Номер 5, страница 170 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

5. Какая последовательность называется бесконечно убывающей геометрической прогрессией?

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия — это частный случай геометрической прогрессии. Вспомним, что геометрической прогрессией называется числовая последовательность ($b_1, b_2, b_3, \dots, b_n, \dots$), каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число $q$, не равное нулю. Это число $q$ называется знаменателем геометрической прогрессии. Формула n-го члена имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Бесконечно убывающей геометрической прогрессией называется такая бесконечная геометрическая прогрессия, знаменатель $q$ которой по модулю строго меньше единицы.

Основное условие: $|q| < 1$ (или, что то же самое, $-1 < q < 1$).

При выполнении этого условия модуль каждого следующего члена прогрессии будет меньше модуля предыдущего: $|b_{n+1}| < |b_n|$. При неограниченном возрастании номера члена $n$ (при $n \to \infty$), члены прогрессии будут стремиться к нулю ($b_n \to 0$). Именно из-за этого свойства — стремления членов к нулю — прогрессия и получила название "бесконечно убывающей".

Примеры:

1. Последовательность $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \dots$ является бесконечно убывающей геометрической прогрессией, так как её знаменатель $q = \frac{1}{2}$, и $|q| = \frac{1}{2} < 1$.
2. Последовательность $1, - \frac{1}{3}, \frac{1}{9}, - \frac{1}{27}, \dots$ также является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Её знаменатель $q = -\frac{1}{3}$, и $|q| = |-\frac{1}{3}| = \frac{1}{3} < 1$. Несмотря на то что знаки членов чередуются, их абсолютные значения стремятся к нулю.

Ключевой особенностью таких прогрессий является то, что сумма их бесконечного числа членов сходится к конечному значению, которое можно вычислить по формуле: $S = \frac{b_1}{1-q}$.

Ответ: Бесконечно убывающей геометрической прогрессией называется геометрическая прогрессия, знаменатель $q$ которой удовлетворяет условию $|q| < 1$.