Номер 565, страница 184 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

565. В одной системе координат построить графики двух функций, выяснив предварительно их области определения и множества значений:

1) $y = x^4$ и $y = x^{\frac{1}{4}}$;

2) $y = x^5$ и $y = x^{-5}$;

3) $y = x^{\frac{1}{5}}$ и $y = \sqrt[5]{x}$.

1) Рассмотрим функции $y = x^4$ и $y = x^{\frac{1}{4}}$.

Анализ функции $y = x^4$:

Это степенная функция с четным натуральным показателем.

• Область определения $D(y)$: Аргумент $x$ может быть любым действительным числом. Таким образом, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Множество значений $E(y)$: Так как любое действительное число, возведенное в четвертую (четную) степень, является неотрицательным, то $y \ge 0$. Таким образом, $E(y) = [0; +\infty)$.
• График: График функции — парабола четвертой степени, симметричная относительно оси OY (так как функция четная: $(-x)^4 = x^4$). Она проходит через точки (0,0), (1,1), (-1,1).

Анализ функции $y = x^{\frac{1}{4}}$:

Эту функцию можно записать как $y = \sqrt[4]{x}$.

• Область определения $D(y)$: Выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным, поэтому $x \ge 0$. Таким образом, $D(y) = [0; +\infty)$.
• Множество значений $E(y)$: Значение арифметического корня четной степени всегда неотрицательно, поэтому $y \ge 0$. Таким образом, $E(y) = [0; +\infty)$.
• График: График расположен в первой координатной четверти, выходит из точки (0,0) и плавно возрастает. Он проходит через точки (0,0), (1,1), (16,2).

На промежутке $[0; +\infty)$ функции $y=x^4$ и $y=x^{\frac{1}{4}}$ являются взаимно обратными, поэтому их графики симметричны относительно прямой $y=x$. Они пересекаются в точках, где $x^4 = x^{\frac{1}{4}}$, то есть в точках (0,0) и (1,1).

Ответ: Для $y=x^4$: область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$, множество значений $E(y) = [0; +\infty)$. Для $y=x^{\frac{1}{4}}$: область определения $D(y) = [0; +\infty)$, множество значений $E(y) = [0; +\infty)$.

2) Рассмотрим функции $y = x^5$ и $y = x^{-5}$.

Анализ функции $y = x^5$:

Это степенная функция с нечетным натуральным показателем.

• Область определения $D(y)$: Аргумент $x$ может быть любым действительным числом. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Множество значений $E(y)$: Результат возведения в нечетную степень может быть как положительным, так и отрицательным, а также нулем. $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• График: График симметричен относительно начала координат (так как функция нечетная: $(-x)^5 = -x^5$). Он проходит через точки (-1,-1), (0,0), (1,1).

Анализ функции $y = x^{-5}$:

Эту функцию можно записать как $y = \frac{1}{x^5}$.

• Область определения $D(y)$: Знаменатель дроби не может быть равен нулю, т.е. $x^5 \neq 0$, откуда $x \neq 0$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Множество значений $E(y)$: Дробь $\frac{1}{x^5}$ может принимать любое значение, кроме нуля. Таким образом, $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• График: График функции — гипербола. Он состоит из двух ветвей, расположенных в первой и третьей координатных четвертях. График симметричен относительно начала координат (так как функция нечетная). Оси координат являются асимптотами.

Графики пересекаются, когда $x^5 = x^{-5}$, что эквивалентно $x^{10} = 1$. Решениями этого уравнения являются $x=1$ и $x=-1$. Таким образом, точки пересечения: (1,1) и (-1,-1).

Ответ: Для $y=x^5$: область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$, множество значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$. Для $y=x^{-5}$: область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, множество значений $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

3) Рассмотрим функции $y = x^{\frac{1}{5}}$ и $y = \sqrt[5]{x}$.

Данные выражения $y = x^{\frac{1}{5}}$ и $y = \sqrt[5]{x}$ задают одну и ту же функцию, так как степенная функция с рациональным показателем $m/n$ определяется как $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^m}$. В нашем случае, $m=1, n=5$. Таким образом, необходимо исследовать и построить график только одной функции.

Анализ функции $y = \sqrt[5]{x}$:

• Область определения $D(y)$: Корень нечетной степени (в данном случае 5) можно извлекать из любого действительного числа (положительного, отрицательного или нуля). Поэтому $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Множество значений $E(y)$: Результатом извлечения корня нечетной степени также может быть любое действительное число. Поэтому $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• График: Функция является нечетной, так как $\sqrt[5]{-x} = -\sqrt[5]{x}$. Ее график симметричен относительно начала координат. Он проходит через точки (-1, -1), (0, 0) и (1, 1). Эта функция является обратной к функции $y=x^5$.

Так как в задании требуется построить графики "двух" функций, а они совпадают, мы строим один график, который соответствует обеим записям.

Ответ: Для функции $y=x^{\frac{1}{5}}$ (или, что то же самое, $y=\sqrt[5]{x}$): область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$, множество значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$.