Номер 533, страница 168 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

533. Упростить выражение $a = (4 - 3\sqrt{2})^2 + 8\sqrt{34 - 24\sqrt{2} - \sqrt{5}}$.

Сравнить полученное число с нулём.

Упростить выражение $a = (4 - 3\sqrt{2})^2 + 8\sqrt{34 - 24\sqrt{2}} - \sqrt{5}$

Для упрощения данного выражения выполним действия поочередно.

1. Раскроем скобки в первом слагаемом, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$(4 - 3\sqrt{2})^2 = 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot 3\sqrt{2} + (3\sqrt{2})^2 = 16 - 24\sqrt{2} + 9 \cdot 2 = 16 - 24\sqrt{2} + 18 = 34 - 24\sqrt{2}$.

2. Упростим второе слагаемое $8\sqrt{34 - 24\sqrt{2}}$.

Заметим, что подкоренное выражение $34 - 24\sqrt{2}$ является полным квадратом, что мы выяснили в первом пункте:

$34 - 24\sqrt{2} = (4 - 3\sqrt{2})^2$.

Тогда корень из этого выражения будет равен:

$\sqrt{34 - 24\sqrt{2}} = \sqrt{(4 - 3\sqrt{2})^2}$.

По свойству арифметического квадратного корня $\sqrt{x^2} = |x|$, получаем:

$\sqrt{(4 - 3\sqrt{2})^2} = |4 - 3\sqrt{2}|$.

Чтобы раскрыть модуль, необходимо определить знак выражения $4 - 3\sqrt{2}$. Сравним числа $4$ и $3\sqrt{2}$ путем сравнения их квадратов:

$4^2 = 16$

$(3\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$

Так как $16 < 18$, то $4 < 3\sqrt{2}$, а значит, разность $4 - 3\sqrt{2}$ отрицательна.

Следовательно, $|4 - 3\sqrt{2}| = -(4 - 3\sqrt{2}) = 3\sqrt{2} - 4$.

Теперь второе слагаемое исходного выражения можно записать как:

$8\sqrt{34 - 24\sqrt{2}} = 8 \cdot (3\sqrt{2} - 4) = 24\sqrt{2} - 32$.

3. Подставим упрощенные части обратно в исходное выражение для $a$:

$a = (34 - 24\sqrt{2}) + (24\sqrt{2} - 32) - \sqrt{5}$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$a = (34 - 32) + (-24\sqrt{2} + 24\sqrt{2}) - \sqrt{5}$.

Слагаемые с $\sqrt{2}$ взаимно уничтожаются:

$a = 2 - \sqrt{5}$.

Ответ: $a = 2 - \sqrt{5}$.

Сравнить полученное число с нулём

Нам необходимо сравнить полученное значение $a = 2 - \sqrt{5}$ с нулём.

Сравнение выражения $2 - \sqrt{5}$ с $0$ равносильно сравнению числа $2$ с числом $\sqrt{5}$.

Так как оба числа являются положительными, мы можем сравнить их квадраты:

$2^2 = 4$

$(\sqrt{5})^2 = 5$

Поскольку $4 < 5$, можно сделать вывод, что $2 < \sqrt{5}$.

Следовательно, разность $2 - \sqrt{5}$ является отрицательным числом:

$a = 2 - \sqrt{5} < 0$.

Ответ: полученное число меньше нуля.