Страница 191 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

573. (Устно.) Выяснить, является ли обратимой функция:

1) $y = 3x - 1$;

2) $y = x^2 + 7$;

3) $y = \frac{1}{x}$;

4) $y = \sqrt{x}$;

5) $y = x^4$;

6) $y = x^4, x < 0$.

Для того чтобы выяснить, является ли функция обратимой, необходимо проверить, является ли она взаимно-однозначной (или инъективной). Функция является взаимно-однозначной на некотором множестве, если любым двум разным значениям аргумента из этого множества соответствуют два разных значения функции. Проще говоря, если $x_1 \ne x_2$, то $f(x_1) \ne f(x_2)$. Это эквивалентно тому, что если $f(x_1) = f(x_2)$, то $x_1 = x_2$. Геометрически это означает, что любая горизонтальная прямая пересекает график функции не более чем в одной точке. Функции, которые являются строго монотонными (строго возрастающими или строго убывающими) на своей области определения, всегда являются обратимыми.

1) $y = 3x - 1$
Это линейная функция, определенная на всей числовой оси $(-\infty, +\infty)$. Проверим ее на взаимную однозначность. Предположим, что $y(x_1) = y(x_2)$. Тогда $3x_1 - 1 = 3x_2 - 1$, что приводит к $3x_1 = 3x_2$ и, следовательно, $x_1 = x_2$. Так как из равенства значений функции следует равенство аргументов, функция является взаимно-однозначной. Кроме того, ее производная $y' = 3$ всегда положительна, что означает, что функция строго возрастает на всей области определения. Следовательно, функция является обратимой.
Ответ: да.

2) $y = x^2 + 7$
Это квадратичная функция, определенная на всей числовой оси. Графиком является парабола. Эта функция не является взаимно-однозначной, так как разным значениям аргумента может соответствовать одно и то же значение функции. Например, возьмем $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$. Получим $y(-1) = (-1)^2 + 7 = 8$ и $y(1) = 1^2 + 7 = 8$. Поскольку $y(-1) = y(1)$, но $-1 \ne 1$, функция не является взаимно-однозначной и, следовательно, не является обратимой на всей своей области определения.
Ответ: нет.

3) $y = \frac{1}{x}$
Это дробно-рациональная функция, ее область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Проверим на взаимную однозначность. Если $y(x_1) = y(x_2)$, то $\frac{1}{x_1} = \frac{1}{x_2}$, откуда следует, что $x_1 = x_2$. Функция является взаимно-однозначной на своей области определения. Она строго убывает на каждом из интервалов $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$, поэтому является обратимой.
Ответ: да.

4) $y = \sqrt{x}$
Функция квадратного корня определена при $x \ge 0$. Область определения $D(y) = [0; +\infty)$. Проверим на взаимную однозначность. Если $y(x_1) = y(x_2)$, то $\sqrt{x_1} = \sqrt{x_2}$. Возводя обе части в квадрат (что корректно, так как они обе неотрицательны), получаем $x_1 = x_2$. Функция является взаимно-однозначной. Она также является строго возрастающей на всей своей области определения. Следовательно, функция обратима.
Ответ: да.

5) $y = x^4$
Это степенная функция с четным показателем, определенная на всей числовой оси. Как и в случае с $y=x^2$, эта функция не является взаимно-однозначной. Например, $y(-2) = (-2)^4 = 16$ и $y(2) = 2^4 = 16$. Так как разным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, она не является обратимой на всей области определения.
Ответ: нет.

6) $y = x^4, x < 0$
Здесь мы рассматриваем ту же функцию $y = x^4$, но на ограниченной области определения $D(y) = (-\infty; 0)$. Проверим ее на взаимную однозначность на этом интервале. Пусть $y(x_1) = y(x_2)$ для $x_1, x_2 \in (-\infty; 0)$. Тогда $x_1^4 = x_2^4$, что означает $|x_1| = |x_2|$. Поскольку $x_1$ и $x_2$ отрицательны, то $|x_1| = -x_1$ и $|x_2| = -x_2$. Таким образом, $-x_1 = -x_2$, откуда $x_1 = x_2$. Функция является взаимно-однозначной на данном интервале. Ее производная $y' = 4x^3$ отрицательна при $x < 0$, значит, функция строго убывает. Следовательно, на данном множестве функция является обратимой.
Ответ: да.

574. Найти функцию, обратную к данной:

1) $y = -5x + 4$;

2) $y = \frac{3x - 1}{2}$;

3) $y = x^3 - 3.

1) Чтобы найти функцию, обратную к данной, необходимо выразить переменную $x$ через переменную $y$. После этого в полученном равенстве переменные $x$ и $y$ меняются местами.

Исходная функция: $y = -5x + 4$.

Выразим $x$:

$5x = 4 - y$

$x = \frac{4 - y}{5}$

Теперь заменим $x$ на $y$ и $y$ на $x$, чтобы получить обратную функцию в привычном виде:

$y = \frac{4 - x}{5}$

Ответ: $y = \frac{4 - x}{5}$

2) Дана функция $y = \frac{3x - 1}{2}$.

Выразим $x$ из этого уравнения. Сначала умножим обе части на 2:

$2y = 3x - 1$

Теперь перенесем $-1$ в левую часть с противоположным знаком:

$2y + 1 = 3x$

Разделим обе части на 3:

$x = \frac{2y + 1}{3}$

Произведем замену переменных ($x \leftrightarrow y$):

$y = \frac{2x + 1}{3}$

Ответ: $y = \frac{2x + 1}{3}$

3) Дана функция $y = x^3 - 3$.

Выразим $x$ через $y$. Перенесем $-3$ в левую часть:

$y + 3 = x^3$

Чтобы найти $x$, извлечем кубический корень из обеих частей уравнения:

$x = \sqrt[3]{y + 3}$

Заменив $x$ на $y$ и $y$ на $x$, получим обратную функцию:

$y = \sqrt[3]{x + 3}$

Ответ: $y = \sqrt[3]{x + 3}$

575. Найти область определения и множество значений функции, обратной к данной:

1) $y = \frac{1}{4}x - 7$;

2) $y = (x-1)^3$;

3) $y = \frac{3}{x-4}$.

1)

Для нахождения области определения и множества значений функции, обратной к данной, воспользуемся свойством: область определения обратной функции совпадает с множеством значений исходной функции, а множество значений обратной функции совпадает с областью определения исходной функции.

Дана функция $y = \frac{1}{4}x - 7$. Это линейная функция.

Область определения $D(y)$ данной функции — все действительные числа, так как выражение $\frac{1}{4}x - 7$ определено для любого $x$.

$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений $E(y)$ линейной функции (с ненулевым угловым коэффициентом) также является множеством всех действительных чисел.

$E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Следовательно, для обратной функции:

Область определения: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Ответ: область определения: $(-\infty; +\infty)$; множество значений: $(-\infty; +\infty)$.

2)

Дана функция $y = (x - 1)^3$. Это кубическая функция.

Область определения $D(y)$ данной функции — все действительные числа, так как выражение $(x - 1)^3$ определено для любого $x$.

$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений $E(y)$ кубической функции — все действительные числа.

$E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Следовательно, для обратной функции:

Область определения: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Ответ: область определения: $(-\infty; +\infty)$; множество значений: $(-\infty; +\infty)$.

3)

Дана функция $y = \frac{3}{x - 4}$. Это дробно-рациональная функция.

Область определения $D(y)$ данной функции определяется условием, что знаменатель дроби не равен нулю.

$x - 4 \neq 0 \implies x \neq 4$.

Таким образом, $D(y) = (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$.

Чтобы найти множество значений $E(y)$, выразим $x$ через $y$:

$y(x - 4) = 3$

$x - 4 = \frac{3}{y}$

$x = \frac{3}{y} + 4$

Из полученного выражения видно, что $y$ не может быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя.

Таким образом, $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Следовательно, для обратной функции:

Область определения равна множеству значений исходной функции: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Множество значений равно области определения исходной функции: $(-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$.

Ответ: область определения: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$; множество значений: $(-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$.

576. Функция $y = f(x)$ задана графиком (рис. 76). Построить график функции, обратной к данной.

а) $y = f(x)$

в) $y = f(x)$

б) $y = f(x)$

г) $y = f(x)$

Рис. 76

Для построения графика функции, обратной к данной, необходимо отразить исходный график симметрично относительно прямой $y=x$. Это означает, что каждая точка с координатами $(a, b)$ на графике исходной функции $y=f(x)$ переходит в точку с координатами $(b, a)$ на графике обратной функции $y=f^{-1}(x)$. При этом область определения исходной функции становится областью значений обратной, а область значений исходной функции становится областью определения обратной.

а)

1. Анализируем исходную функцию $y=f(x)$.
- Область определения (промежуток по оси $x$): $D(f) = [-1, 1]$.
- Область значений (промежуток по оси $y$): $E(f) = [1, 4]$.
- Функция является убывающей.
- Ключевые точки на графике (концы отрезка): $(-1, 4)$ и $(1, 1)$.

2. Находим свойства обратной функции $y=f^{-1}(x)$.
- Область определения обратной функции: $D(f^{-1}) = E(f) = [1, 4]$.
- Область значений обратной функции: $E(f^{-1}) = D(f) = [-1, 1]$.
- Так как исходная функция монотонно убывает, обратная функция также будет монотонно убывающей.
- Ключевые точки для графика обратной функции получаются заменой координат: точка $(-1, 4)$ переходит в $(4, -1)$, а точка $(1, 1)$ переходит в $(1, 1)$.

3. Для построения графика обратной функции нужно нанести на координатную плоскость точки $(4, -1)$ и $(1, 1)$ и соединить их плавной убывающей кривой, которая будет симметрична исходной относительно прямой $y=x$.

Ответ: График обратной функции — это кривая, соединяющая точки $(1, 1)$ и $(4, -1)$. Область определения функции — $[1, 4]$, область значений — $[-1, 1]$.

б)

1. Анализируем исходную функцию $y=f(x)$.
- Область определения: $D(f) = [-2, 2]$.
- Область значений: $E(f) = [1/4, 4]$.
- Функция является убывающей.
- Ключевые точки на графике: $(-2, 4)$, $(0, 1)$ и $(2, 1/4)$.

2. Находим свойства обратной функции $y=f^{-1}(x)$.
- Область определения: $D(f^{-1}) = [1/4, 4]$.
- Область значений: $E(f^{-1}) = [-2, 2]$.
- Обратная функция также является убывающей.
- Ключевые точки: точка $(-2, 4)$ переходит в $(4, -2)$, точка $(0, 1)$ в $(1, 0)$, и точка $(2, 1/4)$ в $(1/4, 2)$.

3. Для построения графика обратной функции нужно нанести на координатную плоскость точки $(4, -2)$, $(1, 0)$, $(1/4, 2)$ и соединить их плавной убывающей кривой.

Ответ: График обратной функции — это кривая, проходящая через точки $(1/4, 2)$, $(1, 0)$ и $(4, -2)$. Область определения — $[1/4, 4]$, область значений — $[-2, 2]$.

в)

1. Анализируем исходную функцию $y=f(x)$.
- Область определения: $D(f) = [-2, 1]$.
- Область значений: $E(f) = [0, 2]$.
- Функция является возрастающей.
- Ключевые точки на графике: $(-2, 0)$ и $(1, 2)$.

2. Находим свойства обратной функции $y=f^{-1}(x)$.
- Область определения: $D(f^{-1}) = [0, 2]$.
- Область значений: $E(f^{-1}) = [-2, 1]$.
- Обратная функция также является возрастающей.
- Ключевые точки: точка $(-2, 0)$ переходит в $(0, -2)$, а точка $(1, 2)$ переходит в $(2, 1)$.

3. Для построения графика обратной функции нужно нанести на координатную плоскость точки $(0, -2)$ и $(2, 1)$ и соединить их плавной возрастающей кривой.

Ответ: График обратной функции — это кривая, соединяющая точки $(0, -2)$ и $(2, 1)$. Область определения — $[0, 2]$, область значений — $[-2, 1]$.

г)

1. Анализируем исходную функцию $y=f(x)$.
- Область определения: $D(f) = [-2, 0]$.
- Область значений: $E(f) = [0, 4]$.
- Функция является возрастающей.
- Ключевые точки на графике: $(-2, 0)$, $(-1, 1)$ и $(0, 4)$.

2. Находим свойства обратной функции $y=f^{-1}(x)$.
- Область определения: $D(f^{-1}) = [0, 4]$.
- Область значений: $E(f^{-1}) = [-2, 0]$.
- Обратная функция также является возрастающей.
- Ключевые точки: точка $(-2, 0)$ переходит в $(0, -2)$, точка $(-1, 1)$ в $(1, -1)$, и точка $(0, 4)$ в $(4, 0)$.

3. Для построения графика обратной функции нужно нанести на координатную плоскость точки $(0, -2)$, $(1, -1)$, $(4, 0)$ и соединить их плавной возрастающей кривой.

Ответ: График обратной функции — это кривая, проходящая через точки $(0, -2)$, $(1, -1)$ и $(4, 0)$. Область определения — $[0, 4]$, область значений — $[-2, 0]$.

577. Записать аналитическое задание сложной функции

$z = f(y(x))$, если:

1) $y(x) = 1 - x; f(y) = y^{\frac{3}{2}}$

2) $y(x) = x^3 + 1; f(y) = \frac{1}{y}$

3) $y(x) = x^2 - 2x + 7; f(y) = \sqrt{y}$

4) $y(x) = \sqrt{x}; f(y) = (y+1)^3$

1) Чтобы найти аналитическое выражение для сложной функции $z = f(y(x))$, необходимо в функцию $f(y)$ вместо аргумента $y$ подставить выражение для функции $y(x)$.
Даны функции: $y(x) = 1 - x$ и $f(y) = y^2$.
Выполним подстановку $y(x)$ в $f(y)$:
$z = f(y(x)) = (y(x))^2 = (1 - x)^2$.
Можно также раскрыть скобки: $z = 1 - 2x + x^2$.
Ответ: $z = (1 - x)^2$.

2) Даны функции: $y(x) = x^3 + 1$ и $f(y) = \frac{1}{y}$.
Подставляем выражение для $y(x)$ в функцию $f(y)$:
$z = f(y(x)) = \frac{1}{y(x)} = \frac{1}{x^3 + 1}$.
Ответ: $z = \frac{1}{x^3 + 1}$.

3) Даны функции: $y(x) = x^2 - 2x + 7$ и $f(y) = \sqrt{y}$.
Подставляем выражение для $y(x)$ в функцию $f(y)$:
$z = f(y(x)) = \sqrt{y(x)} = \sqrt{x^2 - 2x + 7}$.
Ответ: $z = \sqrt{x^2 - 2x + 7}$.

4) Даны функции: $y(x) = \sqrt{x}$ и $f(y) = (y + 1)^3$.
Подставляем выражение для $y(x)$ в функцию $f(y)$:
$z = f(y(x)) = (y(x) + 1)^3 = (\sqrt{x} + 1)^3$.
Ответ: $z = (\sqrt{x} + 1)^3$.

578. Записать внутреннюю $ \varphi(x) $ и внешнюю $ f(\varphi) $ функции, задающие сложную функцию $ y = f(\varphi(x)) $, если:

1) $ y = \sqrt[3]{x^2 - x} $;

2) $ y = \frac{1}{x^3 + 3} $;

3) $ y = \frac{1}{\sqrt{x + 1}} $;

4) $ y = \sqrt{x^5 + 3} $.

579. Выяснить, являются ли взаимно обратными функции:

1) $y=-x^3$ и $y=-\sqrt[3]{x}$;

2) $y=-x^5$ и $y=\sqrt[5]{x}$;

3) $y=x^{-3}$ и $y=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$;

4) $y=\sqrt[5]{x^3}$ и $y=\sqrt[3]{x^5}$.

Две функции $y=f(x)$ и $y=g(x)$ являются взаимно обратными, если для всех $x$ из области определения одной функции и соответствующих значений $y$ из области определения другой выполняется равенство $f(g(x))=x$ и $g(f(x))=x$. Чтобы проверить это, можно для одной из функций, например $y=f(x)$, найти обратную. Для этого нужно выразить $x$ через $y$, а затем поменять переменные $x$ и $y$ местами. Если полученная функция совпадает с $y=g(x)$, то функции являются взаимно обратными.

1) $y=-x^3$ и $y=-\sqrt[3]{x}$

Найдем функцию, обратную для $y=-x^3$.
1. Выразим $x$ через $y$ из уравнения $y=-x^3$:
$x^3 = -y$
$x = \sqrt[3]{-y}$
Поскольку корень нечетной степени из отрицательного числа равен корню из противоположного ему положительного числа, взятому со знаком минус, получаем:
$x = -\sqrt[3]{y}$
2. Поменяем местами переменные $x$ и $y$:
$y = -\sqrt[3]{x}$
Полученная функция совпадает со второй данной функцией. Следовательно, функции являются взаимно обратными.
Проверка:
Пусть $f(x) = -x^3$ и $g(x) = -\sqrt[3]{x}$.
$f(g(x)) = -(-\sqrt[3]{x})^3 = -(-x) = x$
$g(f(x)) = -\sqrt[3]{-x^3} = -(-\sqrt[3]{x^3}) = -(-x) = x$
Равенства выполняются, значит, функции взаимно обратные.
Ответ: да, являются.

2) $y=-x^5$ и $y=\sqrt[5]{x}$

Найдем функцию, обратную для $y=-x^5$.
1. Выразим $x$ через $y$ из уравнения $y=-x^5$:
$x^5 = -y$
$x = \sqrt[5]{-y}$
$x = -\sqrt[5]{y}$
2. Поменяем местами переменные $x$ и $y$:
$y = -\sqrt[5]{x}$
Полученная функция $y = -\sqrt[5]{x}$ не совпадает со второй данной функцией $y=\sqrt[5]{x}$ (кроме точки $x=0$). Следовательно, функции не являются взаимно обратными.
Проверка:
Пусть $f(x) = -x^5$ и $g(x) = \sqrt[5]{x}$.
$f(g(x)) = -(\sqrt[5]{x})^5 = -x$
Так как $f(g(x)) = -x \neq x$, функции не являются взаимно обратными.
Ответ: нет, не являются.

3) $y=x^{-3}$ и $y=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$

Найдем функцию, обратную для $y=x^{-3}$. Заметим, что $x^{-3} = \frac{1}{x^3}$. Область определения обеих функций: $x \neq 0$.
1. Выразим $x$ через $y$ из уравнения $y=\frac{1}{x^3}$:
$x^3 = \frac{1}{y}$
$x = \sqrt[3]{\frac{1}{y}}$
$x = \frac{1}{\sqrt[3]{y}}$
2. Поменяем местами переменные $x$ и $y$:
$y = \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$
Полученная функция совпадает со второй данной функцией. Следовательно, функции являются взаимно обратными.
Проверка:
Пусть $f(x) = x^{-3}$ и $g(x) = \frac{1}{\sqrt[3]{x}} = x^{-1/3}$.
$f(g(x)) = (x^{-1/3})^{-3} = x^{(-1/3) \cdot (-3)} = x^1 = x$
$g(f(x)) = (x^{-3})^{-1/3} = x^{(-3) \cdot (-1/3)} = x^1 = x$
Равенства выполняются, значит, функции взаимно обратные.
Ответ: да, являются.

4) $y=\sqrt[5]{x^3}$ и $y=\sqrt[3]{x^5}$

Найдем функцию, обратную для $y=\sqrt[5]{x^3}$. Запишем функцию в виде $y=x^{3/5}$.
1. Выразим $x$ через $y$ из уравнения $y=x^{3/5}$:
Возведем обе части в 5-ю степень:
$y^5 = (x^{3/5})^5 = x^3$
Извлечем кубический корень из обеих частей:
$\sqrt[3]{y^5} = x$, или $x = y^{5/3}$
2. Поменяем местами переменные $x$ и $y$:
$y = x^{5/3}$
Запишем полученную функцию в виде корня: $y = \sqrt[3]{x^5}$.
Эта функция совпадает со второй данной функцией. Следовательно, функции являются взаимно обратными.
Проверка:
Пусть $f(x) = x^{3/5}$ и $g(x) = x^{5/3}$.
$f(g(x)) = (x^{5/3})^{3/5} = x^{(5/3) \cdot (3/5)} = x^1 = x$
$g(f(x)) = (x^{3/5})^{5/3} = x^{(3/5) \cdot (5/3)} = x^1 = x$
Равенства выполняются, значит, функции взаимно обратные.
Ответ: да, являются.