Номер 11, страница 171 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

11. Какое равенство связывает корень нечётной степени из отрицательного числа и арифметический корень из противоположного ему числа?

Рассмотрим корень нечётной степени $n$ из отрицательного числа. Обозначим это отрицательное число как $-a$, где $a$ — положительное число ($a>0$). Тогда корень нечётной степени из этого числа записывается как $\sqrt[n]{-a}$, где $n$ — нечётное натуральное число ($n=1, 3, 5, \dots$).

Число, противоположное $-a$, это число $a$. Арифметический корень степени $n$ из числа $a$ — это неотрицательное число, $n$-я степень которого равна $a$. Он обозначается как $\sqrt[n]{a}$.

Равенство, связывающее эти два выражения, выглядит следующим образом:$$ \sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a} $$Это равенство означает, что корень нечётной степени из отрицательного числа равен числу, противоположному арифметическому корню той же степени из модуля этого числа (так как для $a>0$, $|-a| = a$).

Для доказательства этого равенства необходимо показать, что $n$-я степень числа $-\sqrt[n]{a}$ равна подкоренному выражению $-a$.
Возведём $-\sqrt[n]{a}$ в степень $n$:$$ (-\sqrt[n]{a})^n = (-1 \cdot \sqrt[n]{a})^n = (-1)^n \cdot (\sqrt[n]{a})^n $$Поскольку по условию степень $n$ — нечётное число, то $(-1)^n = -1$.
По определению арифметического корня, $(\sqrt[n]{a})^n = a$.
Подставляя полученные результаты, имеем:$$ (-\sqrt[n]{a})^n = -1 \cdot a = -a $$Так как $n$-я степень числа $-\sqrt[n]{a}$ равна $-a$, то по определению корня $n$-й степени, $-\sqrt[n]{a}$ и есть $\sqrt[n]{-a}$. Равенство доказано.

Пример:
Найдём $\sqrt[3]{-64}$. Здесь $n=3$ (нечётное), $-a=-64$, значит $a=64$.
Используя равенство, получаем: $\sqrt[3]{-64} = -\sqrt[3]{64}$.
Арифметический корень $\sqrt[3]{64} = 4$, так как $4^3 = 64$.
Следовательно, $\sqrt[3]{-64} = -4$.

Ответ: Корень нечётной степени из отрицательного числа и арифметический корень из противоположного ему числа связаны равенством $\sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a}$, где $n$ — нечётное натуральное число, а $a$ — положительное число ($a > 0$).