Номер 543, страница 169 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

543. Найти значение выражения:

$\frac{(x^2+9)^{-0.5}+(x^2-9)^{-0.5}}{(x^2+9)^{-0.5}-(x^2-9)^{-0.5}}$ при $x = 3\left(\frac{a^2+b^2}{2ab}\right)^{0.5}$.

Для нахождения значения выражения, обозначим его через $E$:

$E = \frac{(x^2 + 9)^{-0.5} + (x^2 - 9)^{-0.5}}{(x^2 + 9)^{-0.5} - (x^2 - 9)^{-0.5}}$

Сначала определим область допустимых значений. Для того чтобы выражение имело смысл, необходимо, чтобы подкоренные выражения были положительными. В частности, $(x^2 - 9)$ в степени $-0.5$ требует, чтобы $x^2 - 9 > 0$.

Нам дано значение $x$:

$x = 3 \left( \frac{a^2 + b^2}{2ab} \right)^{0.5}$

Для того чтобы $x$ был действительным числом, выражение под корнем должно быть неотрицательным. Так как $a^2 + b^2 \ge 0$, требуется, чтобы $2ab > 0$, что означает $ab > 0$. То есть, $a$ и $b$ должны быть одного знака.

Возведем $x$ в квадрат:

$x^2 = 3^2 \left( \frac{a^2 + b^2}{2ab} \right) = 9 \frac{a^2 + b^2}{2ab}$

Проверим условие $x^2 - 9 > 0$:

$x^2 - 9 = 9 \frac{a^2 + b^2}{2ab} - 9 = 9 \left( \frac{a^2 + b^2}{2ab} - 1 \right) = 9 \left( \frac{a^2 + b^2 - 2ab}{2ab} \right) = \frac{9(a-b)^2}{2ab}$

Поскольку $ab > 0$ и $(a-b)^2 \ge 0$, для выполнения условия $x^2 - 9 > 0$ необходимо, чтобы $(a-b)^2 \neq 0$, то есть $a \neq b$.

Теперь упростим исходное выражение $E$. Используя свойство $y^{-0.5} = \frac{1}{\sqrt{y}}$, перепишем $E$:

$E = \frac{\frac{1}{\sqrt{x^2+9}} + \frac{1}{\sqrt{x^2-9}}}{\frac{1}{\sqrt{x^2+9}} - \frac{1}{\sqrt{x^2-9}}}$

Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{x^2+9}\sqrt{x^2-9}$:

$E = \frac{\sqrt{x^2-9} + \sqrt{x^2+9}}{\sqrt{x^2-9} - \sqrt{x^2+9}}$

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $(\sqrt{x^2-9} + \sqrt{x^2+9})$:

$E = \frac{(\sqrt{x^2-9} + \sqrt{x^2+9})^2}{(\sqrt{x^2-9} - \sqrt{x^2+9})(\sqrt{x^2-9} + \sqrt{x^2+9})}$

В знаменателе получаем разность квадратов:

$E = \frac{(x^2-9) + (x^2+9) + 2\sqrt{(x^2-9)(x^2+9)}}{(x^2-9) - (x^2+9)}$

$E = \frac{2x^2 + 2\sqrt{x^4-81}}{-18} = -\frac{x^2 + \sqrt{x^4-81}}{9}$

Теперь подставим в это выражение $x^2 = 9 \frac{a^2 + b^2}{2ab}$:

$E = -\frac{1}{9} \left( 9 \frac{a^2 + b^2}{2ab} + \sqrt{\left(9 \frac{a^2 + b^2}{2ab}\right)^2 - 81} \right)$

$E = -\left( \frac{a^2 + b^2}{2ab} + \frac{1}{9} \sqrt{81 \left( \left(\frac{a^2 + b^2}{2ab}\right)^2 - 1 \right)} \right)$

$E = -\left( \frac{a^2 + b^2}{2ab} + \sqrt{\frac{(a^2+b^2)^2}{(2ab)^2} - 1} \right)$

$E = -\left( \frac{a^2 + b^2}{2ab} + \sqrt{\frac{(a^2+b^2)^2 - (2ab)^2}{(2ab)^2}} \right)$

Так как $ab > 0$, то $\sqrt{(2ab)^2} = 2ab$. Упростим выражение под корнем в числителе:

$E = -\left( \frac{a^2 + b^2}{2ab} + \frac{\sqrt{a^4 + 2a^2b^2 + b^4 - 4a^2b^2}}{2ab} \right)$

$E = -\left( \frac{a^2 + b^2}{2ab} + \frac{\sqrt{a^4 - 2a^2b^2 + b^4}}{2ab} \right)$

$E = -\left( \frac{a^2 + b^2}{2ab} + \frac{\sqrt{(a^2-b^2)^2}}{2ab} \right)$

По определению корня, $\sqrt{(a^2-b^2)^2} = |a^2-b^2|$.

$E = -\frac{a^2+b^2+|a^2-b^2|}{2ab}$

Значение выражения зависит от соотношения между $|a|$ и $|b|$. Рассмотрим два случая:

Случай 1: $|a| > |b|$. В этом случае $a^2 > b^2$, и $|a^2-b^2| = a^2-b^2$.

$E = -\frac{a^2+b^2 + (a^2-b^2)}{2ab} = -\frac{2a^2}{2ab} = -\frac{a}{b}$

Случай 2: $|b| > |a|$. В этом случае $b^2 > a^2$, и $|a^2-b^2| = -(a^2-b^2) = b^2-a^2$.

$E = -\frac{a^2+b^2 + (b^2-a^2)}{2ab} = -\frac{2b^2}{2ab} = -\frac{b}{a}$

Таким образом, значение выражения зависит от соотношения величин $a$ и $b$.

Ответ: Значение выражения равно $-\frac{a}{b}$, если $|a|>|b|$, и $-\frac{b}{a}$, если $|b|>|a|$.