Страница 184 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

560. Изобразить схематически график функции:

1) $y = x^{\frac{2}{3}};$

2) $y = x^{\frac{3}{2}};$

3) $y = x^{-5};$

4) $y = x^{\sqrt{5}}.$

1) $y = x^{\frac{2}{3}}$

Это степенная функция $y=x^p$ с показателем $p = \frac{2}{3}$. Функцию можно представить в виде $y = \sqrt[3]{x^2}$.

Анализ функции:

• Область определения: Так как кубический корень извлекается из любого действительного числа, а $x^2$ определено для всех $x$, то область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Четность: Проверим значение функции для $-x$: $y(-x) = (-x)^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{(-x)^2} = \sqrt[3]{x^2} = x^{\frac{2}{3}} = y(x)$. Функция является четной, следовательно, ее график симметричен относительно оси ординат (OY).
• Область значений: Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то и $y = \sqrt[3]{x^2} \ge 0$. Область значений $E(y) = [0; +\infty)$.
• Ключевые точки и поведение: График проходит через начало координат (0, 0). При $x=1$, $y=1$. При $x=8$, $y=8^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4$. В силу четности, график также проходит через точки (-1, 1) и (-8, 4). Производная $y' = \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$ показывает, что функция убывает при $x<0$ и возрастает при $x>0$. В точке $x=0$ производная не определена, что указывает на наличие точки возврата (касп).

Ответ: Схематический график функции — это кривая, расположенная в верхней полуплоскости, симметричная относительно оси OY. График убывает на $(-\infty, 0]$ и возрастает на $[0, +\infty)$. В точке (0, 0) находится точка минимума, которая является точкой возврата (каспом), где касательные с обеих сторон стремятся к вертикальному положению.

2) $y = x^{\frac{3}{2}}$

Это степенная функция $y=x^p$ с показателем $p = \frac{3}{2}$. Функцию можно представить в виде $y = \sqrt{x^3}$ или $y = (\sqrt{x})^3$.

Анализ функции:

• Область определения: Из-за наличия квадратного корня функция определена только для неотрицательных значений аргумента, $D(y) = [0; +\infty)$.
• Четность: Область определения несимметрична относительно нуля, значит функция не является ни четной, ни нечетной.
• Область значений: Для всех $x \ge 0$, значение $y \ge 0$. Область значений $E(y) = [0; +\infty)$.
• Ключевые точки и поведение: График начинается в точке (0, 0). При $x=1$, $y=1$. При $x=4$, $y=4^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8$. Производная $y' = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2}\sqrt{x}$. Так как $y' > 0$ для $x>0$, функция монотонно возрастает. При $x=0$, $y'(0)=0$, что означает, что касательная к графику в начале координат горизонтальна. Вторая производная $y'' = \frac{3}{4\sqrt{x}} > 0$, следовательно, график является вогнутым (выпуклым вниз).

Ответ: График функции представляет собой ветвь, расположенную в первой координатной четверти. Она начинается в точке (0, 0), касаясь оси OX, и монотонно возрастает, будучи вогнутой (выпуклой вниз). График проходит через точки (0, 0), (1, 1), (4, 8).

3) $y = x^{-5}$

Это степенная функция $y=x^p$ с показателем $p = -5$. Функцию можно представить в виде $y = \frac{1}{x^5}$.

Анализ функции:

• Область определения: Знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$. Область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Четность: Проверим значение функции для $-x$: $y(-x) = (-x)^{-5} = \frac{1}{(-x)^5} = -\frac{1}{x^5} = -y(x)$. Функция является нечетной, ее график симметричен относительно начала координат.
• Асимптоты: При $x \to 0$, $y \to \infty$. Ось OY ($x=0$) является вертикальной асимптотой. При $x \to \pm\infty$, $y \to 0$. Ось OX ($y=0$) является горизонтальной асимптотой.
• Ключевые точки и поведение: График проходит через точки (1, 1) и (-1, -1). Производная $y' = -5x^{-6} = -\frac{5}{x^6}$ всегда отрицательна, поэтому функция убывает на обоих промежутках области определения.

Ответ: График функции — это гипербола, состоящая из двух ветвей в первой и третьей координатных четвертях, симметричных относительно начала координат. В первой четверти ветвь убывает от $+\infty$ до 0, проходя через точку (1, 1). В третьей четверти ветвь убывает от 0 до $-\infty$, проходя через точку (-1, -1). Координатные оси являются асимптотами графика.

4) $y = x^{\sqrt{5}}$

Это степенная функция $y=x^p$ с иррациональным показателем $p = \sqrt{5} \approx 2.236$.

Анализ функции:

• Область определения: Степенная функция с иррациональным показателем по определению рассматривается для неотрицательных оснований. Область определения $D(y) = [0; +\infty)$.
• Четность: Область определения несимметрична, функция общего вида.
• Область значений: Для всех $x \ge 0$, значение $y \ge 0$. Область значений $E(y) = [0; +\infty)$.
• Ключевые точки и поведение: График начинается в точке (0, 0). При $x=1$, $y=1$. Показатель $p=\sqrt{5} > 1$. Производная $y' = \sqrt{5}x^{\sqrt{5}-1}$. Так как $\sqrt{5}-1 > 0$, производная положительна для $x>0$, и функция монотонно возрастает. При $x=0$, $y'(0)=0$, касательная в начале координат горизонтальна. Вторая производная $y'' = \sqrt{5}(\sqrt{5}-1)x^{\sqrt{5}-2} > 0$ для $x>0$, следовательно, график является вогнутым (выпуклым вниз).

Ответ: График функции — это ветвь, расположенная в первой координатной четверти. Она начинается в точке (0, 0), касаясь оси OX, монотонно возрастает и является вогнутой. График проходит через точки (0, 0) и (1, 1). Его форма напоминает график параболы $y=x^2$, но рост происходит быстрее, так как $\sqrt{5} > 2$.

561. Пользуясь свойствами степенной функции, сравнить с единицей число:

1) $4,1^{2,7}$;

2) $0,2^{0,3}$;

3) $0,7^{9,1}$;

4) $(\sqrt{3})^{0,2}$.

1) В выражении $4.1^{2.7}$ основание степени $x = 4.1$ больше 1, а показатель степени $a = 2.7$ является положительным числом. Свойство степенной функции $y = x^a$ гласит, что если основание $x > 1$ и показатель $a > 0$, то функция возрастает. Так как $4.1 > 1$, то $4.1^{2.7} > 1^{2.7}$. Поскольку $1$ в любой степени равно $1$, получаем $4.1^{2.7} > 1$.
Ответ: $4.1^{2.7} > 1$.

2) В выражении $0.2^{0.3}$ основание степени $x = 0.2$ меньше 1 (но больше 0), а показатель степени $a = 0.3$ является положительным. Для степенной функции с положительным показателем ($a > 0$) свойственно возрастание. Так как основание $0.2 < 1$, то и значение степени будет меньше единицы: $0.2^{0.3} < 1^{0.3}$. Так как $1^{0.3} = 1$, то $0.2^{0.3} < 1$.
Ответ: $0.2^{0.3} < 1$.

3) В выражении $0.7^{-9.1}$ основание степени $x = 0.7$ меньше 1 (но больше 0), а показатель степени $a = -9.1$ является отрицательным. Свойство степенной функции $y = x^a$ гласит, что если показатель $a < 0$, то функция является убывающей. Это значит, что для большего значения аргумента значение функции будет меньше. Так как $0.7 < 1$, при возведении в отрицательную степень знак неравенства изменится на противоположный: $0.7^{-9.1} > 1^{-9.1}$. Поскольку $1^{-9.1} = 1$, получаем $0.7^{-9.1} > 1$.
Ответ: $0.7^{-9.1} > 1$.

4) В выражении $(\sqrt{3})^{0.2}$ основание степени $x = \sqrt{3}$. Сначала сравним основание с единицей. Так как $3 > 1$, то $\sqrt{3} > \sqrt{1}$, следовательно, $\sqrt{3} > 1$. Показатель степени $a = 0.2$ является положительным. Так как основание больше 1, а показатель положителен, значение степени будет больше 1. Используя свойство возрастания степенной функции с положительным показателем: поскольку $\sqrt{3} > 1$, то $(\sqrt{3})^{0.2} > 1^{0.2}$. Так как $1^{0.2} = 1$, то $(\sqrt{3})^{0.2} > 1$.
Ответ: $(\sqrt{3})^{0.2} > 1$.

562. По рисунку найти промежутки, на которых график данной функции лежит выше (ниже) графика функции $y = x$:

1) $y = x^{\sqrt{2}}$;

2) $y = x^{\pi}$.

1) $y = x^{\sqrt{2}}$

Для решения задачи необходимо сравнить значения функции $y = x^{\sqrt{2}}$ со значениями функции $y = x$. Областью определения степенной функции с иррациональным показателем, как в данном случае, является множество неотрицательных чисел, то есть $x \ge 0$.

Сначала найдем точки пересечения графиков этих функций. Для этого решим уравнение $x^{\sqrt{2}} = x$:

$x^{\sqrt{2}} - x = 0$

$x(x^{\sqrt{2}-1} - 1) = 0$

Из этого уравнения получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2=1$ (так как $x^{\sqrt{2}-1}=1$ при $x=1$).Таким образом, графики функций пересекаются в точках с абсциссами $0$ и $1$. Эти точки делят область определения $x \ge 0$ на два интервала для анализа: $(0, 1)$ и $(1, \infty)$.

Далее определим, на каких из этих промежутков график функции $y = x^{\sqrt{2}}$ лежит выше, а на каких ниже графика $y=x$.

График $y = x^{\sqrt{2}}$ лежит выше графика $y = x$, если выполняется неравенство $x^{\sqrt{2}} > x$.При $x > 0$ мы можем разделить обе части неравенства на $x$, получив:$x^{\sqrt{2}-1} > 1$.Поскольку показатель степени $\sqrt{2}-1 \approx 1.414 - 1 = 0.414 > 0$, функция $f(x) = x^{\sqrt{2}-1}$ является возрастающей на всей области определения. Мы знаем, что $f(1) = 1^{\sqrt{2}-1} = 1$. Так как функция возрастает, неравенство $f(x) > 1$ будет выполняться для всех $x > 1$.Следовательно, на промежутке $(1, \infty)$ график функции $y = x^{\sqrt{2}}$ лежит выше графика $y = x$.

График $y = x^{\sqrt{2}}$ лежит ниже графика $y = x$, если $x^{\sqrt{2}} < x$.Аналогично, при $x > 0$ это неравенство эквивалентно $x^{\sqrt{2}-1} < 1$.Поскольку $f(x) = x^{\sqrt{2}-1}$ — возрастающая функция и $f(1)=1$, неравенство $f(x) < 1$ будет выполняться для всех $x$, таких что $0 < x < 1$.Следовательно, на промежутке $(0, 1)$ график функции $y = x^{\sqrt{2}}$ лежит ниже графика $y = x$.

Ответ: график функции $y=x^{\sqrt{2}}$ лежит выше графика функции $y=x$ на промежутке $(1; \infty)$, а ниже — на промежутке $(0; 1)$.

2) $y = x^{\pi}$

Действуем по аналогии с предыдущим пунктом. Сравниваем функцию $y = x^{\pi}$ с функцией $y = x$. Область определения функции $y = x^{\pi}$ также $x \ge 0$.

Находим точки пересечения графиков, решая уравнение $x^{\pi} = x$:

$x^{\pi} - x = 0$

$x(x^{\pi-1} - 1) = 0$

Корнями уравнения являются $x_1 = 0$ и $x_2=1$. Графики пересекаются в точках с этими абсциссами.Рассмотрим промежутки $(0, 1)$ и $(1, \infty)$.

График $y = x^{\pi}$ лежит выше графика $y = x$, когда $x^{\pi} > x$.При $x > 0$ делим на $x$:$x^{\pi-1} > 1$.Показатель степени $\pi-1 \approx 3.14159 - 1 = 2.14159 > 0$. Значит, функция $g(x) = x^{\pi-1}$ является возрастающей. Так как $g(1) = 1^{\pi-1} = 1$, неравенство $g(x) > 1$ верно для всех $x > 1$.Таким образом, на промежутке $(1, \infty)$ график функции $y = x^{\pi}$ лежит выше графика $y = x$.

График $y = x^{\pi}$ лежит ниже графика $y = x$, когда $x^{\pi} < x$.При $x > 0$ это неравенство эквивалентно $x^{\pi-1} < 1$.Так как $g(x) = x^{\pi-1}$ — возрастающая функция и $g(1)=1$, неравенство $g(x) < 1$ верно для всех $x$ в интервале $0 < x < 1$.Таким образом, на промежутке $(0, 1)$ график функции $y = x^{\pi}$ лежит ниже графика $y = x$.

Ответ: график функции $y=x^{\pi}$ лежит выше графика функции $y=x$ на промежутке $(1; \infty)$, а ниже — на промежутке $(0; 1)$.

563. По рисунку найти промежутки, на которых график данной функции лежит выше (ниже) графика функции $y = x$:

1) $y = x^{\frac{1}{\pi}}$;

2) $y = x^{\sin 45^\circ}$;

1) Чтобы найти промежутки, на которых график функции $y = x^{\frac{1}{\pi}}$ лежит выше или ниже графика функции $y=x$, нужно сравнить значения этих функций. Решение сводится к анализу неравенств $x^{\frac{1}{\pi}} > x$ и $x^{\frac{1}{\pi}} < x$ на области определения $x \ge 0$.

Взаимное расположение графиков степенной функции $y=x^a$ и прямой $y=x$ зависит от значения показателя степени $a$. В данном случае $a = \frac{1}{\pi}$.

Оценим значение $a$. Так как $\pi \approx 3.14159$, то $\pi > 1$, и, следовательно, $0 < \frac{1}{\pi} < 1$.

Для степенной функции $y=x^a$ с показателем $a$, удовлетворяющим условию $0 < a < 1$, верны следующие утверждения:
- При $x \in (0, 1)$, график функции $y=x^a$ лежит выше графика $y=x$.
- При $x \in (1, +\infty)$, график функции $y=x^a$ лежит ниже графика $y=x$.
- При $x=0$ и $x=1$ графики пересекаются, так как $0^a=0$ и $1^a=1$.

Поскольку для функции $y = x^{\frac{1}{\pi}}$ показатель $a=\frac{1}{\pi}$ находится в интервале $(0, 1)$, то её график лежит выше графика $y=x$ на промежутке $(0, 1)$ и ниже на промежутке $(1, +\infty)$.

Ответ: график функции $y=x^{\frac{1}{\pi}}$ лежит выше графика $y=x$ на промежутке $(0, 1)$ и ниже на промежутке $(1, +\infty)$.

2) Рассмотрим функцию $y = x^{\sin{45^\circ}}$. Проведем анализ аналогично предыдущему пункту.

Показатель степени в этой функции равен $a = \sin{45^\circ}$.

Вычислим значение $a$: $\sin{45^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Поскольку $1 < \sqrt{2} < 2$, то $0.5 < \frac{\sqrt{2}}{2} < 1$. Таким образом, показатель степени $a$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$.

Так как показатель степени $a = \sin{45^\circ}$ находится в том же интервале $(0, 1)$, что и в первом задании, то взаимное расположение графиков будет таким же.
- График функции $y=x^{\sin{45^\circ}}$ лежит выше графика $y=x$ на промежутке $(0, 1)$.
- График функции $y=x^{\sin{45^\circ}}$ лежит ниже графика $y=x$ на промежутке $(1, +\infty)$.

Ответ: график функции $y=x^{\sin{45^\circ}}$ лежит выше графика $y=x$ на промежутке $(0, 1)$ и ниже на промежутке $(1, +\infty)$.

564. Сравнить значения выражений:

1) $(\frac{10}{11})^{2,3}$ и $(\frac{12}{11})^{2,3}$;

2) $2,5^{-8,1}$ и $2,6^{-8,1}$;

3) $(\frac{14}{15})^{\frac{3}{4}}$ и $(\frac{15}{16})^{\frac{3}{4}};

4) $(2\sqrt[3]{5})^{-0,2}$ и $(5\sqrt[3]{2})^{-0,2}$.

1) Для сравнения выражений $(\frac{10}{11})^{2,3}$ и $(\frac{12}{11})^{2,3}$ воспользуемся свойствами степенной функции $y=x^a$.

В данном случае показатель степени $a = 2,3$ является положительным числом ($a > 0$), следовательно, функция $y=x^{2,3}$ является возрастающей на всей области определения $x > 0$. Это означает, что большему значению основания соответствует большее значение степени.

Сравним основания степеней: $\frac{10}{11}$ и $\frac{12}{11}$.
Поскольку оба знаменателя равны $11$, а числитель $10 < 12$, то $\frac{10}{11} < \frac{12}{11}$.
Так как функция возрастающая, то из неравенства для оснований следует такое же неравенство для степеней:
$(\frac{10}{11})^{2,3} < (\frac{12}{11})^{2,3}$.

Ответ: $(\frac{10}{11})^{2,3} < (\frac{12}{11})^{2,3}$.

2) Для сравнения выражений $2,5^{-8,1}$ и $2,6^{-8,1}$ рассмотрим степенную функцию $y=x^a$.

Здесь показатель степени $a = -8,1$ является отрицательным числом ($a < 0$). Степенная функция с отрицательным показателем является убывающей на промежутке $x > 0$. Это означает, что большему значению основания соответствует меньшее значение степени.

Сравним основания степеней: $2,5$ и $2,6$.
Очевидно, что $2,5 < 2,6$.
Поскольку функция убывающая, то знак неравенства для степеней будет противоположным знаку неравенства для оснований:
$2,5^{-8,1} > 2,6^{-8,1}$.

Ответ: $2,5^{-8,1} > 2,6^{-8,1}$.

3) Сравним значения выражений $(\frac{14}{15})^{\frac{3}{4}}$ и $(\frac{15}{16})^{\frac{3}{4}}$.

Показатель степени $a = \frac{3}{4}$ положителен ($a > 0$), значит, функция $y=x^{\frac{3}{4}}$ является возрастающей при $x > 0$.

Сравним основания степеней: $\frac{14}{15}$ и $\frac{15}{16}$.
Чтобы сравнить эти дроби, можно привести их к общему знаменателю или представить в виде разности с единицей.
$\frac{14}{15} = 1 - \frac{1}{15}$
$\frac{15}{16} = 1 - \frac{1}{16}$
Так как $15 < 16$, то $\frac{1}{15} > \frac{1}{16}$. Умножим обе части на $-1$, при этом знак неравенства изменится на противоположный: $-\frac{1}{15} < -\frac{1}{16}$.
Теперь прибавим к обеим частям $1$: $1 - \frac{1}{15} < 1 - \frac{1}{16}$, следовательно, $\frac{14}{15} < \frac{15}{16}$.
Так как функция возрастающая, то из неравенства $\frac{14}{15} < \frac{15}{16}$ следует, что $(\frac{14}{15})^{\frac{3}{4}} < (\frac{15}{16})^{\frac{3}{4}}$.

Ответ: $(\frac{14}{15})^{\frac{3}{4}} < (\frac{15}{16})^{\frac{3}{4}}$.

4) Сравним значения выражений $(2\sqrt[3]{5})^{-0,2}$ и $(5\sqrt[3]{2})^{-0,2}$.

Показатель степени $a = -0,2$ отрицателен ($a < 0$), значит, функция $y=x^{-0,2}$ является убывающей при $x > 0$.

Сравним основания степеней: $2\sqrt[3]{5}$ и $5\sqrt[3]{2}$.
Поскольку оба основания положительны, для их сравнения можно возвести их в куб. Функция $y=z^3$ является возрастающей, поэтому знак неравенства сохранится.
$(2\sqrt[3]{5})^3 = 2^3 \cdot (\sqrt[3]{5})^3 = 8 \cdot 5 = 40$.
$(5\sqrt[3]{2})^3 = 5^3 \cdot (\sqrt[3]{2})^3 = 125 \cdot 2 = 250$.
Так как $40 < 250$, то и $2\sqrt[3]{5} < 5\sqrt[3]{2}$.
Поскольку степенная функция $y=x^{-0,2}$ убывающая, то для оснований, связанных неравенством $2\sqrt[3]{5} < 5\sqrt[3]{2}$, соответствующие значения функции будут связаны противоположным неравенством:
$(2\sqrt[3]{5})^{-0,2} > (5\sqrt[3]{2})^{-0,2}$.

Ответ: $(2\sqrt[3]{5})^{-0,2} > (5\sqrt[3]{2})^{-0,2}$.

565. В одной системе координат построить графики двух функций, выяснив предварительно их области определения и множества значений:

1) $y = x^4$ и $y = x^{\frac{1}{4}}$;

2) $y = x^5$ и $y = x^{-5}$;

3) $y = x^{\frac{1}{5}}$ и $y = \sqrt[5]{x}$.

1) Рассмотрим функции $y = x^4$ и $y = x^{\frac{1}{4}}$.

Анализ функции $y = x^4$:

Это степенная функция с четным натуральным показателем.

• Область определения $D(y)$: Аргумент $x$ может быть любым действительным числом. Таким образом, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Множество значений $E(y)$: Так как любое действительное число, возведенное в четвертую (четную) степень, является неотрицательным, то $y \ge 0$. Таким образом, $E(y) = [0; +\infty)$.
• График: График функции — парабола четвертой степени, симметричная относительно оси OY (так как функция четная: $(-x)^4 = x^4$). Она проходит через точки (0,0), (1,1), (-1,1).

Анализ функции $y = x^{\frac{1}{4}}$:

Эту функцию можно записать как $y = \sqrt[4]{x}$.

• Область определения $D(y)$: Выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным, поэтому $x \ge 0$. Таким образом, $D(y) = [0; +\infty)$.
• Множество значений $E(y)$: Значение арифметического корня четной степени всегда неотрицательно, поэтому $y \ge 0$. Таким образом, $E(y) = [0; +\infty)$.
• График: График расположен в первой координатной четверти, выходит из точки (0,0) и плавно возрастает. Он проходит через точки (0,0), (1,1), (16,2).

На промежутке $[0; +\infty)$ функции $y=x^4$ и $y=x^{\frac{1}{4}}$ являются взаимно обратными, поэтому их графики симметричны относительно прямой $y=x$. Они пересекаются в точках, где $x^4 = x^{\frac{1}{4}}$, то есть в точках (0,0) и (1,1).

Ответ: Для $y=x^4$: область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$, множество значений $E(y) = [0; +\infty)$. Для $y=x^{\frac{1}{4}}$: область определения $D(y) = [0; +\infty)$, множество значений $E(y) = [0; +\infty)$.

2) Рассмотрим функции $y = x^5$ и $y = x^{-5}$.

Анализ функции $y = x^5$:

Это степенная функция с нечетным натуральным показателем.

• Область определения $D(y)$: Аргумент $x$ может быть любым действительным числом. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Множество значений $E(y)$: Результат возведения в нечетную степень может быть как положительным, так и отрицательным, а также нулем. $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• График: График симметричен относительно начала координат (так как функция нечетная: $(-x)^5 = -x^5$). Он проходит через точки (-1,-1), (0,0), (1,1).

Анализ функции $y = x^{-5}$:

Эту функцию можно записать как $y = \frac{1}{x^5}$.

• Область определения $D(y)$: Знаменатель дроби не может быть равен нулю, т.е. $x^5 \neq 0$, откуда $x \neq 0$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Множество значений $E(y)$: Дробь $\frac{1}{x^5}$ может принимать любое значение, кроме нуля. Таким образом, $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• График: График функции — гипербола. Он состоит из двух ветвей, расположенных в первой и третьей координатных четвертях. График симметричен относительно начала координат (так как функция нечетная). Оси координат являются асимптотами.

Графики пересекаются, когда $x^5 = x^{-5}$, что эквивалентно $x^{10} = 1$. Решениями этого уравнения являются $x=1$ и $x=-1$. Таким образом, точки пересечения: (1,1) и (-1,-1).

Ответ: Для $y=x^5$: область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$, множество значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$. Для $y=x^{-5}$: область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, множество значений $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

3) Рассмотрим функции $y = x^{\frac{1}{5}}$ и $y = \sqrt[5]{x}$.

Данные выражения $y = x^{\frac{1}{5}}$ и $y = \sqrt[5]{x}$ задают одну и ту же функцию, так как степенная функция с рациональным показателем $m/n$ определяется как $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^m}$. В нашем случае, $m=1, n=5$. Таким образом, необходимо исследовать и построить график только одной функции.

Анализ функции $y = \sqrt[5]{x}$:

• Область определения $D(y)$: Корень нечетной степени (в данном случае 5) можно извлекать из любого действительного числа (положительного, отрицательного или нуля). Поэтому $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Множество значений $E(y)$: Результатом извлечения корня нечетной степени также может быть любое действительное число. Поэтому $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• График: Функция является нечетной, так как $\sqrt[5]{-x} = -\sqrt[5]{x}$. Ее график симметричен относительно начала координат. Он проходит через точки (-1, -1), (0, 0) и (1, 1). Эта функция является обратной к функции $y=x^5$.

Так как в задании требуется построить графики "двух" функций, а они совпадают, мы строим один график, который соответствует обеим записям.

Ответ: Для функции $y=x^{\frac{1}{5}}$ (или, что то же самое, $y=\sqrt[5]{x}$): область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$, множество значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

566. По рисунку найти промежутки, на которых график данной функции лежит выше (ниже) графика функции $y = x$:

1) $y = x^{1-\pi}$;

2) $y = x^{1-\sqrt{3}}$.

Для решения данной задачи необходимо сравнить положение графика степенной функции $y = x^{\alpha}$ с графиком функции $y = x$. Область определения для данных степенных функций, имеющих иррациональные показатели, — это $x > 0$.

Графики функций $y = x^{\alpha}$ и $y = x$ (который можно представить как $y = x^1$) пересекаются, когда $x^{\alpha} = x^1$. При $x>0$ это уравнение равносильно $x^{\alpha-1} = 1$, что выполняется только при $x=1$. Таким образом, точка $(1, 1)$ является единственной точкой пересечения графиков при $x>0$.

Положение графиков относительно друг друга зависит от значения показателя $\alpha$ по сравнению с 1.

• Если $\alpha > 1$, то на интервале $(0, 1)$ график $y=x^\alpha$ лежит ниже $y=x$, а на $(1, +\infty)$ — выше.
• Если $\alpha < 1$, то на интервале $(0, 1)$ график $y=x^\alpha$ лежит выше $y=x$, а на $(1, +\infty)$ — ниже.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

1) Для функции $y = x^{1-\pi}$ показатель степени $\alpha = 1 - \pi$. Поскольку число $\pi \approx 3.14159$, то показатель $\alpha = 1 - \pi < 0$. Так как $\alpha < 1$, мы можем применить правило, описанное выше.

Таким образом, график функции $y = x^{1-\pi}$ лежит выше графика $y=x$ на промежутке $(0, 1)$ и ниже на промежутке $(1, +\infty)$.

Проверим это аналитически. Найдем промежутки, где график $y = x^{1-\pi}$ лежит выше графика $y=x$, решив неравенство:

$x^{1-\pi} > x$

Поскольку $x > 0$, разделим обе части на $x$, не меняя знака неравенства:

$x^{1-\pi-1} > x^{1-1}$

$x^{-\pi} > 1$

Перепишем левую часть: $\frac{1}{x^\pi} > 1$. Так как $x^\pi > 0$ при $x>0$, умножим обе части на $x^\pi$: $1 > x^\pi$.

Поскольку функция $t \mapsto t^{1/\pi}$ является возрастающей (т.к. $1/\pi > 0$), можно извлечь корень степени $\pi$ из обеих частей:

$1^{1/\pi} > (x^\pi)^{1/\pi} \implies 1 > x$.

С учетом области определения $x > 0$, получаем, что график $y = x^{1-\pi}$ лежит выше графика $y=x$ на промежутке $(0, 1)$.

Соответственно, на промежутке $(1, +\infty)$ график функции $y=x^{1-\pi}$ будет лежать ниже графика $y=x$. Неравенство $x^{1-\pi} < x$ равносильно $x > 1$.

Ответ: график функции $y=x^{1-\pi}$ лежит выше графика функции $y=x$ на промежутке $(0, 1)$ и ниже на промежутке $(1, +\infty)$.

2) Для функции $y = x^{1-\sqrt{3}}$ показатель степени $\alpha = 1 - \sqrt{3}$. Поскольку $\sqrt{3} \approx 1.732$, то показатель $\alpha = 1 - \sqrt{3} < 0$. Как и в предыдущем случае, $\alpha < 1$.

Следовательно, рассуждения полностью аналогичны. График функции $y = x^{1-\sqrt{3}}$ лежит выше графика $y=x$ на промежутке $(0, 1)$ и ниже на промежутке $(1, +\infty)$.

Аналитическая проверка. Ищем, где график выше:

$x^{1-\sqrt{3}} > x \implies x^{-\sqrt{3}} > 1 \implies \frac{1}{x^{\sqrt{3}}} > 1 \implies 1 > x^{\sqrt{3}} \implies 1 > x$.

С учетом $x>0$, получаем промежуток $(0, 1)$.

Ищем, где график ниже:

$x^{1-\sqrt{3}} < x \implies x > 1$.

Получаем промежуток $(1, +\infty)$.

Ответ: график функции $y=x^{1-\sqrt{3}}$ лежит выше графика функции $y=x$ на промежутке $(0, 1)$ и ниже на промежутке $(1, +\infty)$.

567. Изобразить схематически график функции и найти её область определения и множество значений; выяснить, является ли функция возрастающей (убывающей); является ли функция ограниченной:

1) $y = x^{\frac{1}{\pi}} - 1$;

2) $y = (x+1)^{-\sqrt{2}}$;

3) $y = (x-2)^{-2}$.

1) Рассмотрим функцию $y = x^{\frac{1}{\pi}} - 1$.

Для построения схематического графика учтем, что это степенная функция $y=x^a$ с показателем $a = \frac{1}{\pi} \approx 0.318$, смещенная на 1 единицу вниз по оси ординат. Так как $0 < a < 1$, график функции $y = x^{\frac{1}{\pi}}$ представляет собой возрастающую кривую, которая является вогнутой вниз (похожа на ветвь параболы $x=y^k$ при $k>1$). График функции $y = x^{\frac{1}{\pi}} - 1$ получается сдвигом предыдущего графика на 1 единицу вниз. Он начинается в точке $(0, -1)$, пересекает ось абсцисс в точке $(1, 0)$ и уходит в бесконечность.

Область определения: поскольку показатель степени $\frac{1}{\pi}$ является иррациональным числом, основание степени $x$ должно быть неотрицательным. Таким образом, $x \ge 0$. Область определения $D(y) = [0, +\infty)$.

Множество значений: при $x \in [0, +\infty)$ выражение $x^{\frac{1}{\pi}}$ принимает значения из промежутка $[0, +\infty)$. Следовательно, функция $y = x^{\frac{1}{\pi}} - 1$ принимает значения из промежутка $[-1, +\infty)$. Множество значений $E(y) = [-1, +\infty)$.

Монотонность: найдем производную функции: $y' = (x^{\frac{1}{\pi}} - 1)' = \frac{1}{\pi}x^{\frac{1}{\pi} - 1} = \frac{1}{\pi}x^{\frac{1-\pi}{\pi}}$. Так как $\pi \approx 3.14$, то $1-\pi < 0$. В области определения $x > 0$ имеем $x^{\frac{1-\pi}{\pi}} > 0$. Поскольку $\frac{1}{\pi} > 0$, производная $y' > 0$ для всех $x > 0$. Следовательно, функция является возрастающей на всей своей области определения.

Ограниченность: множество значений функции $E(y) = [-1, +\infty)$. Это означает, что функция ограничена снизу числом $-1$, но не ограничена сверху. Таким образом, функция не является ограниченной.

Ответ: Область определения $D(y) = [0, +\infty)$; множество значений $E(y) = [-1, +\infty)$; функция является возрастающей на всей области определения; функция не является ограниченной (ограничена снизу).

2) Рассмотрим функцию $y = (x+1)^{-\sqrt{2}}$.

Данную функцию можно представить в виде $y = \frac{1}{(x+1)^{\sqrt{2}}}$. Ее график получается смещением графика функции $y = x^{-\sqrt{2}}$ на 1 единицу влево. Показатель степени $a = -\sqrt{2} \approx -1.414$ является отрицательным иррациональным числом. График имеет вертикальную асимптоту $x = -1$ и горизонтальную асимптоту $y = 0$. Функция определена только при $x > -1$, и ее значения всегда положительны. График представляет собой гладкую убывающую кривую, проходящую через точку $(0, 1)$ и приближающуюся к осям координат.

Область определения: так как показатель степени $-\sqrt{2}$ иррациональный, основание $x+1$ должно быть неотрицательным. Поскольку показатель также отрицательный, основание не может быть равно нулю. Следовательно, $x+1 > 0$, что дает $x > -1$. Область определения $D(y) = (-1, +\infty)$.

Множество значений: если $x$ изменяется в интервале $(-1, +\infty)$, то $x+1$ изменяется в интервале $(0, +\infty)$. Тогда $(x+1)^{\sqrt{2}}$ также принимает значения в $(0, +\infty)$. Следовательно, $y = \frac{1}{(x+1)^{\sqrt{2}}}$ принимает значения в интервале $(0, +\infty)$. Множество значений $E(y) = (0, +\infty)$.

Монотонность: найдем производную: $y' = ((x+1)^{-\sqrt{2}})' = -\sqrt{2}(x+1)^{-\sqrt{2}-1} = \frac{-\sqrt{2}}{(x+1)^{\sqrt{2}+1}}$. В области определения $x > -1$ знаменатель $(x+1)^{\sqrt{2}+1}$ положителен. Числитель $-\sqrt{2}$ отрицателен. Значит, $y' < 0$ на всей области определения. Функция является убывающей.

Ограниченность: множество значений $E(y) = (0, +\infty)$. Функция ограничена снизу числом 0, но не ограничена сверху. Следовательно, функция не является ограниченной.

Ответ: Область определения $D(y) = (-1, +\infty)$; множество значений $E(y) = (0, +\infty)$; функция является убывающей на всей области определения; функция не является ограниченной (ограничена снизу).

3) Рассмотрим функцию $y = (x-2)^{-2}$.

Функцию можно записать как $y = \frac{1}{(x-2)^2}$. Ее график — это график функции $y = \frac{1}{x^2}$, смещенный на 2 единицы вправо по оси абсцисс. Функция имеет вертикальную асимптоту при $x=2$ и горизонтальную асимптоту $y=0$. График симметричен относительно прямой $x=2$ и расположен полностью выше оси абсцисс. Слева от асимптоты (при $x < 2$) график возрастает от 0 до $+\infty$. Справа от асимптоты (при $x > 2$) график убывает от $+\infty$ до 0.

Область определения: функция определена, если знаменатель не равен нулю, т.е. $(x-2)^2 \neq 0$, откуда $x \neq 2$. Область определения $D(y) = (-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$.

Множество значений: выражение $(x-2)^2$ принимает все строго положительные значения, т.е. $(x-2)^2 \in (0, +\infty)$. Следовательно, обратная величина $y = \frac{1}{(x-2)^2}$ также принимает все строго положительные значения. Множество значений $E(y) = (0, +\infty)$.

Монотонность: найдем производную: $y' = ((x-2)^{-2})' = -2(x-2)^{-3} = \frac{-2}{(x-2)^3}$. Если $x > 2$, то $x-2 > 0$, $(x-2)^3 > 0$, и $y' < 0$. Функция убывает на интервале $(2, +\infty)$. Если $x < 2$, то $x-2 < 0$, $(x-2)^3 < 0$, и $y' > 0$. Функция возрастает на интервале $(-\infty, 2)$. Функция не является монотонной на всей области определения.

Ограниченность: множество значений $E(y) = (0, +\infty)$. Функция ограничена снизу числом 0, но не ограничена сверху. Следовательно, она не является ограниченной.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$; множество значений $E(y) = (0, +\infty)$; функция возрастает на промежутке $(-\infty, 2)$ и убывает на промежутке $(2, +\infty)$; функция не является ограниченной (ограничена снизу).

568. Построить график функции и найти её область определения, множество значений; промежутки возрастания и убывания; выяснить, является ли функция ограниченной; имеет ли она наибольшее или наименьшее значение:

1) $y=|x|^{\frac{1}{3}}+1;$

2) $y=1-|x|^5;$

3) $y=|x|^3+1;$

4) $y=-|x|^{\frac{1}{5}}-2;$

5) $y=|x+1|^3;$

6) $y=|2x|^{-2}+2.$

1) $y = |x|^{\frac{1}{3}} + 1$

Для построения графика функции $y = |x|^{\frac{1}{3}} + 1$ (или $y = \sqrt[3]{|x|} + 1$) выполним преобразования.
1. Базовая функция: $y_0 = x^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{x}$.
2. Применяем модуль к аргументу: $y_1 = |x|^{\frac{1}{3}}$. Так как это четная функция ($f(-x) = |-x|^{\frac{1}{3}} = |x|^{\frac{1}{3}} = f(x)$), ее график симметричен относительно оси Oy. Для $x \ge 0$ имеем $y_1=x^{\frac{1}{3}}$. Строим эту ветвь и отражаем ее симметрично относительно оси Oy, чтобы получить график для $x<0$. График $y_1$ имеет точку возврата ("клюв") в начале координат.
3. Сдвигаем график $y_1$ на 1 единицу вверх вдоль оси Oy, чтобы получить искомый график $y = |x|^{\frac{1}{3}} + 1$. Точка возврата перемещается в $(0, 1)$.

Область определения: Выражение $\sqrt[3]{|x|}$ определено для любого действительного числа $x$. Следовательно, область определения $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

Множество значений: Поскольку $|x| \ge 0$, то и $|x|^{\frac{1}{3}} \ge 0$. Тогда $|x|^{\frac{1}{3}} + 1 \ge 1$. Наименьшее значение достигается при $x=0$ и равно 1. Таким образом, множество значений $E(y) = [1, +\infty)$.

Промежутки возрастания и убывания: Из вида графика следует, что функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.

Ограниченность: Так как множество значений $E(y) = [1, +\infty)$, функция ограничена снизу числом 1, но не ограничена сверху.

Наибольшее и наименьшее значения: Функция имеет наименьшее значение $y_{min} = 1$ при $x=0$. Наибольшего значения не существует.

Ответ: Область определения: $(-\infty, +\infty)$. Множество значений: $[1, +\infty)$. Убывает на $(-\infty, 0]$, возрастает на $[0, \infty)$. Ограничена снизу. Наименьшее значение $y_{min}=1$ при $x=0$, наибольшего значения нет.

2) $y = 1 - |x|^{\frac{1}{5}}$

Для построения графика функции $y = 1 - |x|^{\frac{1}{5}}$ (или $y = 1 - \sqrt[5]{|x|}$) выполним преобразования.
1. Строим график $y_1 = |x|^{\frac{1}{5}}$. Это четная функция, симметричная относительно оси Oy, с точкой возврата в $(0, 0)$.
2. Отражаем график $y_1$ симметрично относительно оси Ox, чтобы получить $y_2 = -|x|^{\frac{1}{5}}$. Точка возврата остается в $(0, 0)$, но "клюв" теперь направлен вниз.
3. Сдвигаем график $y_2$ на 1 единицу вверх вдоль оси Oy, чтобы получить искомый график $y = 1 - |x|^{\frac{1}{5}}$. Точка возврата перемещается в $(0, 1)$.

Область определения: Выражение $\sqrt[5]{|x|}$ определено для любого действительного числа $x$. Следовательно, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

Множество значений: Поскольку $|x|^{\frac{1}{5}} \ge 0$, то $-|x|^{\frac{1}{5}} \le 0$. Тогда $1 - |x|^{\frac{1}{5}} \le 1$. Наибольшее значение достигается при $x=0$ и равно 1. Таким образом, $E(y) = (-\infty, 1]$.

Промежутки возрастания и убывания: Из вида графика следует, что функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0]$ и убывает на промежутке $[0, +\infty)$.

Ограниченность: Так как множество значений $E(y) = (-\infty, 1]$, функция ограничена сверху числом 1, но не ограничена снизу.

Наибольшее и наименьшее значения: Функция имеет наибольшее значение $y_{max} = 1$ при $x=0$. Наименьшего значения не существует.

Ответ: Область определения: $(-\infty, +\infty)$. Множество значений: $(-\infty, 1]$. Возрастает на $(-\infty, 0]$, убывает на $[0, \infty)$. Ограничена сверху. Наибольшее значение $y_{max}=1$ при $x=0$, наименьшего значения нет.

3) $y = |x|^3 + 1$

Для построения графика функции $y = |x|^3 + 1$ выполним преобразования.
1. Строим график $y_1 = |x|^3$. Это четная функция. Для $x \ge 0$, $|x|=x$, поэтому $y_1 = x^3$. Строим график кубической параболы для $x \ge 0$ и отражаем его симметрично относительно оси Oy. График имеет минимум в точке $(0, 0)$.
2. Сдвигаем график $y_1$ на 1 единицу вверх вдоль оси Oy. Минимум перемещается в точку $(0, 1)$.

Область определения: Функция определена для любого действительного числа $x$. Следовательно, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

Множество значений: Поскольку $|x|^3 \ge 0$ для любого $x$, то $|x|^3 + 1 \ge 1$. Наименьшее значение равно 1 и достигается при $x=0$. Таким образом, $E(y) = [1, +\infty)$.

Промежутки возрастания и убывания: Функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.

Ограниченность: Функция ограничена снизу числом 1, но не ограничена сверху.

Наибольшее и наименьшее значения: Функция имеет наименьшее значение $y_{min} = 1$ при $x=0$. Наибольшего значения не существует.

Ответ: Область определения: $(-\infty, +\infty)$. Множество значений: $[1, +\infty)$. Убывает на $(-\infty, 0]$, возрастает на $[0, \infty)$. Ограничена снизу. Наименьшее значение $y_{min}=1$ при $x=0$, наибольшего значения нет.

4) $y = -|x|^{\frac{1}{5}} - 2$

Для построения графика функции $y = -|x|^{\frac{1}{5}} - 2$ выполним преобразования.
1. Строим график $y_1 = |x|^{\frac{1}{5}}$ (четная функция с точкой возврата в $(0, 0)$).
2. Отражаем график $y_1$ симметрично относительно оси Ox, чтобы получить $y_2 = -|x|^{\frac{1}{5}}$. "Клюв" направлен вниз.
3. Сдвигаем график $y_2$ на 2 единицы вниз вдоль оси Oy. Точка возврата перемещается в $(0, -2)$.

Область определения: Функция определена для любого действительного числа $x$. $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

Множество значений: Поскольку $|x|^{\frac{1}{5}} \ge 0$, то $-|x|^{\frac{1}{5}} \le 0$, и $-|x|^{\frac{1}{5}} - 2 \le -2$. Наибольшее значение равно -2 и достигается при $x=0$. Таким образом, $E(y) = (-\infty, -2]$.

Промежутки возрастания и убывания: Функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0]$ и убывает на промежутке $[0, +\infty)$.

Ограниченность: Функция ограничена сверху числом -2, но не ограничена снизу.

Наибольшее и наименьшее значения: Функция имеет наибольшее значение $y_{max} = -2$ при $x=0$. Наименьшего значения не существует.

Ответ: Область определения: $(-\infty, +\infty)$. Множество значений: $(-\infty, -2]$. Возрастает на $(-\infty, 0]$, убывает на $[0, \infty)$. Ограничена сверху. Наибольшее значение $y_{max}=-2$ при $x=0$, наименьшего значения нет.

5) $y = |x+1|^{\frac{1}{3}}$

Для построения графика функции $y = |x+1|^{\frac{1}{3}}$ (или $y = \sqrt[3]{|x+1|}$) выполним преобразования.
1. Строим график $y_1 = |x|^{\frac{1}{3}}$. Это четная функция, симметричная относительно оси Oy, с точкой возврата в $(0, 0)$.
2. Сдвигаем график $y_1$ на 1 единицу влево вдоль оси Ox. Ось симметрии смещается на $x=-1$, а точка возврата — в точку $(-1, 0)$.

Область определения: Функция определена для любого действительного числа $x$. $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

Множество значений: Поскольку $|x+1| \ge 0$, то и $|x+1|^{\frac{1}{3}} \ge 0$. Наименьшее значение равно 0 и достигается при $x=-1$. Таким образом, $E(y) = [0, +\infty)$.

Промежутки возрастания и убывания: Функция убывает на промежутке $(-\infty, -1]$ и возрастает на промежутке $[-1, +\infty)$.

Ограниченность: Функция ограничена снизу числом 0, но не ограничена сверху.

Наибольшее и наименьшее значения: Функция имеет наименьшее значение $y_{min} = 0$ при $x=-1$. Наибольшего значения не существует.

Ответ: Область определения: $(-\infty, +\infty)$. Множество значений: $[0, +\infty)$. Убывает на $(-\infty, -1]$, возрастает на $[-1, \infty)$. Ограничена снизу. Наименьшее значение $y_{min}=0$ при $x=-1$, наибольшего значения нет.

6) $y = |2x|^{-2} + 2$

Преобразуем функцию: $y = \frac{1}{|2x|^2} + 2 = \frac{1}{(2x)^2} + 2 = \frac{1}{4x^2} + 2$.
Для построения графика выполним преобразования.
1. Базовая функция: $y_0 = \frac{1}{x^2}$. График имеет вертикальную асимптоту $x=0$ и горизонтальную асимптоту $y=0$.
2. Выполняем сжатие к оси Oy (или растяжение от оси Ox): $y_1 = \frac{1}{4x^2}$. График становится "шире" по сравнению с $y_0$. Асимптоты не меняются.
3. Сдвигаем график $y_1$ на 2 единицы вверх вдоль оси Oy. Вертикальная асимптота остается $x=0$, а горизонтальная смещается на $y=2$.

Область определения: Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $4x^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$. Таким образом, $D(y) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

Множество значений: Поскольку $x^2 > 0$ для всех $x$ из области определения, то $4x^2 > 0$ и $\frac{1}{4x^2} > 0$. Следовательно, $y = \frac{1}{4x^2} + 2 > 2$. Таким образом, $E(y) = (2, +\infty)$.

Промежутки возрастания и убывания: Функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0)$ и убывает на промежутке $(0, +\infty)$.

Ограниченность: Функция ограничена снизу числом 2 (но не достигает его), но не ограничена сверху.

Наибольшее и наименьшее значения: Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения. Она стремится к своему наименьшему пределу $y=2$ при $|x| \to \infty$, но никогда его не достигает.

Ответ: Область определения: $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$. Множество значений: $(2, +\infty)$. Возрастает на $(-\infty, 0)$, убывает на $(0, \infty)$. Ограничена снизу. Наибольшего и наименьшего значений нет.

569. Найти координаты точки пересечения графиков функций:

1) $y = \sqrt[5]{x}$ и $y = x^{\frac{3}{5}}$;

2) $y = \sqrt[7]{x}$ и $y = x^{\frac{5}{7}}$

1) Для нахождения координат точек пересечения графиков функций $y = \sqrt[5]{x}$ и $y = x^{\frac{3}{5}}$, необходимо приравнять правые части уравнений, так как в точках пересечения значения $y$ и $x$ у обоих графиков совпадают.

Перепишем функцию $y = \sqrt[5]{x}$ в виде степенной функции: $y = x^{\frac{1}{5}}$.

Теперь приравняем выражения для $y$:

$x^{\frac{1}{5}} = x^{\frac{3}{5}}$

Заметим, что обе функции определены для всех действительных чисел $x$, так как показатель корня (5) является нечетным числом.

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

$x^{\frac{3}{5}} - x^{\frac{1}{5}} = 0$

Вынесем общий множитель $x^{\frac{1}{5}}$ за скобки:

$x^{\frac{1}{5}}(x^{\frac{2}{5}} - 1) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1. $x^{\frac{1}{5}} = 0$. Возведя обе части в 5-ю степень, получаем $x = 0$.

2. $x^{\frac{2}{5}} - 1 = 0$, что равносильно $x^{\frac{2}{5}} = 1$. Это уравнение можно записать как $(\sqrt[5]{x})^2 = 1$. Отсюда следует, что $\sqrt[5]{x} = 1$ или $\sqrt[5]{x} = -1$.

- Если $\sqrt[5]{x} = 1$, то, возведя обе части в 5-ю степень, получаем $x = 1^5 = 1$.

- Если $\sqrt[5]{x} = -1$, то, возведя обе части в 5-ю степень, получаем $x = (-1)^5 = -1$.

Таким образом, мы нашли три возможных значения абсциссы $x$: $0$, $1$ и $-1$. Теперь найдем соответствующие значения ординаты $y$, подставив эти значения в любую из исходных функций, например, в $y = \sqrt[5]{x}$.

- При $x = 0$, $y = \sqrt[5]{0} = 0$. Координаты точки: $(0; 0)$.

- При $x = 1$, $y = \sqrt[5]{1} = 1$. Координаты точки: $(1; 1)$.

- При $x = -1$, $y = \sqrt[5]{-1} = -1$. Координаты точки: $(-1; -1)$.

Проверим эти значения по второй функции $y = x^{\frac{3}{5}}$:

- При $x = 0$, $y = 0^{\frac{3}{5}} = 0$.

- При $x = 1$, $y = 1^{\frac{3}{5}} = 1$.

- При $x = -1$, $y = (-1)^{\frac{3}{5}} = (\sqrt[5]{-1})^3 = (-1)^3 = -1$.

Все значения совпадают.

Ответ: $(0; 0)$, $(1; 1)$, $(-1; -1)$.

2) Аналогично первому пункту, найдем координаты точек пересечения графиков функций $y = \sqrt[7]{x}$ и $y = x^{\frac{5}{7}}$.

Приравняем правые части уравнений. Представим $y = \sqrt[7]{x}$ в виде $y = x^{\frac{1}{7}}$.

$x^{\frac{1}{7}} = x^{\frac{5}{7}}$

Обе функции определены для всех $x \in \mathbb{R}$, так как показатель корня (7) нечетный.

Перенесем все члены в одну сторону и решим уравнение:

$x^{\frac{5}{7}} - x^{\frac{1}{7}} = 0$

Вынесем общий множитель $x^{\frac{1}{7}}$:

$x^{\frac{1}{7}}(x^{\frac{4}{7}} - 1) = 0$

Рассмотрим два случая:

1. $x^{\frac{1}{7}} = 0$. Возведя обе части в 7-ю степень, получаем $x = 0$.

2. $x^{\frac{4}{7}} - 1 = 0$, то есть $x^{\frac{4}{7}} = 1$. Это уравнение можно записать как $(\sqrt[7]{x})^4 = 1$. Отсюда следует, что $\sqrt[7]{x} = 1$ или $\sqrt[7]{x} = -1$.

- Если $\sqrt[7]{x} = 1$, то $x = 1^7 = 1$.

- Если $\sqrt[7]{x} = -1$, то $x = (-1)^7 = -1$.

Мы получили три значения для абсциссы $x$: $0$, $1$ и $-1$. Найдем соответствующие ординаты $y$ с помощью функции $y = \sqrt[7]{x}$.

- При $x = 0$, $y = \sqrt[7]{0} = 0$. Координаты точки: $(0; 0)$.

- При $x = 1$, $y = \sqrt[7]{1} = 1$. Координаты точки: $(1; 1)$.

- При $x = -1$, $y = \sqrt[7]{-1} = -1$. Координаты точки: $(-1; -1)$.

Проверка по второй функции $y = x^{\frac{5}{7}}$ дает те же результаты.

Ответ: $(0; 0)$, $(1; 1)$, $(-1; -1)$.