Номер 553, страница 183 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

553. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке:

1) $y = x^4, x \in [-1; 2];$

2) $y = x^7, x \in [-2; 3];$

3) $y = x^{-1}, x \in [-3; -1];$

4) $y = x^{-2}, x \in [1; 4].$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке необходимо:

1. Найти производную функции.
2. Найти критические точки функции, решив уравнение $y' = 0$.
3. Выбрать критические точки, принадлежащие данному отрезку.
4. Вычислить значения функции в этих критических точках и на концах отрезка.
5. Сравнить полученные значения и выбрать из них наибольшее и наименьшее.

1)

Дана функция $y = x^4$ на отрезке $x \in [-1; 2]$.

1. Находим производную функции: $y' = (x^4)' = 4x^3$.

2. Находим критические точки: $4x^3 = 0$, откуда $x = 0$.

3. Критическая точка $x=0$ принадлежит отрезку $[-1; 2]$.

4. Вычисляем значения функции в критической точке и на концах отрезка:

• $y(-1) = (-1)^4 = 1$
• $y(0) = 0^4 = 0$
• $y(2) = 2^4 = 16$

5. Сравнивая значения $1$, $0$ и $16$, находим, что наименьшее значение функции равно $0$, а наибольшее равно $16$.

Ответ: Наименьшее значение функции на отрезке $[-1; 2]$ равно $0$ (достигается при $x=0$), наибольшее значение равно $16$ (достигается при $x=2$).

2)

Дана функция $y = x^7$ на отрезке $x \in [-2; 3]$.

1. Находим производную функции: $y' = (x^7)' = 7x^6$.

2. Находим критические точки: $7x^6 = 0$, откуда $x = 0$.

3. Критическая точка $x=0$ принадлежит отрезку $[-2; 3]$.

4. Вычисляем значения функции в критической точке и на концах отрезка:

• $y(-2) = (-2)^7 = -128$
• $y(0) = 0^7 = 0$
• $y(3) = 3^7 = 2187$

5. Сравнивая значения $-128$, $0$ и $2187$, находим, что наименьшее значение функции равно $-128$, а наибольшее равно $2187$.

Ответ: Наименьшее значение функции на отрезке $[-2; 3]$ равно $-128$ (достигается при $x=-2$), наибольшее значение равно $2187$ (достигается при $x=3$).

3)

Дана функция $y = x^{-1} = \frac{1}{x}$ на отрезке $x \in [-3; -1]$.

1. Находим производную функции: $y' = (x^{-1})' = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$.

2. Уравнение $y' = 0$, то есть $-\frac{1}{x^2} = 0$, не имеет решений. Следовательно, у функции нет критических точек.

3. Поскольку функция непрерывна на отрезке $[-3; -1]$ и не имеет на нем критических точек, свои наибольшее и наименьшее значения она принимает на концах этого отрезка.

4. Вычисляем значения функции на концах отрезка:

• $y(-3) = (-3)^{-1} = -\frac{1}{3}$
• $y(-1) = (-1)^{-1} = -1$

5. Сравнивая значения $-\frac{1}{3}$ и $-1$, находим, что наименьшее значение функции равно $-1$, а наибольшее равно $-\frac{1}{3}$.

Ответ: Наименьшее значение функции на отрезке $[-3; -1]$ равно $-1$ (достигается при $x=-1$), наибольшее значение равно $-\frac{1}{3}$ (достигается при $x=-3$).

4)

Дана функция $y = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$ на отрезке $x \in [1; 4]$.

1. Находим производную функции: $y' = (x^{-2})' = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$.

2. Уравнение $y' = 0$, то есть $-\frac{2}{x^3} = 0$, не имеет решений. Следовательно, у функции нет критических точек.

3. Функция непрерывна на отрезке $[1; 4]$ и не имеет на нем критических точек, значит, наибольшее и наименьшее значения достигаются на концах отрезка.

4. Вычисляем значения функции на концах отрезка:

• $y(1) = 1^{-2} = \frac{1}{1^2} = 1$
• $y(4) = 4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}$

5. Сравнивая значения $1$ и $\frac{1}{16}$, находим, что наименьшее значение функции равно $\frac{1}{16}$, а наибольшее равно $1$.

Ответ: Наименьшее значение функции на отрезке $[1; 4]$ равно $\frac{1}{16}$ (достигается при $x=4$), наибольшее значение равно $1$ (достигается при $x=1$).