Номер 568, страница 184 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

568. Построить график функции и найти её область определения, множество значений; промежутки возрастания и убывания; выяснить, является ли функция ограниченной; имеет ли она наибольшее или наименьшее значение:

1) $y=|x|^{\frac{1}{3}}+1;$

2) $y=1-|x|^5;$

3) $y=|x|^3+1;$

4) $y=-|x|^{\frac{1}{5}}-2;$

5) $y=|x+1|^3;$

6) $y=|2x|^{-2}+2.$

1) $y = |x|^{\frac{1}{3}} + 1$

Для построения графика функции $y = |x|^{\frac{1}{3}} + 1$ (или $y = \sqrt[3]{|x|} + 1$) выполним преобразования.
1. Базовая функция: $y_0 = x^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{x}$.
2. Применяем модуль к аргументу: $y_1 = |x|^{\frac{1}{3}}$. Так как это четная функция ($f(-x) = |-x|^{\frac{1}{3}} = |x|^{\frac{1}{3}} = f(x)$), ее график симметричен относительно оси Oy. Для $x \ge 0$ имеем $y_1=x^{\frac{1}{3}}$. Строим эту ветвь и отражаем ее симметрично относительно оси Oy, чтобы получить график для $x<0$. График $y_1$ имеет точку возврата ("клюв") в начале координат.
3. Сдвигаем график $y_1$ на 1 единицу вверх вдоль оси Oy, чтобы получить искомый график $y = |x|^{\frac{1}{3}} + 1$. Точка возврата перемещается в $(0, 1)$.

Область определения: Выражение $\sqrt[3]{|x|}$ определено для любого действительного числа $x$. Следовательно, область определения $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

Множество значений: Поскольку $|x| \ge 0$, то и $|x|^{\frac{1}{3}} \ge 0$. Тогда $|x|^{\frac{1}{3}} + 1 \ge 1$. Наименьшее значение достигается при $x=0$ и равно 1. Таким образом, множество значений $E(y) = [1, +\infty)$.

Промежутки возрастания и убывания: Из вида графика следует, что функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.

Ограниченность: Так как множество значений $E(y) = [1, +\infty)$, функция ограничена снизу числом 1, но не ограничена сверху.

Наибольшее и наименьшее значения: Функция имеет наименьшее значение $y_{min} = 1$ при $x=0$. Наибольшего значения не существует.

Ответ: Область определения: $(-\infty, +\infty)$. Множество значений: $[1, +\infty)$. Убывает на $(-\infty, 0]$, возрастает на $[0, \infty)$. Ограничена снизу. Наименьшее значение $y_{min}=1$ при $x=0$, наибольшего значения нет.

2) $y = 1 - |x|^{\frac{1}{5}}$

Для построения графика функции $y = 1 - |x|^{\frac{1}{5}}$ (или $y = 1 - \sqrt[5]{|x|}$) выполним преобразования.
1. Строим график $y_1 = |x|^{\frac{1}{5}}$. Это четная функция, симметричная относительно оси Oy, с точкой возврата в $(0, 0)$.
2. Отражаем график $y_1$ симметрично относительно оси Ox, чтобы получить $y_2 = -|x|^{\frac{1}{5}}$. Точка возврата остается в $(0, 0)$, но "клюв" теперь направлен вниз.
3. Сдвигаем график $y_2$ на 1 единицу вверх вдоль оси Oy, чтобы получить искомый график $y = 1 - |x|^{\frac{1}{5}}$. Точка возврата перемещается в $(0, 1)$.

Область определения: Выражение $\sqrt[5]{|x|}$ определено для любого действительного числа $x$. Следовательно, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

Множество значений: Поскольку $|x|^{\frac{1}{5}} \ge 0$, то $-|x|^{\frac{1}{5}} \le 0$. Тогда $1 - |x|^{\frac{1}{5}} \le 1$. Наибольшее значение достигается при $x=0$ и равно 1. Таким образом, $E(y) = (-\infty, 1]$.

Промежутки возрастания и убывания: Из вида графика следует, что функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0]$ и убывает на промежутке $[0, +\infty)$.

Ограниченность: Так как множество значений $E(y) = (-\infty, 1]$, функция ограничена сверху числом 1, но не ограничена снизу.

Наибольшее и наименьшее значения: Функция имеет наибольшее значение $y_{max} = 1$ при $x=0$. Наименьшего значения не существует.

Ответ: Область определения: $(-\infty, +\infty)$. Множество значений: $(-\infty, 1]$. Возрастает на $(-\infty, 0]$, убывает на $[0, \infty)$. Ограничена сверху. Наибольшее значение $y_{max}=1$ при $x=0$, наименьшего значения нет.

3) $y = |x|^3 + 1$

Для построения графика функции $y = |x|^3 + 1$ выполним преобразования.
1. Строим график $y_1 = |x|^3$. Это четная функция. Для $x \ge 0$, $|x|=x$, поэтому $y_1 = x^3$. Строим график кубической параболы для $x \ge 0$ и отражаем его симметрично относительно оси Oy. График имеет минимум в точке $(0, 0)$.
2. Сдвигаем график $y_1$ на 1 единицу вверх вдоль оси Oy. Минимум перемещается в точку $(0, 1)$.

Область определения: Функция определена для любого действительного числа $x$. Следовательно, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

Множество значений: Поскольку $|x|^3 \ge 0$ для любого $x$, то $|x|^3 + 1 \ge 1$. Наименьшее значение равно 1 и достигается при $x=0$. Таким образом, $E(y) = [1, +\infty)$.

Промежутки возрастания и убывания: Функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.

Ограниченность: Функция ограничена снизу числом 1, но не ограничена сверху.

Наибольшее и наименьшее значения: Функция имеет наименьшее значение $y_{min} = 1$ при $x=0$. Наибольшего значения не существует.

Ответ: Область определения: $(-\infty, +\infty)$. Множество значений: $[1, +\infty)$. Убывает на $(-\infty, 0]$, возрастает на $[0, \infty)$. Ограничена снизу. Наименьшее значение $y_{min}=1$ при $x=0$, наибольшего значения нет.

4) $y = -|x|^{\frac{1}{5}} - 2$

Для построения графика функции $y = -|x|^{\frac{1}{5}} - 2$ выполним преобразования.
1. Строим график $y_1 = |x|^{\frac{1}{5}}$ (четная функция с точкой возврата в $(0, 0)$).
2. Отражаем график $y_1$ симметрично относительно оси Ox, чтобы получить $y_2 = -|x|^{\frac{1}{5}}$. "Клюв" направлен вниз.
3. Сдвигаем график $y_2$ на 2 единицы вниз вдоль оси Oy. Точка возврата перемещается в $(0, -2)$.

Область определения: Функция определена для любого действительного числа $x$. $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

Множество значений: Поскольку $|x|^{\frac{1}{5}} \ge 0$, то $-|x|^{\frac{1}{5}} \le 0$, и $-|x|^{\frac{1}{5}} - 2 \le -2$. Наибольшее значение равно -2 и достигается при $x=0$. Таким образом, $E(y) = (-\infty, -2]$.

Промежутки возрастания и убывания: Функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0]$ и убывает на промежутке $[0, +\infty)$.

Ограниченность: Функция ограничена сверху числом -2, но не ограничена снизу.

Наибольшее и наименьшее значения: Функция имеет наибольшее значение $y_{max} = -2$ при $x=0$. Наименьшего значения не существует.

Ответ: Область определения: $(-\infty, +\infty)$. Множество значений: $(-\infty, -2]$. Возрастает на $(-\infty, 0]$, убывает на $[0, \infty)$. Ограничена сверху. Наибольшее значение $y_{max}=-2$ при $x=0$, наименьшего значения нет.

5) $y = |x+1|^{\frac{1}{3}}$

Для построения графика функции $y = |x+1|^{\frac{1}{3}}$ (или $y = \sqrt[3]{|x+1|}$) выполним преобразования.
1. Строим график $y_1 = |x|^{\frac{1}{3}}$. Это четная функция, симметричная относительно оси Oy, с точкой возврата в $(0, 0)$.
2. Сдвигаем график $y_1$ на 1 единицу влево вдоль оси Ox. Ось симметрии смещается на $x=-1$, а точка возврата — в точку $(-1, 0)$.

Область определения: Функция определена для любого действительного числа $x$. $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

Множество значений: Поскольку $|x+1| \ge 0$, то и $|x+1|^{\frac{1}{3}} \ge 0$. Наименьшее значение равно 0 и достигается при $x=-1$. Таким образом, $E(y) = [0, +\infty)$.

Промежутки возрастания и убывания: Функция убывает на промежутке $(-\infty, -1]$ и возрастает на промежутке $[-1, +\infty)$.

Ограниченность: Функция ограничена снизу числом 0, но не ограничена сверху.

Наибольшее и наименьшее значения: Функция имеет наименьшее значение $y_{min} = 0$ при $x=-1$. Наибольшего значения не существует.

Ответ: Область определения: $(-\infty, +\infty)$. Множество значений: $[0, +\infty)$. Убывает на $(-\infty, -1]$, возрастает на $[-1, \infty)$. Ограничена снизу. Наименьшее значение $y_{min}=0$ при $x=-1$, наибольшего значения нет.

6) $y = |2x|^{-2} + 2$

Преобразуем функцию: $y = \frac{1}{|2x|^2} + 2 = \frac{1}{(2x)^2} + 2 = \frac{1}{4x^2} + 2$.
Для построения графика выполним преобразования.
1. Базовая функция: $y_0 = \frac{1}{x^2}$. График имеет вертикальную асимптоту $x=0$ и горизонтальную асимптоту $y=0$.
2. Выполняем сжатие к оси Oy (или растяжение от оси Ox): $y_1 = \frac{1}{4x^2}$. График становится "шире" по сравнению с $y_0$. Асимптоты не меняются.
3. Сдвигаем график $y_1$ на 2 единицы вверх вдоль оси Oy. Вертикальная асимптота остается $x=0$, а горизонтальная смещается на $y=2$.

Область определения: Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $4x^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$. Таким образом, $D(y) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

Множество значений: Поскольку $x^2 > 0$ для всех $x$ из области определения, то $4x^2 > 0$ и $\frac{1}{4x^2} > 0$. Следовательно, $y = \frac{1}{4x^2} + 2 > 2$. Таким образом, $E(y) = (2, +\infty)$.

Промежутки возрастания и убывания: Функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0)$ и убывает на промежутке $(0, +\infty)$.

Ограниченность: Функция ограничена снизу числом 2 (но не достигает его), но не ограничена сверху.

Наибольшее и наименьшее значения: Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения. Она стремится к своему наименьшему пределу $y=2$ при $|x| \to \infty$, но никогда его не достигает.

Ответ: Область определения: $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$. Множество значений: $(2, +\infty)$. Возрастает на $(-\infty, 0)$, убывает на $(0, \infty)$. Ограничена снизу. Наибольшего и наименьшего значений нет.