Номер 5, страница 172 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

5. Сумма членов некоторой бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна сумме квадратов её членов и равна S. Может ли в этом случае S равняться 1?

Пусть первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии равен $b_1$, а ее знаменатель равен $q$. По определению бесконечно убывающей геометрической прогрессии, должно выполняться условие $|q| < 1$.

Сумма членов такой прогрессии, обозначенная как $S$, вычисляется по формуле:$$S = \frac{b_1}{1-q}$$

Рассмотрим новую последовательность, состоящую из квадратов членов исходной прогрессии: $b_1^2, (b_1q)^2, (b_1q^2)^2, \dots$ или $b_1^2, b_1^2q^2, b_1^2q^4, \dots$. Это также геометрическая прогрессия, у которой первый член равен $b_1^2$, а знаменатель равен $q^2$. Поскольку $|q|<1$, то $0 \le q^2 < 1$, следовательно, эта новая прогрессия также является бесконечно убывающей.

Сумма квадратов членов исходной прогрессии, которую мы обозначим $S_{sq}$, равна:$$S_{sq} = \frac{b_1^2}{1-q^2}$$

По условию задачи, сумма членов прогрессии равна сумме квадратов её членов, и обе эти суммы равны $S$:$$S = S_{sq}$$$$\frac{b_1}{1-q} = \frac{b_1^2}{1-q^2}$$

Если $b_1 = 0$, то все члены прогрессии равны нулю, и $S=0$. Вопрос касается случая $S=1$, поэтому $b_1 \neq 0$. Мы можем разделить обе части уравнения на $b_1$:$$\frac{1}{1-q} = \frac{b_1}{1-q^2}$$Разложим знаменатель в правой части по формуле разности квадратов: $1-q^2 = (1-q)(1+q)$.$$\frac{1}{1-q} = \frac{b_1}{(1-q)(1+q)}$$Так как $|q|<1$, то $1-q \neq 0$, и мы можем умножить обе части на $(1-q)$:$$1 = \frac{b_1}{1+q}$$Отсюда выразим $b_1$:$$b_1 = 1+q$$

Теперь подставим это выражение для $b_1$ в формулу для суммы $S$:$$S = \frac{b_1}{1-q} = \frac{1+q}{1-q}$$Мы получили зависимость суммы $S$ от знаменателя $q$. Чтобы найти возможные значения $S$, нужно определить, какой диапазон значений может принимать выражение $\frac{1+q}{1-q}$ при условии $|q|<1$, то есть при $-1 < q < 1$.

Решим уравнение $S = \frac{1+q}{1-q}$ относительно $q$:$$S(1-q) = 1+q$$$$S - Sq = 1+q$$$$S - 1 = q + Sq$$$$S - 1 = q(1+S)$$$$q = \frac{S-1}{S+1}$$

Теперь применим ограничение $|q|<1$:$$\left|\frac{S-1}{S+1}\right| < 1$$Это неравенство эквивалентно системе двух неравенств:

1. $\frac{S-1}{S+1} < 1 \implies \frac{S-1}{S+1} - 1 < 0 \implies \frac{S-1-(S+1)}{S+1} < 0 \implies \frac{-2}{S+1} < 0$. Это верно, когда знаменатель положителен: $S+1 > 0 \implies S > -1$.
2. $\frac{S-1}{S+1} > -1 \implies \frac{S-1}{S+1} + 1 > 0 \implies \frac{S-1+(S+1)}{S+1} > 0 \implies \frac{2S}{S+1} > 0$. Это неравенство выполняется, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Либо $S>0$ и $S+1>0$ (что дает $S>0$), либо $S<0$ и $S+1<0$ (что дает $S<-1$).

Объединяя оба условия ($S>-1$ и ($S>0$ или $S<-1$)), получаем, что $S$ должно быть строго больше нуля: $S>0$.

Вопрос задачи: может ли в этом случае $S$ равняться 1?Поскольку значение $S=1$ удовлетворяет условию $S>0$, то такое возможно.Найдем параметры прогрессии для случая $S=1$.Если $S=1$, то знаменатель прогрессии:$$q = \frac{1-1}{1+1} = \frac{0}{2} = 0$$Условие $|q|<1$ выполняется ($|0|<1$).Первый член прогрессии:$$b_1 = 1+q = 1+0 = 1$$Таким образом, существует прогрессия ($b_1=1, q=0$), которая удовлетворяет условиям задачи. Эта прогрессия имеет вид: $1, 0, 0, 0, \dots$.Ее сумма $S = \frac{1}{1-0} = 1$.Сумма квадратов ее членов ($1^2, 0^2, 0^2, \dots$) также равна $1$.Условия задачи выполнены.

Ответ: Да, может.