Номер 14, страница 171 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

14. Доказать одно из свойств степени с рациональным показателем.

15.
$x_1, x_2, \dots, =1$

Докажем одно из свойств степени с рациональным показателем, а именно: для любого $a > 0$ и любых рациональных чисел $p$ и $q$ справедливо равенство $a^p \cdot a^q = a^{p+q}$.

Доказательство:

1. Пусть $p$ и $q$ — рациональные числа. По определению, их можно представить в виде дробей:$p = \frac{m}{n}$ и $q = \frac{k}{l}$, где $m, k$ — целые числа ($m, k \in \mathbb{Z}$), а $n, l$ — натуральные числа ($n, l \in \mathbb{N}$).

2. По определению степени с рациональным показателем, для $a > 0$ имеем:$a^p = a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$$a^q = a^{k/l} = \sqrt[l]{a^k}$

3. Рассмотрим левую часть доказываемого равенства $a^p \cdot a^q$:$a^p \cdot a^q = \sqrt[n]{a^m} \cdot \sqrt[l]{a^k}$

4. Чтобы перемножить корни с разными показателями ($n$ и $l$), приведем их к общему показателю $nl$. Для этого используем свойство корня $\sqrt[x]{y} = \sqrt[x \cdot z]{y^z}$:$\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n \cdot l]{(a^m)^l} = \sqrt[nl]{a^{ml}}$$\sqrt[l]{a^k} = \sqrt[l \cdot n]{(a^k)^n} = \sqrt[nl]{a^{kn}}$

5. Теперь подставим преобразованные корни обратно в произведение:$a^p \cdot a^q = \sqrt[nl]{a^{ml}} \cdot \sqrt[nl]{a^{kn}}$Используя свойство произведения корней с одинаковым показателем ($\sqrt[x]{y} \cdot \sqrt[x]{z} = \sqrt[x]{yz}$), получаем:$a^p \cdot a^q = \sqrt[nl]{a^{ml} \cdot a^{kn}}$

6. В выражении под корнем воспользуемся свойством умножения степеней с целыми показателями ($b^x \cdot b^y = b^{x+y}$):$a^p \cdot a^q = \sqrt[nl]{a^{ml+kn}}$Левая часть равенства преобразована.

7. Теперь рассмотрим правую часть исходного равенства $a^{p+q}$. Сначала выполним сложение рациональных показателей:$p+q = \frac{m}{n} + \frac{k}{l} = \frac{ml + kn}{nl}$

8. Применим определение степени с рациональным показателем к правой части:$a^{p+q} = a^{\frac{ml+kn}{nl}} = \sqrt[nl]{a^{ml+kn}}$

9. Сравнивая результаты, полученные в пунктах 6 и 8, видим, что левая и правая части исходного равенства равны одному и тому же выражению:$a^p \cdot a^q = \sqrt[nl]{a^{ml+kn}}$$a^{p+q} = \sqrt[nl]{a^{ml+kn}}$Следовательно, равенство $a^p \cdot a^q = a^{p+q}$ является верным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Было доказано свойство умножения степеней с одинаковым основанием и рациональными показателями: $a^p \cdot a^q = a^{p+q}$ для $a > 0$ и любых рациональных $p, q$. Доказательство основано на определении степени с рациональным показателем ($a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$) и сведении задачи к использованию ранее доказанных свойств для степеней с целыми показателями и арифметических корней.