Страница 194 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

583. Построить график функции, указать её область определения, множество значений, промежутки монотонности:

1) $y = -\frac{2}{x}$;

2) $y = \frac{3}{x+2}$;

3) $y = 1 - \frac{3}{x}$.

1) $y = -\frac{2}{x}$

Построение графика:

Графиком функции является гипербола. Это функция вида $y = \frac{k}{x}$ с коэффициентом $k = -2$.

Поскольку $k < 0$, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях.

Асимптоты графика — оси координат:

• Вертикальная асимптота: $x = 0$ (ось Oy).
• Горизонтальная асимптота: $y = 0$ (ось Ox).

Составим таблицу значений для построения графика:

График симметричен относительно начала координат.

Область определения:

Функция определена для всех значений $x$, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль.

$x \neq 0$.

Следовательно, область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Множество значений:

Для функции вида $y = \frac{k}{x}$, где $k \neq 0$, $y$ не может быть равен нулю.

Множество значений: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Промежутки монотонности:

Найдем производную функции: $y' = (-\frac{2}{x})' = (-2x^{-1})' = -2 \cdot (-1)x^{-2} = \frac{2}{x^2}$.

Так как $x^2 > 0$ для всех $x$ из области определения, то $y' > 0$.

Следовательно, функция возрастает на всей области определения.

Промежутки возрастания: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

Ответ:

Область определения: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Множество значений: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Промежутки монотонности: функция возрастает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

2) $y = \frac{3}{x+2}$

Построение графика:

График этой функции можно получить из графика функции $y = \frac{3}{x}$ путем сдвига влево на 2 единицы вдоль оси Ox.

Графиком является гипербола. Коэффициент $k=3 > 0$, поэтому ветви гиперболы расположены в I и III четвертях относительно своих асимптот.

Асимптоты графика:

• Вертикальная асимптота: $x+2 = 0 \implies x = -2$.
• Горизонтальная асимптота: $y = 0$.

Составим таблицу значений для построения графика:

Область определения:

Функция определена для всех значений $x$, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль.

$x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$.

Следовательно, область определения: $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

Множество значений:

Функция является результатом сдвига функции $y = \frac{3}{x}$, множество значений которой $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Сдвиг по горизонтали не влияет на множество значений.

Множество значений: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Промежутки монотонности:

Найдем производную функции: $y' = (\frac{3}{x+2})' = (3(x+2)^{-1})' = 3 \cdot (-1)(x+2)^{-2} = -\frac{3}{(x+2)^2}$.

Так как $(x+2)^2 > 0$ для всех $x$ из области определения, то $y' < 0$.

Следовательно, функция убывает на всей области определения.

Промежутки убывания: $(-\infty; -2)$ и $(-2; +\infty)$.

Ответ:

Область определения: $(-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

Множество значений: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Промежутки монотонности: функция убывает на промежутках $(-\infty; -2)$ и $(-2; +\infty)$.

3) $y = 1 - \frac{3}{x}$

Построение графика:

Перепишем функцию в виде $y = -\frac{3}{x} + 1$. График этой функции можно получить из графика функции $y = -\frac{3}{x}$ путем сдвига вверх на 1 единицу вдоль оси Oy.

Графиком является гипербола. Для базовой функции $y = -\frac{3}{x}$ коэффициент $k=-3 < 0$, поэтому ветви расположены во II и IV четвертях относительно своих асимптот.

Асимптоты графика:

• Вертикальная асимптота: $x = 0$ (ось Oy).
• Горизонтальная асимптота: $y = 1$.

Найдем точку пересечения с осью Ox ($y=0$): $0 = 1 - \frac{3}{x} \implies \frac{3}{x} = 1 \implies x = 3$. Точка (3; 0).

Составим таблицу значений для построения графика:

Область определения:

Функция определена для всех значений $x$, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль.

$x \neq 0$.

Следовательно, область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Множество значений:

Выразим $x$ через $y$: $y-1 = -\frac{3}{x} \implies x = -\frac{3}{y-1} = \frac{3}{1-y}$.

Знаменатель не может быть равен нулю: $1-y \neq 0 \implies y \neq 1$.

Множество значений: $E(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

Промежутки монотонности:

Найдем производную функции: $y' = (1 - 3x^{-1})' = 0 - 3 \cdot (-1)x^{-2} = \frac{3}{x^2}$.

Так как $x^2 > 0$ для всех $x$ из области определения, то $y' > 0$.

Следовательно, функция возрастает на всей области определения.

Промежутки возрастания: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

Ответ:

Область определения: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Множество значений: $(-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

Промежутки монотонности: функция возрастает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

584. Преобразовать дробно-линейную функцию, выделив целую часть:

1) $y = \frac{x+5}{x+3}$;

2) $y = \frac{x-7}{x-1}$;

3) $y = \frac{3x+1}{x+4}$;

4) $y = \frac{5x-27}{x-6}$.

1) Чтобы выделить целую часть в дроби $y = \frac{x+5}{x+3}$, представим числитель $x+5$ таким образом, чтобы он содержал знаменатель $x+3$. Для этого можно записать $x+5$ как $(x+3)+2$.

Тогда функция примет вид:

$y = \frac{(x+3)+2}{x+3}$

Теперь разделим почленно числитель на знаменатель:

$y = \frac{x+3}{x+3} + \frac{2}{x+3} = 1 + \frac{2}{x+3}$

Целая часть равна 1.

Ответ: $y = 1 + \frac{2}{x+3}$

2) Для функции $y = \frac{x-7}{x-1}$ проделаем аналогичную операцию. Выделим в числителе $x-7$ выражение, равное знаменателю $x-1$. Для этого запишем $x-7$ как $(x-1)-6$.

Подставим в исходную функцию:

$y = \frac{(x-1)-6}{x-1}$

Разделим почленно:

$y = \frac{x-1}{x-1} - \frac{6}{x-1} = 1 - \frac{6}{x-1}$

Целая часть равна 1.

Ответ: $y = 1 - \frac{6}{x-1}$

3) В функции $y = \frac{3x+1}{x+4}$ коэффициент при $x$ в числителе равен 3. Чтобы выделить целую часть, нам нужно получить в числителе выражение, кратное знаменателю, т.е. $3(x+4)$.

$3(x+4) = 3x+12$.

Теперь представим числитель $3x+1$ через это выражение: $3x+1 = (3x+12) - 11 = 3(x+4) - 11$.

Подставим это в исходную функцию:

$y = \frac{3(x+4) - 11}{x+4}$

Разделим почленно:

$y = \frac{3(x+4)}{x+4} - \frac{11}{x+4} = 3 - \frac{11}{x+4}$

Целая часть равна 3.

Ответ: $y = 3 - \frac{11}{x+4}$

4) Для функции $y = \frac{5x-27}{x-6}$ действуем аналогично. Коэффициент при $x$ в числителе равен 5. Значит, нам нужно выделить выражение $5(x-6)$.

$5(x-6) = 5x-30$.

Представим числитель $5x-27$ через полученное выражение: $5x-27 = (5x-30) + 3 = 5(x-6) + 3$.

Подставим в функцию:

$y = \frac{5(x-6) + 3}{x-6}$

Разделим почленно:

$y = \frac{5(x-6)}{x-6} + \frac{3}{x-6} = 5 + \frac{3}{x-6}$

Целая часть равна 5.

Ответ: $y = 5 + \frac{3}{x-6}$

585. Не выполняя построения графика функции, найти его горизонтальную и вертикальную асимптоты:

1) $y = \frac{2x + 2}{x - 1}$;

2) $y = \frac{1 - 2x}{5 - x}$.

1) $y = \frac{2x+2}{x-1}$

Для нахождения асимптот графика функции проанализируем ее поведение в точках разрыва и на бесконечности.

Вертикальная асимптота

Вертикальные асимптоты могут существовать в точках, где функция не определена. Для данной дробно-рациональной функции это точки, в которых знаменатель обращается в ноль.

Найдем корень знаменателя:
$x - 1 = 0$
$x = 1$

Теперь необходимо убедиться, что при $x=1$ числитель не равен нулю, иначе это будет точка устранимого разрыва, а не асимптота.
Подставим $x=1$ в числитель:
$2(1) + 2 = 4$

Поскольку при $x=1$ знаменатель равен нулю, а числитель не равен нулю ($4 \ne 0$), прямая $x=1$ является вертикальной асимптотой графика функции.

Горизонтальная асимптота

Горизонтальная асимптота описывает поведение функции при стремлении $x$ к $+\infty$ и $-\infty$. Для ее нахождения нужно вычислить предел функции при $x \to \infty$.

$ \lim_{x \to \infty} \frac{2x+2}{x-1} $

Так как степени многочленов в числителе и знаменателе равны (обе равны 1), предел равен отношению коэффициентов при старших степенях $x$.
$ y = \frac{2}{1} = 2 $

Можно также найти предел, разделив числитель и знаменатель на $x$ в старшей степени:
$ \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2x}{x} + \frac{2}{x}}{\frac{x}{x} - \frac{1}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{2}{x}}{1 - \frac{1}{x}} = \frac{2+0}{1-0} = 2 $

Следовательно, прямая $y=2$ является горизонтальной асимптотой.

Ответ: вертикальная асимптота $x=1$, горизонтальная асимптота $y=2$.

2) $y = \frac{1-2x}{5-x}$

Вертикальная асимптота

Найдем точки, в которых знаменатель равен нулю:
$5 - x = 0$
$x = 5$

Проверим значение числителя при $x=5$:
$1 - 2(5) = 1 - 10 = -9$

Так как при $x=5$ знаменатель равен нулю, а числитель не равен нулю ($-9 \ne 0$), прямая $x=5$ является вертикальной асимптотой.

Горизонтальная асимптота

Найдем предел функции при $x \to \infty$:
$ \lim_{x \to \infty} \frac{1-2x}{5-x} $

Степени числителя и знаменателя равны 1. Предел равен отношению коэффициентов при старших степенях $x$. Коэффициент при $x$ в числителе равен -2, а в знаменателе -1.
$ y = \frac{-2}{-1} = 2 $

Вычислим предел формально, разделив на $x$:
$ \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{2x}{x}}{\frac{5}{x} - \frac{x}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - 2}{\frac{5}{x} - 1} = \frac{0-2}{0-1} = 2 $

Таким образом, прямая $y=2$ является горизонтальной асимптотой.

Ответ: вертикальная асимптота $x=5$, горизонтальная асимптота $y=2$.

586. Построить график функции:

1) $y = \frac{2x+3}{x-1}$; 2) $y = \frac{1-2x}{4-x}$; 3) $y = \frac{4x+1}{x-2}$; 4) $y = \frac{2+4x}{x+2}$.

1) Рассмотрим функцию $y = \frac{2x+3}{x-1}$. Это дробно-линейная функция, графиком которой является гипербола. Для построения графика преобразуем выражение, выделив целую часть. Для этого в числителе искусственно создадим выражение, равное знаменателю:
$y = \frac{2x-2+2+3}{x-1} = \frac{2(x-1) + 5}{x-1} = \frac{2(x-1)}{x-1} + \frac{5}{x-1} = 2 + \frac{5}{x-1}$.
Этот вид показывает, что график данной функции получается из графика функции $y = \frac{5}{x}$ путем следующих преобразований: сдвиг на 1 единицу вправо вдоль оси Ox и сдвиг на 2 единицы вверх вдоль оси Oy.
Найдем асимптоты графика:
Вертикальная асимптота определяется из условия, что знаменатель равен нулю: $x-1=0$, следовательно, $x=1$.
Горизонтальная асимптота: $y=2$.
Найдем точки пересечения графика с осями координат:
С осью Oy (при $x=0$): $y = \frac{2 \cdot 0 + 3}{0 - 1} = -3$. Точка пересечения — $(0, -3)$.
С осью Ox (при $y=0$): $0 = \frac{2x+3}{x-1}$, отсюда $2x+3=0$, $x = -1.5$. Точка пересечения — $(-1.5, 0)$.
Так как коэффициент при дроби (5) положительный, ветви гиперболы располагаются в первой и третьей координатных четвертях относительно нового центра $(1, 2)$.
Ответ: График функции – гипербола с центром в точке $(1, 2)$. Вертикальная асимптота: $x=1$. Горизонтальная асимптота: $y=2$. График проходит через точки $(0, -3)$ и $(-1.5, 0)$.

2) Рассмотрим функцию $y = \frac{1-2x}{4-x}$. Преобразуем ее для удобства: $y = \frac{-(2x-1)}{-(x-4)} = \frac{2x-1}{x-4}$.
Выделим целую часть:
$y = \frac{2x-8+8-1}{x-4} = \frac{2(x-4) + 7}{x-4} = \frac{2(x-4)}{x-4} + \frac{7}{x-4} = 2 + \frac{7}{x-4}$.
График данной функции получается из графика $y = \frac{7}{x}$ сдвигом на 4 единицы вправо вдоль оси Ox и на 2 единицы вверх вдоль оси Oy.
Найдем асимптоты графика:
Вертикальная асимптота: $x-4=0$, следовательно, $x=4$.
Горизонтальная асимптота: $y=2$.
Найдем точки пересечения графика с осями координат:
С осью Oy (при $x=0$): $y = \frac{1-2 \cdot 0}{4-0} = \frac{1}{4}$. Точка пересечения — $(0, 0.25)$.
С осью Ox (при $y=0$): $0 = \frac{1-2x}{4-x}$, отсюда $1-2x=0$, $x=0.5$. Точка пересечения — $(0.5, 0)$.
Так как коэффициент при дроби (7) положительный, ветви гиперболы располагаются в первой и третьей координатных четвертях относительно нового центра $(4, 2)$.
Ответ: График функции – гипербола с центром в точке $(4, 2)$. Вертикальная асимптота: $x=4$. Горизонтальная асимптота: $y=2$. График проходит через точки $(0, 0.25)$ и $(0.5, 0)$.

3) Рассмотрим функцию $y = \frac{4x+1}{x-2}$.
Выделим целую часть:
$y = \frac{4x-8+8+1}{x-2} = \frac{4(x-2) + 9}{x-2} = \frac{4(x-2)}{x-2} + \frac{9}{x-2} = 4 + \frac{9}{x-2}$.
График данной функции получается из графика $y = \frac{9}{x}$ сдвигом на 2 единицы вправо вдоль оси Ox и на 4 единицы вверх вдоль оси Oy.
Найдем асимптоты графика:
Вертикальная асимптота: $x-2=0$, следовательно, $x=2$.
Горизонтальная асимптота: $y=4$.
Найдем точки пересечения графика с осями координат:
С осью Oy (при $x=0$): $y = \frac{4 \cdot 0 + 1}{0 - 2} = -\frac{1}{2} = -0.5$. Точка пересечения — $(0, -0.5)$.
С осью Ox (при $y=0$): $0 = \frac{4x+1}{x-2}$, отсюда $4x+1=0$, $x = -0.25$. Точка пересечения — $(-0.25, 0)$.
Так как коэффициент при дроби (9) положительный, ветви гиперболы располагаются в первой и третьей координатных четвертях относительно нового центра $(2, 4)$.
Ответ: График функции – гипербола с центром в точке $(2, 4)$. Вертикальная асимптота: $x=2$. Горизонтальная асимптота: $y=4$. График проходит через точки $(0, -0.5)$ и $(-0.25, 0)$.

4) Рассмотрим функцию $y = \frac{2+4x}{x+2}$.
Выделим целую часть:
$y = \frac{4x+2}{x+2} = \frac{4x+8-8+2}{x+2} = \frac{4(x+2) - 6}{x+2} = \frac{4(x+2)}{x+2} - \frac{6}{x+2} = 4 - \frac{6}{x+2}$.
График данной функции получается из графика $y = -\frac{6}{x}$ сдвигом на 2 единицы влево вдоль оси Ox и на 4 единицы вверх вдоль оси Oy.
Найдем асимптоты графика:
Вертикальная асимптота: $x+2=0$, следовательно, $x=-2$.
Горизонтальная асимптота: $y=4$.
Найдем точки пересечения графика с осями координат:
С осью Oy (при $x=0$): $y = \frac{2+4 \cdot 0}{0+2} = \frac{2}{2} = 1$. Точка пересечения — $(0, 1)$.
С осью Ox (при $y=0$): $0 = \frac{2+4x}{x+2}$, отсюда $2+4x=0$, $x = -0.5$. Точка пересечения — $(-0.5, 0)$.
Так как коэффициент при дроби (-6) отрицательный, ветви гиперболы располагаются во второй и четвертой координатных четвертях относительно нового центра $(-2, 4)$.
Ответ: График функции – гипербола с центром в точке $(-2, 4)$. Вертикальная асимптота: $x=-2$. Горизонтальная асимптота: $y=4$. График проходит через точки $(0, 1)$ и $(-0.5, 0)$.