Номер 566, страница 184 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

566. По рисунку найти промежутки, на которых график данной функции лежит выше (ниже) графика функции $y = x$:

1) $y = x^{1-\pi}$;

2) $y = x^{1-\sqrt{3}}$.

Для решения данной задачи необходимо сравнить положение графика степенной функции $y = x^{\alpha}$ с графиком функции $y = x$. Область определения для данных степенных функций, имеющих иррациональные показатели, — это $x > 0$.

Графики функций $y = x^{\alpha}$ и $y = x$ (который можно представить как $y = x^1$) пересекаются, когда $x^{\alpha} = x^1$. При $x>0$ это уравнение равносильно $x^{\alpha-1} = 1$, что выполняется только при $x=1$. Таким образом, точка $(1, 1)$ является единственной точкой пересечения графиков при $x>0$.

Положение графиков относительно друг друга зависит от значения показателя $\alpha$ по сравнению с 1.

• Если $\alpha > 1$, то на интервале $(0, 1)$ график $y=x^\alpha$ лежит ниже $y=x$, а на $(1, +\infty)$ — выше.
• Если $\alpha < 1$, то на интервале $(0, 1)$ график $y=x^\alpha$ лежит выше $y=x$, а на $(1, +\infty)$ — ниже.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

1) Для функции $y = x^{1-\pi}$ показатель степени $\alpha = 1 - \pi$. Поскольку число $\pi \approx 3.14159$, то показатель $\alpha = 1 - \pi < 0$. Так как $\alpha < 1$, мы можем применить правило, описанное выше.

Таким образом, график функции $y = x^{1-\pi}$ лежит выше графика $y=x$ на промежутке $(0, 1)$ и ниже на промежутке $(1, +\infty)$.

Проверим это аналитически. Найдем промежутки, где график $y = x^{1-\pi}$ лежит выше графика $y=x$, решив неравенство:

$x^{1-\pi} > x$

Поскольку $x > 0$, разделим обе части на $x$, не меняя знака неравенства:

$x^{1-\pi-1} > x^{1-1}$

$x^{-\pi} > 1$

Перепишем левую часть: $\frac{1}{x^\pi} > 1$. Так как $x^\pi > 0$ при $x>0$, умножим обе части на $x^\pi$: $1 > x^\pi$.

Поскольку функция $t \mapsto t^{1/\pi}$ является возрастающей (т.к. $1/\pi > 0$), можно извлечь корень степени $\pi$ из обеих частей:

$1^{1/\pi} > (x^\pi)^{1/\pi} \implies 1 > x$.

С учетом области определения $x > 0$, получаем, что график $y = x^{1-\pi}$ лежит выше графика $y=x$ на промежутке $(0, 1)$.

Соответственно, на промежутке $(1, +\infty)$ график функции $y=x^{1-\pi}$ будет лежать ниже графика $y=x$. Неравенство $x^{1-\pi} < x$ равносильно $x > 1$.

Ответ: график функции $y=x^{1-\pi}$ лежит выше графика функции $y=x$ на промежутке $(0, 1)$ и ниже на промежутке $(1, +\infty)$.

2) Для функции $y = x^{1-\sqrt{3}}$ показатель степени $\alpha = 1 - \sqrt{3}$. Поскольку $\sqrt{3} \approx 1.732$, то показатель $\alpha = 1 - \sqrt{3} < 0$. Как и в предыдущем случае, $\alpha < 1$.

Следовательно, рассуждения полностью аналогичны. График функции $y = x^{1-\sqrt{3}}$ лежит выше графика $y=x$ на промежутке $(0, 1)$ и ниже на промежутке $(1, +\infty)$.

Аналитическая проверка. Ищем, где график выше:

$x^{1-\sqrt{3}} > x \implies x^{-\sqrt{3}} > 1 \implies \frac{1}{x^{\sqrt{3}}} > 1 \implies 1 > x^{\sqrt{3}} \implies 1 > x$.

С учетом $x>0$, получаем промежуток $(0, 1)$.

Ищем, где график ниже:

$x^{1-\sqrt{3}} < x \implies x > 1$.

Получаем промежуток $(1, +\infty)$.

Ответ: график функции $y=x^{1-\sqrt{3}}$ лежит выше графика функции $y=x$ на промежутке $(0, 1)$ и ниже на промежутке $(1, +\infty)$.