Номер 535, страница 168 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

535. Найти значения x, при которых имеет смысл выражение:

1) $\sqrt[3]{\sqrt{x-1}+2}$;2) $\sqrt[4]{(1-x)^2-2}$;

3) $((1+x)^{-1}-3)^{\frac{1}{3}}$;4) $(x+4(x-1)^{-2})^{-\frac{2}{5}}$.

1) Выражение $\sqrt[3]{\sqrt{x-1}+2}$

Данное выражение содержит корень кубический и корень квадратный. Корень нечетной степени (кубический) определен для любого действительного подкоренного выражения. Следовательно, единственное ограничение накладывает корень четной степени (квадратный), подкоренное выражение которого должно быть неотрицательным.

Условие существования выражения:$x - 1 \ge 0$Решая это неравенство, получаем:$x \ge 1$Таким образом, выражение имеет смысл при всех $x$, принадлежащих промежутку $[1, +\infty)$.

Ответ: $x \in [1, +\infty)$.

2) Выражение $\sqrt[4]{\sqrt{(1-x)^2}-2}$

Данное выражение содержит корень четвертой степени. Корень четной степени определен только в том случае, если его подкоренное выражение неотрицательно.

Условие существования выражения:$\sqrt{(1-x)^2} - 2 \ge 0$Упростим подкоренное выражение, используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$:$|1-x| - 2 \ge 0$$|1-x| \ge 2$Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств:1) $1-x \ge 2 \implies -x \ge 1 \implies x \le -1$2) $1-x \le -2 \implies -x \le -3 \implies x \ge 3$Объединяя решения, получаем, что выражение имеет смысл при $x \le -1$ или $x \ge 3$.

Ответ: $x \in (-\infty, -1] \cup [3, +\infty)$.

3) Выражение $((1+x)^{-1}-3)^{\frac{1}{3}}$

Запишем выражение в виде корня: $\sqrt[3]{(1+x)^{-1}-3}$.Корень нечетной степени (кубический) определен для любого действительного подкоренного выражения. Ограничение возникает из-за наличия степени с отрицательным показателем.

Выражение $(1+x)^{-1}$ можно записать как $\frac{1}{1+x}$. Оно определено, если знаменатель не равен нулю.Условие существования выражения:$1+x \neq 0$$x \neq -1$Таким образом, выражение имеет смысл при всех действительных значениях $x$, кроме $x=-1$.

Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, +\infty)$.

4) Выражение $(x+4(x-1)^{-2})^{-\frac{2}{5}}$

Степень с дробно-рациональным показателем $a^{\frac{m}{n}}$ можно представить в виде $\sqrt[n]{a^m}$. Степень с отрицательным показателем $a^{-k}$ - это $\frac{1}{a^k}$.Преобразуем данное выражение:$(x+4(x-1)^{-2})^{-\frac{2}{5}} = \frac{1}{(x+4(x-1)^{-2})^{\frac{2}{5}}} = \frac{1}{\sqrt[5]{(x+4(x-1)^{-2})^2}}$Выражение имеет смысл, если:1. Выражение под корнем определено.2. Знаменатель дроби не равен нулю.

Рассмотрим выражение в основании степени: $x+4(x-1)^{-2} = x + \frac{4}{(x-1)^2}$.Оно определено, если знаменатель $(x-1)^2$ не равен нулю, то есть:$(x-1)^2 \neq 0 \implies x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$.

Теперь рассмотрим условие, что знаменатель всего выражения не равен нулю:$\sqrt[5]{(x + \frac{4}{(x-1)^2})^2} \neq 0$Это эквивалентно тому, что выражение под корнем не равно нулю:$(x + \frac{4}{(x-1)^2})^2 \neq 0$$x + \frac{4}{(x-1)^2} \neq 0$Решим уравнение, чтобы найти значения $x$, которые нужно исключить:$x + \frac{4}{(x-1)^2} = 0$$x(x-1)^2 + 4 = 0$$x(x^2 - 2x + 1) + 4 = 0$$x^3 - 2x^2 + x + 4 = 0$Проверим целые делители свободного члена (4): $\pm1, \pm2, \pm4$.При $x=-1$: $(-1)^3 - 2(-1)^2 + (-1) + 4 = -1 - 2 - 1 + 4 = 0$.Значит, $x=-1$ является корнем уравнения.Разделим многочлен $x^3 - 2x^2 + x + 4$ на $(x+1)$:$(x^3 - 2x^2 + x + 4) \div (x+1) = x^2 - 3x + 4$.Получаем уравнение $(x+1)(x^2 - 3x + 4) = 0$.Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 3x + 4 = 0$. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7$.Так как $D < 0$, у квадратного уравнения нет действительных корней.Следовательно, единственным действительным корнем исходного кубического уравнения является $x=-1$.Значит, мы должны исключить $x=-1$.

Объединяем все условия: $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, +\infty)$.