Номер 545, страница 169 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

545. При проектировании водоснабжения посёлка необходимо рассчитать примерный расход воды $V \text{ (в м}^3\text{)}$ через несколько лет. Каков будет суточный расход воды в посёлке через $m$ лет, если по нормам расход воды на одного жителя в сутки равен $v \text{ м}^3$, число жителей в посёлке при заселении равно $N$, а годичный прирост жителей $p\%$. Произвести расчёт при:

1) $m = 3, v = 0,3, N = 250, p = 8$;

2) $m = 4,5, v = 0,4, N = 346, p = 10$.

Для решения задачи необходимо определить, как изменяется численность населения посёлка с течением времени, а затем умножить это число на норму расхода воды на одного жителя.

Численность жителей в посёлке растёт ежегодно на $p\%$. Это означает, что мы имеем дело со сложными процентами. Формула для расчёта численности населения ($N_m$) через $m$ лет при начальной численности $N$ и ежегодном приросте $p\%$ выглядит следующим образом:

$N_m = N \cdot (1 + \frac{p}{100})^m$

Общий суточный расход воды $V$ через $m$ лет будет равен произведению численности жителей на норму расхода воды $v$ на одного жителя:

$V = N_m \cdot v$

Подставив выражение для $N_m$, получаем итоговую формулу для расчёта:

$V = N \cdot (1 + \frac{p}{100})^m \cdot v$

Теперь произведём расчёт для каждого из предложенных случаев.

1) При $m = 3$ года, $v = 0,3 \text{ м}^3$, $N = 250$ жителей, $p = 8\%$.

Подставляем значения в формулу:

$V = 250 \cdot (1 + \frac{8}{100})^3 \cdot 0,3$

Выполняем вычисления:

$V = 250 \cdot (1 + 0,08)^3 \cdot 0,3$

$V = 250 \cdot (1,08)^3 \cdot 0,3$

$V = 250 \cdot 1,259712 \cdot 0,3$

$V = 314,928 \cdot 0,3$

$V = 94,4784 \text{ м}^3$

Округлим до сотых: $V \approx 94,48 \text{ м}^3$.

Ответ: $94,48 \text{ м}^3$.

2) При $m = 4,5$ года, $v = 0,4 \text{ м}^3$, $N = 346$ жителей, $p = 10\%$.

Подставляем значения в формулу:

$V = 346 \cdot (1 + \frac{10}{100})^{4,5} \cdot 0,4$

Выполняем вычисления:

$V = 346 \cdot (1 + 0,1)^{4,5} \cdot 0,4$

$V = 346 \cdot (1,1)^{4,5} \cdot 0,4$

Вычисляем $(1,1)^{4,5}$:

$(1,1)^{4,5} \approx 1,53569$

Подставляем это значение обратно в формулу:

$V \approx 346 \cdot 1,53569 \cdot 0,4$

$V \approx 531,348 \cdot 0,4$

$V \approx 212,539 \text{ м}^3$

Округлим до сотых: $V \approx 212,54 \text{ м}^3$.

Ответ: $212,54 \text{ м}^3$.