Номер 527, страница 168 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

527. Записать бесконечную периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной:

1) $1.10(209)$;

2) $0.108(32)$.

1) Для того чтобы перевести смешанную периодическую дробь $1,10(209)$ в обыкновенную, представим ее в виде переменной и выполним алгебраические преобразования.

Пусть $x = 1,10(209) = 1,10209209...$

Умножим обе части уравнения на $10^2 = 100$, чтобы сместить запятую за непериодическую часть (10).

$100x = 110,209209...$

Теперь умножим исходное уравнение на $10^5 = 100000$, чтобы сместить запятую за первый период (209). Количество знаков в непериодической части (2) и в периоде (3) в сумме дает 5.

$100000x = 110209,209209...$

Вычтем из второго полученного уравнения первое, чтобы устранить бесконечную периодическую часть.

$100000x - 100x = 110209,209209... - 110,209209...$

$99900x = 110209 - 110$

$99900x = 110099$

Выразим $x$, чтобы получить обыкновенную дробь.

$x = \frac{110099}{99900}$

Данная дробь является несократимой, так как у числителя и знаменателя нет общих делителей.

Ответ: $\frac{110099}{99900}$.

2) Для преобразования дроби $0,108(32)$ в обыкновенную используем тот же метод.

Пусть $x = 0,108(32) = 0,1083232...$

В непериодической части после запятой (108) содержится 3 цифры. Умножим уравнение на $10^3 = 1000$.

$1000x = 108,3232...$

В периоде (32) содержатся 2 цифры. Умножим исходное уравнение на $10^{3+2} = 10^5 = 100000$.

$100000x = 10832,3232...$

Вычтем из второго уравнения первое.

$100000x - 1000x = 10832,3232... - 108,3232...$

$99000x = 10832 - 108$

$99000x = 10724$

Найдем $x$.

$x = \frac{10724}{99000}$

Теперь необходимо сократить полученную дробь. Оба числа, числитель и знаменатель, являются четными. Наибольший общий делитель для них - 4.

$x = \frac{10724 : 4}{99000 : 4} = \frac{2681}{24750}$

Дальнейшее сокращение невозможно, так как числитель 2681 не имеет общих простых делителей со знаменателем $24750 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5^3 \cdot 11$.

Ответ: $\frac{2681}{24750}$.