Номер 531, страница 168 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

531. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 3,5, а сумма квадратов её членов равна $\frac{147}{16}$. Найти сумму кубов членов этой прогрессии.

Пусть $b_1$ — первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель, где $|q| < 1$.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии $S$ вычисляется по формуле:$S = \frac{b_1}{1-q}$По условию задачи, $S = 3,5 = \frac{7}{2}$. Следовательно, мы имеем первое уравнение:

$\frac{b_1}{1-q} = \frac{7}{2}$ (1)

Последовательность квадратов членов исходной прогрессии, $b_1^2, (b_1q)^2, (b_1q^2)^2, \dots$ или $b_1^2, b_1^2q^2, b_1^2q^4, \dots$, также является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Её первый член равен $b_1^2$, а знаменатель равен $q^2$. Так как $|q|<1$, то и $|q^2|<1$.

Сумма квадратов членов прогрессии $S_{кв}$ вычисляется по формуле:$S_{кв} = \frac{b_1^2}{1-q^2}$По условию, $S_{кв} = \frac{147}{16}$. Следовательно, мы имеем второе уравнение:

$\frac{b_1^2}{1-q^2} = \frac{147}{16}$ (2)

Для нахождения $b_1$ и $q$ решим систему из двух уравнений. Преобразуем второе уравнение, используя формулу разности квадратов $1-q^2 = (1-q)(1+q)$:

$\frac{b_1^2}{(1-q)(1+q)} = \frac{b_1}{1-q} \cdot \frac{b_1}{1+q} = \frac{147}{16}$

Подставим в это выражение значение $\frac{b_1}{1-q}$ из уравнения (1):

$\frac{7}{2} \cdot \frac{b_1}{1+q} = \frac{147}{16}$

Отсюда найдем выражение для $\frac{b_1}{1+q}$:

$\frac{b_1}{1+q} = \frac{147}{16} \cdot \frac{2}{7} = \frac{147 \cdot 2}{16 \cdot 7} = \frac{21 \cdot 7 \cdot 2}{8 \cdot 2 \cdot 7} = \frac{21}{8}$ (3)

Теперь у нас есть система из двух более простых уравнений (1) и (3):$\begin{cases} \frac{b_1}{1-q} = \frac{7}{2} \\ \frac{b_1}{1+q} = \frac{21}{8} \end{cases}$

Разделим уравнение (1) на уравнение (3):

$\frac{\frac{b_1}{1-q}}{\frac{b_1}{1+q}} = \frac{\frac{7}{2}}{\frac{21}{8}}$

$\frac{1+q}{1-q} = \frac{7}{2} \cdot \frac{8}{21} = \frac{7 \cdot 8}{2 \cdot 21} = \frac{56}{42} = \frac{4}{3}$

Решим полученное уравнение относительно $q$:

$3(1+q) = 4(1-q)$

$3+3q = 4-4q$

$7q = 1$

$q = \frac{1}{7}$

Теперь найдем $b_1$, подставив значение $q$ в уравнение (1):

$b_1 = \frac{7}{2}(1-q) = \frac{7}{2}\left(1-\frac{1}{7}\right) = \frac{7}{2} \cdot \frac{6}{7} = 3$

Нам необходимо найти сумму кубов членов этой прогрессии. Последовательность кубов $b_1^3, (b_1q)^3, (b_1q^2)^3, \dots$ является бесконечно убывающей геометрической прогрессией с первым членом $b_1^3$ и знаменателем $q^3$. Её сумма $S_{куб}$ равна:

$S_{куб} = \frac{b_1^3}{1-q^3}$

Подставим найденные значения $b_1=3$ и $q=\frac{1}{7}$:

$S_{куб} = \frac{3^3}{1 - (\frac{1}{7})^3} = \frac{27}{1 - \frac{1}{343}} = \frac{27}{\frac{343-1}{343}} = \frac{27}{\frac{342}{343}}$

$S_{куб} = 27 \cdot \frac{343}{342} = \frac{27 \cdot 343}{342}$

Сократим дробь. Заметим, что $27 = 3 \cdot 9$ и $342 = 3+4+2=9$, то есть $342$ делится на $9$. $342 \div 9 = 38$.

$S_{куб} = \frac{3 \cdot 9 \cdot 343}{38 \cdot 9} = \frac{3 \cdot 343}{38} = \frac{1029}{38}$

Ответ: $\frac{1029}{38}$