Номер 562, страница 184 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

562. По рисунку найти промежутки, на которых график данной функции лежит выше (ниже) графика функции $y = x$:

1) $y = x^{\sqrt{2}}$;

2) $y = x^{\pi}$.

1) $y = x^{\sqrt{2}}$

Для решения задачи необходимо сравнить значения функции $y = x^{\sqrt{2}}$ со значениями функции $y = x$. Областью определения степенной функции с иррациональным показателем, как в данном случае, является множество неотрицательных чисел, то есть $x \ge 0$.

Сначала найдем точки пересечения графиков этих функций. Для этого решим уравнение $x^{\sqrt{2}} = x$:

$x^{\sqrt{2}} - x = 0$

$x(x^{\sqrt{2}-1} - 1) = 0$

Из этого уравнения получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2=1$ (так как $x^{\sqrt{2}-1}=1$ при $x=1$).Таким образом, графики функций пересекаются в точках с абсциссами $0$ и $1$. Эти точки делят область определения $x \ge 0$ на два интервала для анализа: $(0, 1)$ и $(1, \infty)$.

Далее определим, на каких из этих промежутков график функции $y = x^{\sqrt{2}}$ лежит выше, а на каких ниже графика $y=x$.

График $y = x^{\sqrt{2}}$ лежит выше графика $y = x$, если выполняется неравенство $x^{\sqrt{2}} > x$.При $x > 0$ мы можем разделить обе части неравенства на $x$, получив:$x^{\sqrt{2}-1} > 1$.Поскольку показатель степени $\sqrt{2}-1 \approx 1.414 - 1 = 0.414 > 0$, функция $f(x) = x^{\sqrt{2}-1}$ является возрастающей на всей области определения. Мы знаем, что $f(1) = 1^{\sqrt{2}-1} = 1$. Так как функция возрастает, неравенство $f(x) > 1$ будет выполняться для всех $x > 1$.Следовательно, на промежутке $(1, \infty)$ график функции $y = x^{\sqrt{2}}$ лежит выше графика $y = x$.

График $y = x^{\sqrt{2}}$ лежит ниже графика $y = x$, если $x^{\sqrt{2}} < x$.Аналогично, при $x > 0$ это неравенство эквивалентно $x^{\sqrt{2}-1} < 1$.Поскольку $f(x) = x^{\sqrt{2}-1}$ — возрастающая функция и $f(1)=1$, неравенство $f(x) < 1$ будет выполняться для всех $x$, таких что $0 < x < 1$.Следовательно, на промежутке $(0, 1)$ график функции $y = x^{\sqrt{2}}$ лежит ниже графика $y = x$.

Ответ: график функции $y=x^{\sqrt{2}}$ лежит выше графика функции $y=x$ на промежутке $(1; \infty)$, а ниже — на промежутке $(0; 1)$.

2) $y = x^{\pi}$

Действуем по аналогии с предыдущим пунктом. Сравниваем функцию $y = x^{\pi}$ с функцией $y = x$. Область определения функции $y = x^{\pi}$ также $x \ge 0$.

Находим точки пересечения графиков, решая уравнение $x^{\pi} = x$:

$x^{\pi} - x = 0$

$x(x^{\pi-1} - 1) = 0$

Корнями уравнения являются $x_1 = 0$ и $x_2=1$. Графики пересекаются в точках с этими абсциссами.Рассмотрим промежутки $(0, 1)$ и $(1, \infty)$.

График $y = x^{\pi}$ лежит выше графика $y = x$, когда $x^{\pi} > x$.При $x > 0$ делим на $x$:$x^{\pi-1} > 1$.Показатель степени $\pi-1 \approx 3.14159 - 1 = 2.14159 > 0$. Значит, функция $g(x) = x^{\pi-1}$ является возрастающей. Так как $g(1) = 1^{\pi-1} = 1$, неравенство $g(x) > 1$ верно для всех $x > 1$.Таким образом, на промежутке $(1, \infty)$ график функции $y = x^{\pi}$ лежит выше графика $y = x$.

График $y = x^{\pi}$ лежит ниже графика $y = x$, когда $x^{\pi} < x$.При $x > 0$ это неравенство эквивалентно $x^{\pi-1} < 1$.Так как $g(x) = x^{\pi-1}$ — возрастающая функция и $g(1)=1$, неравенство $g(x) < 1$ верно для всех $x$ в интервале $0 < x < 1$.Таким образом, на промежутке $(0, 1)$ график функции $y = x^{\pi}$ лежит ниже графика $y = x$.

Ответ: график функции $y=x^{\pi}$ лежит выше графика функции $y=x$ на промежутке $(1; \infty)$, а ниже — на промежутке $(0; 1)$.