Номер 8, страница 170 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

8. Показать на примере, как с помощью формулы суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно обратить бесконечную периодическую десятичную дробь в обыкновенную.

Чтобы обратить бесконечную периодическую десятичную дробь в обыкновенную, можно представить её периодическую часть как сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Формула для нахождения суммы такой прогрессии: $S = \frac{b_1}{1 - q}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель, причём обязательно $|q| < 1$.

Рассмотрим два примера: для чистой периодической дроби (когда период начинается сразу после запятой) и для смешанной (когда между запятой и периодом есть цифры).

Пример 1: Чистая периодическая дробь

Задача: Обратить дробь $0.(27)$ в обыкновенную.

Дробь $0.(27)$ можно записать как $0.272727...$.

1. Представление в виде суммы. Представим эту дробь в виде бесконечной суммы: $0.272727... = 0.27 + 0.0027 + 0.000027 + ...$

2. Определение параметров прогрессии. Эта сумма является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Её первый член $b_1 = 0.27$. Чтобы найти знаменатель $q$, разделим второй член на первый: $q = \frac{0.0027}{0.27} = 0.01$. Поскольку $|q| = 0.01 < 1$, мы можем применить формулу суммы.

3. Применение формулы суммы. Подставляем значения $b_1$ и $q$ в формулу: $S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{0.27}{1 - 0.01} = \frac{0.27}{0.99}$

4. Упрощение. Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим числитель и знаменатель на 100: $S = \frac{27}{99}$ Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 9: $\frac{27 \div 9}{99 \div 9} = \frac{3}{11}$

Ответ: $0.(27) = \frac{3}{11}$.

Пример 2: Смешанная периодическая дробь

Задача: Обратить дробь $0.41(6)$ в обыкновенную.

Дробь $0.41(6)$ можно записать как $0.416666...$.

1. Представление в виде суммы. Сначала отделим непериодическую часть от периодической: $0.41(6) = 0.41 + 0.00(6)$ Теперь представим периодическую часть $0.00(6) = 0.00666...$ в виде бесконечной суммы: $0.00666... = 0.006 + 0.0006 + 0.00006 + ...$

2. Определение параметров прогрессии для периодической части. Сумма $0.006 + 0.0006 + ...$ является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Её первый член $b_1 = 0.006$. Её знаменатель $q = \frac{0.0006}{0.006} = 0.1$. Так как $|q| = 0.1 < 1$, формула применима.

3. Вычисление суммы периодической части. Найдём сумму $S$ для периодической части: $S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{0.006}{1 - 0.1} = \frac{0.006}{0.9} = \frac{6}{900} = \frac{1}{150}$

4. Сложение частей и упрощение. Теперь вернёмся к исходному выражению и сложим непериодическую часть с полученной дробью: $0.41(6) = 0.41 + S = \frac{41}{100} + \frac{1}{150}$ Приведём дроби к общему знаменателю (300): $\frac{41 \cdot 3}{100 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{150 \cdot 2} = \frac{123}{300} + \frac{2}{300} = \frac{125}{300}$ Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 25: $\frac{125 \div 25}{300 \div 25} = \frac{5}{12}$

Ответ: $0.41(6) = \frac{5}{12}$.