Номер 530, страница 168 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

530. Найти $b_1$ и $q$ бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если известны её сумма (S) и сумма $n$ первых её членов ($S_n$):

1) $S = \frac{2}{3}, S_5 = \frac{31}{48};$

2) $S = 0,9, S_8 = \frac{8}{9}.$

1)

Для бесконечно убывающей геометрической прогрессии известны формулы суммы всех ее членов $S$ и суммы первых $n$ членов $S_n$:

$S = \frac{b_1}{1-q}$

$S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$

где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель ($|q| < 1$).

Из первой формулы можно выразить $b_1 = S(1-q)$. Подставив это выражение во вторую формулу, получим:

$S_n = \frac{S(1-q)(1-q^n)}{1-q} = S(1-q^n)$

Это соотношение позволяет нам найти $q$, зная $S$ и $S_n$.

По условию задачи имеем $S = \frac{2}{3}$ и $S_5 = \frac{31}{48}$.

Подставим эти значения в выведенную формулу $S_5 = S(1 - q^5)$:

$\frac{31}{48} = \frac{2}{3}(1 - q^5)$

Выразим $(1 - q^5)$:

$1 - q^5 = \frac{31/48}{2/3} = \frac{31}{48} \cdot \frac{3}{2} = \frac{31 \cdot 3}{48 \cdot 2} = \frac{31}{16 \cdot 2} = \frac{31}{32}$

Теперь найдем $q^5$:

$q^5 = 1 - \frac{31}{32} = \frac{32}{32} - \frac{31}{32} = \frac{1}{32}$

Отсюда находим знаменатель $q$:

$q = \sqrt[5]{\frac{1}{32}} = \frac{1}{2}$

Теперь, зная $q$, найдем первый член прогрессии $b_1$ по формуле $b_1 = S(1-q)$:

$b_1 = \frac{2}{3} \left(1 - \frac{1}{2}\right) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$

Ответ: $b_1 = \frac{1}{3}$, $q = \frac{1}{2}$.

2)

Используем тот же подход. По условию $S = 0.9 = \frac{9}{10}$ и $S_8 = \frac{8}{9}$.

Подставим значения в формулу $S_n = S(1 - q^n)$ для $n=8$:

$S_8 = S(1 - q^8)$

$\frac{8}{9} = \frac{9}{10}(1 - q^8)$

Выразим $(1 - q^8)$:

$1 - q^8 = \frac{8/9}{9/10} = \frac{8}{9} \cdot \frac{10}{9} = \frac{80}{81}$

Теперь найдем $q^8$:

$q^8 = 1 - \frac{80}{81} = \frac{81}{81} - \frac{80}{81} = \frac{1}{81}$

Извлекая корень восьмой степени, получаем два возможных значения для $q$, так как степень четная:

$q = \pm \sqrt[8]{\frac{1}{81}} = \pm \sqrt[8]{\frac{1}{3^4}} = \pm \frac{1}{3^{4/8}} = \pm \frac{1}{3^{1/2}} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Оба значения удовлетворяют условию $|q|<1$ для бесконечно убывающей прогрессии, так как $|\pm \frac{\sqrt{3}}{3}| \approx 0.577 < 1$. Следовательно, существуют два возможных набора решений.

Найдем $b_1$ для каждого значения $q$ по формуле $b_1 = S(1-q)$:

Случай 1: $q = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$b_1 = \frac{9}{10} \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{9}{10} \cdot \frac{3-\sqrt{3}}{3} = \frac{3(3-\sqrt{3})}{10}$

Случай 2: $q = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

$b_1 = \frac{9}{10} \left(1 - \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\right) = \frac{9}{10} \left(1 + \frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{9}{10} \cdot \frac{3+\sqrt{3}}{3} = \frac{3(3+\sqrt{3})}{10}$

Ответ: $b_1 = \frac{3(3-\sqrt{3})}{10}$ и $q = \frac{\sqrt{3}}{3}$, или $b_1 = \frac{3(3+\sqrt{3})}{10}$ и $q = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.