Номер 558, страница 183 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

558. Изобразить схематически график функции и указать её область определения и множество значений:

1) $y=x^{\frac{1}{2}}$;

2) $y=x^{-4}$;

3) $y=x^{-3}$;

4) $y=x^{\frac{1}{5}}$.

1) Функция $y = x^{\frac{1}{2}}$ представляет собой степенную функцию, которая эквивалентна функции квадратного корня $y = \sqrt{x}$. Область определения данной функции определяется условием неотрицательности подкоренного выражения, то есть $x \ge 0$. Таким образом, область определения $D(y) = [0, +\infty)$. Множество значений для арифметического квадратного корня также состоит из неотрицательных чисел, поэтому $y \ge 0$, и множество значений $E(y) = [0, +\infty)$. Схематический график — это ветвь параболы, выходящая из начала координат (0,0) и расположенная в первой координатной четверти. Функция является возрастающей на всей области определения. График проходит через точки (1,1) и (4,2).
Ответ: Область определения: $[0, +\infty)$; множество значений: $[0, +\infty)$.

2) Функция $y = x^{-4}$ является степенной функцией с отрицательным целым показателем. Её можно записать в виде $y = \frac{1}{x^4}$. Область определения функции исключает значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль. Так как $x^4=0$ только при $x=0$, область определения $D(y) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$. Поскольку знаменатель $x^4$ всегда положителен для любого $x \ne 0$, значения функции $y$ также всегда положительны. Следовательно, множество значений $E(y) = (0, +\infty)$. График функции симметричен относительно оси ординат (так как функция четная) и состоит из двух ветвей, расположенных в первой и второй координатных четвертях. Ось $Oy$ ($x=0$) является вертикальной асимптотой, а ось $Ox$ ($y=0$) — горизонтальной асимптотой. График проходит через точки (1,1) и (-1,1).
Ответ: Область определения: $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$; множество значений: $(0, +\infty)$.

3) Функция $y = x^{-3}$ — это степенная функция, которую можно представить как $y = \frac{1}{x^3}$. Знаменатель обращается в ноль при $x=0$, поэтому область определения функции $D(y) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$. В отличие от предыдущего случая, здесь показатель степени нечетный. Если $x > 0$, то $y > 0$. Если $x < 0$, то $y < 0$. Таким образом, функция может принимать любые значения, кроме нуля. Множество значений $E(y) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$. График функции симметричен относительно начала координат (так как функция нечетная) и состоит из двух ветвей (гипербола), расположенных в первой и третьей координатных четвертях. Оси координат служат асимптотами. График проходит через точки (1,1) и (-1,-1).
Ответ: Область определения: $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$; множество значений: $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

4) Функция $y = x^{\frac{1}{5}}$ эквивалентна функции корня пятой степени $y = \sqrt[5]{x}$. Корень нечетной степени определен для любого действительного числа, поэтому область определения функции $D(y) = (-\infty, +\infty)$. Множество значений также охватывает все действительные числа, то есть $E(y) = (-\infty, +\infty)$. График функции симметричен относительно начала координат (функция нечетная), проходит через точки (-1, -1), (0, 0) и (1, 1). Функция является монотонно возрастающей на всей числовой прямой. Схематически график похож на график функции $y=x^3$, но отраженный относительно прямой $y=x$, и имеет вертикальную касательную в начале координат.
Ответ: Область определения: $(-\infty, +\infty)$; множество значений: $(-\infty, +\infty)$.