Номер 536, страница 168 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

536. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:

1) $\frac{2}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}$;

2) $\frac{\sqrt{5}}{5+\sqrt{10}}$;

3) $\frac{3}{\sqrt[3]{4}}$;

4) $\frac{2}{\sqrt[4]{27}}$;

5) $\frac{3}{\sqrt[4]{5}-\sqrt[4]{2}}$;

6) $\frac{11}{\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{2}}$;

7) $\frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}$;

8) $\frac{1}{\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{9}}$.

1) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{2}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}$ , умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение, то есть на $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ . В знаменателе воспользуемся формулой разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ .
$\frac{2}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{2}+\sqrt{3})}{(\sqrt{2}-\sqrt{3})(\sqrt{2}+\sqrt{3})} = \frac{2(\sqrt{2}+\sqrt{3})}{(\sqrt{2})^2-(\sqrt{3})^2} = \frac{2(\sqrt{2}+\sqrt{3})}{2-3} = \frac{2(\sqrt{2}+\sqrt{3})}{-1} = -2(\sqrt{2}+\sqrt{3})$ .
Ответ: $-2(\sqrt{2}+\sqrt{3})$.

2) Для избавления от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{\sqrt{5}}{5+\sqrt{10}}$ , умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $5-\sqrt{10}$ .
$\frac{\sqrt{5}}{5+\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{5}(5-\sqrt{10})}{(5+\sqrt{10})(5-\sqrt{10})} = \frac{5\sqrt{5}-\sqrt{50}}{5^2-(\sqrt{10})^2} = \frac{5\sqrt{5}-\sqrt{25 \cdot 2}}{25-10} = \frac{5\sqrt{5}-5\sqrt{2}}{15} = \frac{5(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{15} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}$ .
Ответ: $\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}$.

3) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{3}{\sqrt[3]{4}}$ , нужно сделать подкоренное выражение в знаменателе полным кубом. Так как $\sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{2^2}$ , умножим числитель и знаменатель на $\sqrt[3]{2}$ .
$\frac{3}{\sqrt[3]{4}} = \frac{3}{\sqrt[3]{2^2}} = \frac{3 \cdot \sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2^2} \cdot \sqrt[3]{2}} = \frac{3\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2^3}} = \frac{3\sqrt[3]{2}}{2}$ .
Ответ: $\frac{3\sqrt[3]{2}}{2}$.

4) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{2}{\sqrt[4]{27}}$ , нужно сделать подкоренное выражение полным четвертой степенью. Так как $\sqrt[4]{27} = \sqrt[4]{3^3}$ , умножим числитель и знаменатель на $\sqrt[4]{3}$ .
$\frac{2}{\sqrt[4]{27}} = \frac{2}{\sqrt[4]{3^3}} = \frac{2 \cdot \sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{3^3} \cdot \sqrt[4]{3}} = \frac{2\sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{3^4}} = \frac{2\sqrt[4]{3}}{3}$ .
Ответ: $\frac{2\sqrt[4]{3}}{3}$.

5) Для избавления от иррациональности в знаменателе $\frac{3}{\sqrt[4]{5}-\sqrt[4]{2}}$ воспользуемся формулой разности четвертых степеней $a^4 - b^4 = (a-b)(a+b)(a^2+b^2)$ . Положим $a=\sqrt[4]{5}$ и $b=\sqrt[4]{2}$ . Умножим числитель и знаменатель на $(a+b)(a^2+b^2) = (\sqrt[4]{5}+\sqrt[4]{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})$ .
$\frac{3}{\sqrt[4]{5}-\sqrt[4]{2}} = \frac{3((\sqrt[4]{5}+\sqrt[4]{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2}))}{(\sqrt[4]{5}-\sqrt[4]{2})(\sqrt[4]{5}+\sqrt[4]{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})} = \frac{3(\sqrt[4]{5}+\sqrt[4]{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})} = \frac{3(\sqrt[4]{5}+\sqrt[4]{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{5-2} = (\sqrt[4]{5}+\sqrt[4]{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})$ .
Ответ: $(\sqrt[4]{5}+\sqrt[4]{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})$.

6) Для избавления от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{11}{\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{2}}$ воспользуемся формулой суммы кубов $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ . Положим $a=\sqrt[3]{3}$ и $b=\sqrt[3]{2}$ . Умножим числитель и знаменатель на $(a^2-ab+b^2) = ((\sqrt[3]{3})^2 - \sqrt[3]{3}\sqrt[3]{2} + (\sqrt[3]{2})^2) = (\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4})$ .
$\frac{11}{\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{2}} = \frac{11(\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4})}{(\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{2})(\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4})} = \frac{11(\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4})}{(\sqrt[3]{3})^3+(\sqrt[3]{2})^3} = \frac{11(\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4})}{3+2} = \frac{11(\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4})}{5}$ .
Ответ: $\frac{11(\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4})}{5}$.

7) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}$ , сгруппируем слагаемые в знаменателе: $(1+\sqrt{2})+\sqrt{3}$ , и умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(1+\sqrt{2})-\sqrt{3}$ .
$\frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}} = \frac{1 \cdot (1+\sqrt{2}-\sqrt{3})}{((1+\sqrt{2})+\sqrt{3})((1+\sqrt{2})-\sqrt{3})} = \frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{(1+\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{1+2\sqrt{2}+2-3} = \frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$ .
Знаменатель все еще содержит иррациональность. Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$ .
$\frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}+2-\sqrt{6}}{2 \cdot 2} = \frac{2+\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$ .
Ответ: $\frac{2+\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$.

8) Знаменатель дроби $\frac{1}{\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{9}}$ можно представить в виде $(\sqrt[3]{2})^2+\sqrt[3]{2}\sqrt[3]{3}+(\sqrt[3]{3})^2$ . Это выражение является неполным квадратом суммы и частью формулы разности кубов $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ . Положим $a=\sqrt[3]{3}$ и $b=\sqrt[3]{2}$ . Чтобы получить в знаменателе разность кубов, умножим числитель и знаменатель на $(a-b) = \sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2}$ .
$\frac{1}{\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{9}} = \frac{1 \cdot (\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2})}{(\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4})(\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2})} = \frac{\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2}}{(\sqrt[3]{3})^3 - (\sqrt[3]{2})^3} = \frac{\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2}}{3-2} = \sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2}$ .
Ответ: $\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2}$.