как степень четная:

$q = \pm \sqrt[8]{\frac{1}{81}} = \pm \sqrt[8]{\frac{1}{3^4}} = \pm \frac{1}{3^{4/8}} = \pm \frac{1}{3^{1/2}} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Оба значения удовлетворяют условию $|q|<1$ для бесконечно убывающей прогрессии, так как $|\pm \frac{\sqrt{3}}{3}| \approx 0.577 < 1$. Следовательно, существуют два возможных набора решений.

Найдем $b_1$ для каждого значения $q$ по формуле $b_1 = S(1-q)$:

Случай 1: $q = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$b_1 = \frac{9}{10} \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{9}{10} \cdot \frac{3-\sqrt{3}}{3} = \frac{3(3-\sqrt{3})}{10}$

Случай 2: $q = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

$b_1 = \frac{9}{10} \left(1 - \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\right) = \frac{9}{10} \left(1 + \frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{9}{10} \cdot \frac{3+\sqrt{3}}{3} = \frac{3(3+\sqrt{3})}{10}$

Ответ: $b_1 = \frac{3(3-\sqrt{3})}{10}$ и $q = \frac{\sqrt{3}}{3}$, или $b_1 = \frac{3(3+\sqrt{3})}{10}$ и $q = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

531. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 3,5, а сумма квадратов её членов равна $\frac{147}{16}$. Найти сумму кубов членов этой прогрессии.

Пусть $b_1$ — первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель, где $|q| < 1$.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии $S$ вычисляется по формуле:$S = \frac{b_1}{1-q}$По условию задачи, $S = 3,5 = \frac{7}{2}$. Следовательно, мы имеем первое уравнение:

$\frac{b_1}{1-q} = \frac{7}{2}$ (1)

Последовательность квадратов членов исходной прогрессии, $b_1^2, (b_1q)^2, (b_1q^2)^2, \dots$ или $b_1^2, b_1^2q^2, b_1^2q^4, \dots$, также является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Её первый член равен $b_1^2$, а знаменатель равен $q^2$. Так как $|q|<1$, то и $|q^2|<1$.

Сумма квадратов членов прогрессии $S_{кв}$ вычисляется по формуле:$S_{кв} = \frac{b_1^2}{1-q^2}$По условию, $S_{кв} = \frac{147}{16}$. Следовательно, мы имеем второе уравнение:

$\frac{b_1^2}{1-q^2} = \frac{147}{16}$ (2)

Для нахождения $b_1$ и $q$ решим систему из двух уравнений. Преобразуем второе уравнение, используя формулу разности квадратов $1-q^2 = (1-q)(1+q)$:

$\frac{b_1^2}{(1-q)(1+q)} = \frac{b_1}{1-q} \cdot \frac{b_1}{1+q} = \frac{147}{16}$

Подставим в это выражение значение $\frac{b_1}{1-q}$ из уравнения (1):

$\frac{7}{2} \cdot \frac{b_1}{1+q} = \frac{147}{16}$

Отсюда найдем выражение для $\frac{b_1}{1+q}$:

$\frac{b_1}{1+q} = \frac{147}{16} \cdot \frac{2}{7} = \frac{147 \cdot 2}{16 \cdot 7} = \frac{21 \cdot 7 \cdot 2}{8 \cdot 2 \cdot 7} = \frac{21}{8}$ (3)

Теперь у нас есть система из двух более простых уравнений (1) и (3):$\begin{cases} \frac{b_1}{1-q} = \frac{7}{2} \\ \frac{b_1}{1+q} = \frac{21}{8} \end{cases}$

Разделим уравнение (1) на уравнение (3):

$\frac{\frac{b_1}{1-q}}{\frac{b_1}{1+q}} = \frac{\frac{7}{2}}{\frac{21}{8}}$

$\frac{1+q}{1-q} = \frac{7}{2} \cdot \frac{8}{21} = \frac{7 \cdot 8}{2 \cdot 21} = \frac{56}{42} = \frac{4}{3}$

Решим полученное уравнение относительно $q$:

$3(1+q) = 4(1-q)$

$3+3q = 4-4q$

$7q = 1$

$q = \frac{1}{7}$

Теперь найдем $b_1$, подставив значение $q$ в уравнение (1):

$b_1 = \frac{7}{2}(1-q) = \frac{7}{2}\left(1-\frac{1}{7}\right) = \frac{7}{2} \cdot \frac{6}{7} = 3$

Нам необходимо найти сумму кубов членов этой прогрессии. Последовательность кубов $b_1^3, (b_1q)^3, (b_1q^2)^3, \dots$ является бесконечно убывающей геометрической прогрессией с первым членом $b_1^3$ и знаменателем $q^3$. Её сумма $S_{куб}$ равна:

$S_{куб} = \frac{b_1^3}{1-q^3}$

Подставим найденные значения $b_1=3$ и $q=\frac{1}{7}$:

$S_{куб} = \frac{3^3}{1 - (\frac{1}{7})^3} = \frac{27}{1 - \frac{1}{343}} = \frac{27}{\frac{343-1}{343}} = \frac{27}{\frac{342}{343}}$

$S_{куб} = 27 \cdot \frac{343}{342} = \frac{27 \cdot 343}{342}$

Сократим дробь. Заметим, что $27 = 3 \cdot 9$ и $342 = 3+4+2=9$, то есть $342$ делится на $9$. $342 \div 9 = 38$.

$S_{куб} = \frac{3 \cdot 9 \cdot 343}{38 \cdot 9} = \frac{3 \cdot 343}{38} = \frac{1029}{38}$

Ответ: $\frac{1029}{38}$

532. Упростить выражение $\sqrt{65+6\sqrt{14}} + \sqrt{65-6\sqrt{14}}$

Для упрощения данного выражения, состоящего из суммы двух иррациональных чисел, удобно использовать метод возведения в квадрат. Обозначим исходное выражение через X:
$X = \sqrt{65+6\sqrt{14}} + \sqrt{65-6\sqrt{14}}$
Поскольку арифметический квадратный корень всегда неотрицателен, и подкоренные выражения $65+6\sqrt{14}$ и $65-6\sqrt{14}$ (так как $65^2 = 4225$, а $(6\sqrt{14})^2 = 36 \cdot 14 = 504$, и $4225 > 504$) положительны, то оба слагаемых в выражении для X являются положительными числами. Следовательно, их сумма X также положительна.
Возведем обе части равенства в квадрат, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$X^2 = \left(\sqrt{65+6\sqrt{14}} + \sqrt{65-6\sqrt{14}}\right)^2$
$X^2 = \left(\sqrt{65+6\sqrt{14}}\right)^2 + 2 \cdot \sqrt{65+6\sqrt{14}} \cdot \sqrt{65-6\sqrt{14}} + \left(\sqrt{65-6\sqrt{14}}\right)^2$
Теперь упростим каждое слагаемое по отдельности.
Первый и третий члены:
$\left(\sqrt{65+6\sqrt{14}}\right)^2 = 65+6\sqrt{14}$
$\left(\sqrt{65-6\sqrt{14}}\right)^2 = 65-6\sqrt{14}$
Второй член (удвоенное произведение):
$2 \cdot \sqrt{65+6\sqrt{14}} \cdot \sqrt{65-6\sqrt{14}} = 2 \cdot \sqrt{(65+6\sqrt{14})(65-6\sqrt{14})}$
Выражение под корнем является разностью квадратов $(c+d)(c-d)=c^2-d^2$, где $c=65$ и $d=6\sqrt{14}$.
$2 \cdot \sqrt{65^2 - (6\sqrt{14})^2} = 2 \cdot \sqrt{4225 - 36 \cdot 14} = 2 \cdot \sqrt{4225 - 504} = 2 \cdot \sqrt{3721}$
Чтобы найти $\sqrt{3721}$, заметим, что $60^2=3600$, а последняя цифра числа 3721 равна 1, значит корень должен оканчиваться на 1 или 9. Проверим 61: $61^2 = 3721$. Значит, $\sqrt{3721}=61$.
Тогда удвоенное произведение равно $2 \cdot 61 = 122$.
Теперь подставим все упрощенные части обратно в выражение для $X^2$:
$X^2 = (65+6\sqrt{14}) + 122 + (65-6\sqrt{14})$
Сгруппируем слагаемые:
$X^2 = 65 + 65 + 122 + 6\sqrt{14} - 6\sqrt{14}$
Слагаемые, содержащие $\sqrt{14}$, взаимно уничтожаются:
$X^2 = 130 + 122 = 252$
Мы получили, что $X^2=252$. Чтобы найти X, нужно извлечь квадратный корень из 252. Так как мы установили, что X — положительное число, мы берем арифметический корень:
$X = \sqrt{252}$
Для упрощения корня разложим число 252 на простые множители или вынесем полный квадрат из-под знака корня:
$252 = 4 \cdot 63 = 4 \cdot 9 \cdot 7 = 36 \cdot 7$
$X = \sqrt{36 \cdot 7} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{7} = 6\sqrt{7}$

Ответ: $6\sqrt{7}$

533. Упростить выражение $a = (4 - 3\sqrt{2})^2 + 8\sqrt{34 - 24\sqrt{2} - \sqrt{5}}$.

Сравнить полученное число с нулём.

Упростить выражение $a = (4 - 3\sqrt{2})^2 + 8\sqrt{34 - 24\sqrt{2}} - \sqrt{5}$

Для упрощения данного выражения выполним действия поочередно.

1. Раскроем скобки в первом слагаемом, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$(4 - 3\sqrt{2})^2 = 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot 3\sqrt{2} + (3\sqrt{2})^2 = 16 - 24\sqrt{2} + 9 \cdot 2 = 16 - 24\sqrt{2} + 18 = 34 - 24\sqrt{2}$.

2. Упростим второе слагаемое $8\sqrt{34 - 24\sqrt{2}}$.

Заметим, что подкоренное выражение $34 - 24\sqrt{2}$ является полным квадратом, что мы выяснили в первом пункте:

$34 - 24\sqrt{2} = (4 - 3\sqrt{2})^2$.

Тогда корень из этого выражения будет равен:

$\sqrt{34 - 24\sqrt{2}} = \sqrt{(4 - 3\sqrt{2})^2}$.

По свойству арифметического квадратного корня $\sqrt{x^2} = |x|$, получаем:

$\sqrt{(4 - 3\sqrt{2})^2} = |4 - 3\sqrt{2}|$.

Чтобы раскрыть модуль, необходимо определить знак выражения $4 - 3\sqrt{2}$. Сравним числа $4$ и $3\sqrt{2}$ путем сравнения их квадратов:

$4^2 = 16$

$(3\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$

Так как $16 < 18$, то $4 < 3\sqrt{2}$, а значит, разность $4 - 3\sqrt{2}$ отрицательна.

Следовательно, $|4 - 3\sqrt{2}| = -(4 - 3\sqrt{2}) = 3\sqrt{2} - 4$.

Теперь второе слагаемое исходного выражения можно записать как:

$8\sqrt{34 - 24\sqrt{2}} = 8 \cdot (3\sqrt{2} - 4) = 24\sqrt{2} - 32$.

3. Подставим упрощенные части обратно в исходное выражение для $a$:

$a = (34 - 24\sqrt{2}) + (24\sqrt{2} - 32) - \sqrt{5}$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$a = (34 - 32) + (-24\sqrt{2} + 24\sqrt{2}) - \sqrt{5}$.

Слагаемые с $\sqrt{2}$ взаимно уничтожаются:

$a = 2 - \sqrt{5}$.

Ответ: $a = 2 - \sqrt{5}$.

Сравнить полученное число с нулём

Нам необходимо сравнить полученное значение $a = 2 - \sqrt{5}$ с нулём.

Сравнение выражения $2 - \sqrt{5}$ с $0$ равносильно сравнению числа $2$ с числом $\sqrt{5}$.

Так как оба числа являются положительными, мы можем сравнить их квадраты:

$2^2 = 4$

$(\sqrt{5})^2 = 5$

Поскольку $4 < 5$, можно сделать вывод, что $2 < \sqrt{5}$.

Следовательно, разность $2 - \sqrt{5}$ является отрицательным числом:

$a = 2 - \sqrt{5} < 0$.

Ответ: полученное число меньше нуля.

534. Сравнить числа a и b, если:

1) $a = \sqrt{2} + \sqrt{3}$, $b = \sqrt{10}$;

2) $a = \sqrt{13} - \sqrt{12}$, $b = \sqrt{12} - \sqrt{11}$.

1) Сравним числа $a = \sqrt{2} + \sqrt{3}$ и $b = \sqrt{10}$.

Оба числа $a$ и $b$ положительные, поэтому мы можем сравнить их квадраты. Если $a^2 > b^2$, то $a > b$, и наоборот.

Найдем квадрат числа $a$:

$a^2 = (\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 = (\sqrt{2})^2 + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 2 + 2\sqrt{6} + 3 = 5 + 2\sqrt{6}$.

Найдем квадрат числа $b$:

$b^2 = (\sqrt{10})^2 = 10$.

Теперь сравним $a^2$ и $b^2$, то есть $5 + 2\sqrt{6}$ и $10$.

Вычтем 5 из обоих выражений:

$2\sqrt{6}$ и $10 - 5$, то есть $2\sqrt{6}$ и $5$.

Снова возведем оба положительных числа в квадрат:

$(2\sqrt{6})^2 = 4 \cdot 6 = 24$.

$5^2 = 25$.

Так как $24 < 25$, то $2\sqrt{6} < 5$.

Следовательно, $5 + 2\sqrt{6} < 5 + 5$, что означает $5 + 2\sqrt{6} < 10$.

Таким образом, $a^2 < b^2$. Поскольку $a$ и $b$ — положительные числа, из этого следует, что $a < b$.

Ответ: $a < b$.

2) Сравним числа $a = \sqrt{13} - \sqrt{12}$ и $b = \sqrt{12} - \sqrt{11}$.

Оба числа являются положительными. Чтобы избавиться от иррациональности в виде разности, домножим числитель и знаменатель каждого выражения на сопряженное выражение.

Для числа $a$:

$a = \sqrt{13} - \sqrt{12} = \frac{(\sqrt{13} - \sqrt{12})(\sqrt{13} + \sqrt{12})}{\sqrt{13} + \sqrt{12}} = \frac{13 - 12}{\sqrt{13} + \sqrt{12}} = \frac{1}{\sqrt{13} + \sqrt{12}}$.

Для числа $b$:

$b = \sqrt{12} - \sqrt{11} = \frac{(\sqrt{12} - \sqrt{11})(\sqrt{12} + \sqrt{11})}{\sqrt{12} + \sqrt{11}} = \frac{12 - 11}{\sqrt{12} + \sqrt{11}} = \frac{1}{\sqrt{12} + \sqrt{11}}$.

Теперь нам нужно сравнить две дроби с одинаковыми числителями (равными 1). Из двух таких дробей больше та, у которой знаменатель меньше.

Сравним знаменатели: $Z_a = \sqrt{13} + \sqrt{12}$ и $Z_b = \sqrt{12} + \sqrt{11}$.

Так как $13 > 11$, то $\sqrt{13} > \sqrt{11}$.

Прибавив к обеим частям неравенства $\sqrt{12}$, получим:

$\sqrt{13} + \sqrt{12} > \sqrt{11} + \sqrt{12}$, то есть $Z_a > Z_b$.

Поскольку знаменатель дроби $a$ больше знаменателя дроби $b$, сама дробь $a$ будет меньше дроби $b$.

$\frac{1}{\sqrt{13} + \sqrt{12}} < \frac{1}{\sqrt{12} + \sqrt{11}}$, следовательно, $a < b$.

Ответ: $a < b$.

535. Найти значения x, при которых имеет смысл выражение:

1) $\sqrt[3]{\sqrt{x-1}+2}$;2) $\sqrt[4]{(1-x)^2-2}$;

3) $((1+x)^{-1}-3)^{\frac{1}{3}}$;4) $(x+4(x-1)^{-2})^{-\frac{2}{5}}$.

1) Выражение $\sqrt[3]{\sqrt{x-1}+2}$

Данное выражение содержит корень кубический и корень квадратный. Корень нечетной степени (кубический) определен для любого действительного подкоренного выражения. Следовательно, единственное ограничение накладывает корень четной степени (квадратный), подкоренное выражение которого должно быть неотрицательным.

Условие существования выражения:$x - 1 \ge 0$Решая это неравенство, получаем:$x \ge 1$Таким образом, выражение имеет смысл при всех $x$, принадлежащих промежутку $[1, +\infty)$.

Ответ: $x \in [1, +\infty)$.

2) Выражение $\sqrt[4]{\sqrt{(1-x)^2}-2}$

Данное выражение содержит корень четвертой степени. Корень четной степени определен только в том случае, если его подкоренное выражение неотрицательно.

Условие существования выражения:$\sqrt{(1-x)^2} - 2 \ge 0$Упростим подкоренное выражение, используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$:$|1-x| - 2 \ge 0$$|1-x| \ge 2$Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств:1) $1-x \ge 2 \implies -x \ge 1 \implies x \le -1$2) $1-x \le -2 \implies -x \le -3 \implies x \ge 3$Объединяя решения, получаем, что выражение имеет смысл при $x \le -1$ или $x \ge 3$.

Ответ: $x \in (-\infty, -1] \cup [3, +\infty)$.

3) Выражение $((1+x)^{-1}-3)^{\frac{1}{3}}$

Запишем выражение в виде корня: $\sqrt[3]{(1+x)^{-1}-3}$.Корень нечетной степени (кубический) определен для любого действительного подкоренного выражения. Ограничение возникает из-за наличия степени с отрицательным показателем.

Выражение $(1+x)^{-1}$ можно записать как $\frac{1}{1+x}$. Оно определено, если знаменатель не равен нулю.Условие существования выражения:$1+x \neq 0$$x \neq -1$Таким образом, выражение имеет смысл при всех действительных значениях $x$, кроме $x=-1$.

Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, +\infty)$.

4) Выражение $(x+4(x-1)^{-2})^{-\frac{2}{5}}$

Степень с дробно-рациональным показателем $a^{\frac{m}{n}}$ можно представить в виде $\sqrt[n]{a^m}$. Степень с отрицательным показателем $a^{-k}$ - это $\frac{1}{a^k}$.Преобразуем данное выражение:$(x+4(x-1)^{-2})^{-\frac{2}{5}} = \frac{1}{(x+4(x-1)^{-2})^{\frac{2}{5}}} = \frac{1}{\sqrt[5]{(x+4(x-1)^{-2})^2}}$Выражение имеет смысл, если:1. Выражение под корнем определено.2. Знаменатель дроби не равен нулю.

Рассмотрим выражение в основании степени: $x+4(x-1)^{-2} = x + \frac{4}{(x-1)^2}$.Оно определено, если знаменатель $(x-1)^2$ не равен нулю, то есть:$(x-1)^2 \neq 0 \implies x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$.

Теперь рассмотрим условие, что знаменатель всего выражения не равен нулю:$\sqrt[5]{(x + \frac{4}{(x-1)^2})^2} \neq 0$Это эквивалентно тому, что выражение под корнем не равно нулю:$(x + \frac{4}{(x-1)^2})^2 \neq 0$$x + \frac{4}{(x-1)^2} \neq 0$Решим уравнение, чтобы найти значения $x$, которые нужно исключить:$x + \frac{4}{(x-1)^2} = 0$$x(x-1)^2 + 4 = 0$$x(x^2 - 2x + 1) + 4 = 0$$x^3 - 2x^2 + x + 4 = 0$Проверим целые делители свободного члена (4): $\pm1, \pm2, \pm4$.При $x=-1$: $(-1)^3 - 2(-1)^2 + (-1) + 4 = -1 - 2 - 1 + 4 = 0$.Значит, $x=-1$ является корнем уравнения.Разделим многочлен $x^3 - 2x^2 + x + 4$ на $(x+1)$:$(x^3 - 2x^2 + x + 4) \div (x+1) = x^2 - 3x + 4$.Получаем уравнение $(x+1)(x^2 - 3x + 4) = 0$.Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 3x + 4 = 0$. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7$.Так как $D < 0$, у квадратного уравнения нет действительных корней.Следовательно, единственным действительным корнем исходного кубического уравнения является $x=-1$.Значит, мы должны исключить $x=-1$.

Объединяем все условия: $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, +\infty)$.

536. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:

1) $\frac{2}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}$;

2) $\frac{\sqrt{5}}{5+\sqrt{10}}$;

3) $\frac{3}{\sqrt[3]{4}}$;

4) $\frac{2}{\sqrt[4]{27}}$;

5) $\frac{3}{\sqrt[4]{5}-\sqrt[4]{2}}$;

6) $\frac{11}{\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{2}}$;

7) $\frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}$;

8) $\frac{1}{\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{9}}$.

1) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{2}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}$ , умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение, то есть на $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ . В знаменателе воспользуемся формулой разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ .
$\frac{2}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{2}+\sqrt{3})}{(\sqrt{2}-\sqrt{3})(\sqrt{2}+\sqrt{3})} = \frac{2(\sqrt{2}+\sqrt{3})}{(\sqrt{2})^2-(\sqrt{3})^2} = \frac{2(\sqrt{2}+\sqrt{3})}{2-3} = \frac{2(\sqrt{2}+\sqrt{3})}{-1} = -2(\sqrt{2}+\sqrt{3})$ .
Ответ: $-2(\sqrt{2}+\sqrt{3})$.

2) Для избавления от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{\sqrt{5}}{5+\sqrt{10}}$ , умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $5-\sqrt{10}$ .
$\frac{\sqrt{5}}{5+\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{5}(5-\sqrt{10})}{(5+\sqrt{10})(5-\sqrt{10})} = \frac{5\sqrt{5}-\sqrt{50}}{5^2-(\sqrt{10})^2} = \frac{5\sqrt{5}-\sqrt{25 \cdot 2}}{25-10} = \frac{5\sqrt{5}-5\sqrt{2}}{15} = \frac{5(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{15} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}$ .
Ответ: $\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}$.

3) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{3}{\sqrt[3]{4}}$ , нужно сделать подкоренное выражение в знаменателе полным кубом. Так как $\sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{2^2}$ , умножим числитель и знаменатель на $\sqrt[3]{2}$ .
$\frac{3}{\sqrt[3]{4}} = \frac{3}{\sqrt[3]{2^2}} = \frac{3 \cdot \sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2^2} \cdot \sqrt[3]{2}} = \frac{3\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2^3}} = \frac{3\sqrt[3]{2}}{2}$ .
Ответ: $\frac{3\sqrt[3]{2}}{2}$.

4) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{2}{\sqrt[4]{27}}$ , нужно сделать подкоренное выражение полным четвертой степенью. Так как $\sqrt[4]{27} = \sqrt[4]{3^3}$ , умножим числитель и знаменатель на $\sqrt[4]{3}$ .
$\frac{2}{\sqrt[4]{27}} = \frac{2}{\sqrt[4]{3^3}} = \frac{2 \cdot \sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{3^3} \cdot \sqrt[4]{3}} = \frac{2\sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{3^4}} = \frac{2\sqrt[4]{3}}{3}$ .
Ответ: $\frac{2\sqrt[4]{3}}{3}$.

5) Для избавления от иррациональности в знаменателе $\frac{3}{\sqrt[4]{5}-\sqrt[4]{2}}$ воспользуемся формулой разности четвертых степеней $a^4 - b^4 = (a-b)(a+b)(a^2+b^2)$ . Положим $a=\sqrt[4]{5}$ и $b=\sqrt[4]{2}$ . Умножим числитель и знаменатель на $(a+b)(a^2+b^2) = (\sqrt[4]{5}+\sqrt[4]{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})$ .
$\frac{3}{\sqrt[4]{5}-\sqrt[4]{2}} = \frac{3((\sqrt[4]{5}+\sqrt[4]{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2}))}{(\sqrt[4]{5}-\sqrt[4]{2})(\sqrt[4]{5}+\sqrt[4]{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})} = \frac{3(\sqrt[4]{5}+\sqrt[4]{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})} = \frac{3(\sqrt[4]{5}+\sqrt[4]{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{5-2} = (\sqrt[4]{5}+\sqrt[4]{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})$ .
Ответ: $(\sqrt[4]{5}+\sqrt[4]{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})$.

6) Для избавления от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{11}{\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{2}}$ воспользуемся формулой суммы кубов $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ . Положим $a=\sqrt[3]{3}$ и $b=\sqrt[3]{2}$ . Умножим числитель и знаменатель на $(a^2-ab+b^2) = ((\sqrt[3]{3})^2 - \sqrt[3]{3}\sqrt[3]{2} + (\sqrt[3]{2})^2) = (\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4})$ .
$\frac{11}{\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{2}} = \frac{11(\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4})}{(\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{2})(\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4})} = \frac{11(\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4})}{(\sqrt[3]{3})^3+(\sqrt[3]{2})^3} = \frac{11(\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4})}{3+2} = \frac{11(\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4})}{5}$ .
Ответ: $\frac{11(\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4})}{5}$.

7) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}$ , сгруппируем слагаемые в знаменателе: $(1+\sqrt{2})+\sqrt{3}$ , и умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(1+\sqrt{2})-\sqrt{3}$ .
$\frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}} = \frac{1 \cdot (1+\sqrt{2}-\sqrt{3})}{((1+\sqrt{2})+\sqrt{3})((1+\sqrt{2})-\sqrt{3})} = \frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{(1+\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{1+2\sqrt{2}+2-3} = \frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$ .
Знаменатель все еще содержит иррациональность. Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$ .
$\frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}+2-\sqrt{6}}{2 \cdot 2} = \frac{2+\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$ .
Ответ: $\frac{2+\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$.

8) Знаменатель дроби $\frac{1}{\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{9}}$ можно представить в виде $(\sqrt[3]{2})^2+\sqrt[3]{2}\sqrt[3]{3}+(\sqrt[3]{3})^2$ . Это выражение является неполным квадратом суммы и частью формулы разности кубов $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ . Положим $a=\sqrt[3]{3}$ и $b=\sqrt[3]{2}$ . Чтобы получить в знаменателе разность кубов, умножим числитель и знаменатель на $(a-b) = \sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2}$ .
$\frac{1}{\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{9}} = \frac{1 \cdot (\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2})}{(\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4})(\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2})} = \frac{\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2}}{(\sqrt[3]{3})^3 - (\sqrt[3]{2})^3} = \frac{\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2}}{3-2} = \sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2}$ .
Ответ: $\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2}$.