Номер 564, страница 184 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

564. Сравнить значения выражений:

1) $(\frac{10}{11})^{2,3}$ и $(\frac{12}{11})^{2,3}$;

2) $2,5^{-8,1}$ и $2,6^{-8,1}$;

3) $(\frac{14}{15})^{\frac{3}{4}}$ и $(\frac{15}{16})^{\frac{3}{4}};

4) $(2\sqrt[3]{5})^{-0,2}$ и $(5\sqrt[3]{2})^{-0,2}$.

1) Для сравнения выражений $(\frac{10}{11})^{2,3}$ и $(\frac{12}{11})^{2,3}$ воспользуемся свойствами степенной функции $y=x^a$.

В данном случае показатель степени $a = 2,3$ является положительным числом ($a > 0$), следовательно, функция $y=x^{2,3}$ является возрастающей на всей области определения $x > 0$. Это означает, что большему значению основания соответствует большее значение степени.

Сравним основания степеней: $\frac{10}{11}$ и $\frac{12}{11}$.
Поскольку оба знаменателя равны $11$, а числитель $10 < 12$, то $\frac{10}{11} < \frac{12}{11}$.
Так как функция возрастающая, то из неравенства для оснований следует такое же неравенство для степеней:
$(\frac{10}{11})^{2,3} < (\frac{12}{11})^{2,3}$.

Ответ: $(\frac{10}{11})^{2,3} < (\frac{12}{11})^{2,3}$.

2) Для сравнения выражений $2,5^{-8,1}$ и $2,6^{-8,1}$ рассмотрим степенную функцию $y=x^a$.

Здесь показатель степени $a = -8,1$ является отрицательным числом ($a < 0$). Степенная функция с отрицательным показателем является убывающей на промежутке $x > 0$. Это означает, что большему значению основания соответствует меньшее значение степени.

Сравним основания степеней: $2,5$ и $2,6$.
Очевидно, что $2,5 < 2,6$.
Поскольку функция убывающая, то знак неравенства для степеней будет противоположным знаку неравенства для оснований:
$2,5^{-8,1} > 2,6^{-8,1}$.

Ответ: $2,5^{-8,1} > 2,6^{-8,1}$.

3) Сравним значения выражений $(\frac{14}{15})^{\frac{3}{4}}$ и $(\frac{15}{16})^{\frac{3}{4}}$.

Показатель степени $a = \frac{3}{4}$ положителен ($a > 0$), значит, функция $y=x^{\frac{3}{4}}$ является возрастающей при $x > 0$.

Сравним основания степеней: $\frac{14}{15}$ и $\frac{15}{16}$.
Чтобы сравнить эти дроби, можно привести их к общему знаменателю или представить в виде разности с единицей.
$\frac{14}{15} = 1 - \frac{1}{15}$
$\frac{15}{16} = 1 - \frac{1}{16}$
Так как $15 < 16$, то $\frac{1}{15} > \frac{1}{16}$. Умножим обе части на $-1$, при этом знак неравенства изменится на противоположный: $-\frac{1}{15} < -\frac{1}{16}$.
Теперь прибавим к обеим частям $1$: $1 - \frac{1}{15} < 1 - \frac{1}{16}$, следовательно, $\frac{14}{15} < \frac{15}{16}$.
Так как функция возрастающая, то из неравенства $\frac{14}{15} < \frac{15}{16}$ следует, что $(\frac{14}{15})^{\frac{3}{4}} < (\frac{15}{16})^{\frac{3}{4}}$.

Ответ: $(\frac{14}{15})^{\frac{3}{4}} < (\frac{15}{16})^{\frac{3}{4}}$.

4) Сравним значения выражений $(2\sqrt[3]{5})^{-0,2}$ и $(5\sqrt[3]{2})^{-0,2}$.

Показатель степени $a = -0,2$ отрицателен ($a < 0$), значит, функция $y=x^{-0,2}$ является убывающей при $x > 0$.

Сравним основания степеней: $2\sqrt[3]{5}$ и $5\sqrt[3]{2}$.
Поскольку оба основания положительны, для их сравнения можно возвести их в куб. Функция $y=z^3$ является возрастающей, поэтому знак неравенства сохранится.
$(2\sqrt[3]{5})^3 = 2^3 \cdot (\sqrt[3]{5})^3 = 8 \cdot 5 = 40$.
$(5\sqrt[3]{2})^3 = 5^3 \cdot (\sqrt[3]{2})^3 = 125 \cdot 2 = 250$.
Так как $40 < 250$, то и $2\sqrt[3]{5} < 5\sqrt[3]{2}$.
Поскольку степенная функция $y=x^{-0,2}$ убывающая, то для оснований, связанных неравенством $2\sqrt[3]{5} < 5\sqrt[3]{2}$, соответствующие значения функции будут связаны противоположным неравенством:
$(2\sqrt[3]{5})^{-0,2} > (5\sqrt[3]{2})^{-0,2}$.

Ответ: $(2\sqrt[3]{5})^{-0,2} > (5\sqrt[3]{2})^{-0,2}$.