Номер 5, страница 171 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

5. Упростить выражение $\frac{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}}{\sqrt[3]{ab}} \cdot \frac{ab^{\frac{1}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}$

Для упрощения данного выражения представим все корни в виде степеней с дробными показателями и выполним преобразования по шагам.

Исходное выражение:

$$ \frac{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}}{\sqrt[3]{ab}} \cdot \frac{ab^{\frac{1}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} $$

1. Перепишем все члены выражения, используя степени с дробными показателями, помня, что $\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$:

$$ \frac{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}}{(ab)^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{ab^{\frac{1}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}} = \frac{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{ab^{\frac{1}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}} $$

2. Упростим числитель второй дроби, вынеся за скобки общий множитель $a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}$:

$$ ab^{\frac{1}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b = a^{\frac{1}{3}}a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}b^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}}) $$

3. Подставим полученное выражение обратно в исходное:

$$ \frac{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}})}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}} $$

4. Сократим общий множитель $a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}$:

$$ (a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}) \cdot \frac{a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}} $$

5. Преобразуем числитель оставшейся дроби $a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}}$, используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x=a^{\frac{1}{3}}$ и $y=b^{\frac{1}{3}}$:

$$ a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}} = (a^{\frac{1}{3}})^2 - (b^{\frac{1}{3}})^2 = (a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}) $$

6. Подставим это разложение в наше выражение:

$$ (a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}) \cdot \frac{(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}} $$

7. Сократим общий множитель $(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})$:

$$ (a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}) \cdot (a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}) = (a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})^2 $$

8. Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$$ (a^{\frac{1}{3}})^2 - 2 \cdot a^{\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{1}{3}} + (b^{\frac{1}{3}})^2 = a^{\frac{2}{3}} - 2(ab)^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}} $$

Это выражение также можно записать в виде $\sqrt[3]{a^2} - 2\sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}$.

Ответ: $a^{\frac{2}{3}} - 2(ab)^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}$