Номер 2, страница 170 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава IV. Степень с действительным показателем. Вопросы к главе IV - номер 2, страница 170.

Условие.

2. Сохраняются ли законы и правила действий над рациональными числами и для действительных чисел?

Решение 1.

Решение 4.

Да, все законы и правила действий, справедливые для рациональных чисел, полностью сохраняются и для действительных чисел. Множество действительных чисел $\mathbb{R}$ является расширением множества рациональных чисел $\mathbb{Q}$. Это расширение построено таким образом, чтобы сохранить все основные алгебраические и порядковые свойства. Иными словами, и рациональные, и действительные числа образуют упорядоченное поле, поэтому для них действуют одни и те же аксиомы и правила.

Основные законы и правила, которые сохраняются:

• Переместительный (коммутативный) закон

  Для любых действительных чисел $a$ и $b$ результат операции не зависит от порядка операндов.

  Сложение: $a + b = b + a$. Например, $5 + \sqrt{2} = \sqrt{2} + 5$.

  Умножение: $a \cdot b = b \cdot a$. Например, $\pi \cdot 7 = 7 \cdot \pi$.

• Сочетательный (ассоциативный) закон

  Для любых действительных чисел $a$, $b$ и $c$ порядок выполнения однотипных операций не влияет на результат.

  Сложение: $(a + b) + c = a + (b + c)$.

  Умножение: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$.

• Распределительный (дистрибутивный) закон

  Этот закон связывает операции сложения и умножения. Для любых действительных чисел $a$, $b$ и $c$ справедливо:

  $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$.

  Например, $\sqrt{3} \cdot (4 + \sqrt{3}) = \sqrt{3} \cdot 4 + \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3} + 3$.

• Свойства нуля и единицы

  Существуют нейтральные элементы для сложения (число 0) и умножения (число 1), которые являются действительными числами:

  $a + 0 = a$

  $a \cdot 1 = a$

  Умножение на ноль всегда дает ноль: $a \cdot 0 = 0$.

• Существование противоположных и обратных чисел

  Для любого действительного числа $a$ существует противоположное ему число $-a$ такое, что их сумма равна нулю: $a + (-a) = 0$.

  Для любого действительного числа $a \neq 0$ существует обратное ему число $\frac{1}{a}$ такое, что их произведение равно единице: $a \cdot \frac{1}{a} = 1$.

• Правила сравнения и действий с неравенствами

  Правила сравнения чисел (например, из двух чисел больше то, которое на числовой оси находится правее) и свойства неравенств (например, прибавление одного и того же числа к обеим частям неравенства или умножение на положительное число не меняет знак неравенства) также полностью сохраняются для действительных чисел.

Таким образом, переход от рациональных чисел к действительным не отменяет и не изменяет ни одного из фундаментальных законов арифметики. Он лишь расширяет множество чисел, с которыми можно выполнять эти действия, включая иррациональные числа (такие как $\sqrt{2}$, $\pi$, $e$), чтобы заполнить "пробелы" на числовой прямой.

Ответ: Да, законы и правила действий над рациональными числами полностью сохраняются и для действительных чисел.