Номер 586, страница 194 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

586. Построить график функции:

1) $y = \frac{2x+3}{x-1}$; 2) $y = \frac{1-2x}{4-x}$; 3) $y = \frac{4x+1}{x-2}$; 4) $y = \frac{2+4x}{x+2}$.

1) Рассмотрим функцию $y = \frac{2x+3}{x-1}$. Это дробно-линейная функция, графиком которой является гипербола. Для построения графика преобразуем выражение, выделив целую часть. Для этого в числителе искусственно создадим выражение, равное знаменателю:
$y = \frac{2x-2+2+3}{x-1} = \frac{2(x-1) + 5}{x-1} = \frac{2(x-1)}{x-1} + \frac{5}{x-1} = 2 + \frac{5}{x-1}$.
Этот вид показывает, что график данной функции получается из графика функции $y = \frac{5}{x}$ путем следующих преобразований: сдвиг на 1 единицу вправо вдоль оси Ox и сдвиг на 2 единицы вверх вдоль оси Oy.
Найдем асимптоты графика:
Вертикальная асимптота определяется из условия, что знаменатель равен нулю: $x-1=0$, следовательно, $x=1$.
Горизонтальная асимптота: $y=2$.
Найдем точки пересечения графика с осями координат:
С осью Oy (при $x=0$): $y = \frac{2 \cdot 0 + 3}{0 - 1} = -3$. Точка пересечения — $(0, -3)$.
С осью Ox (при $y=0$): $0 = \frac{2x+3}{x-1}$, отсюда $2x+3=0$, $x = -1.5$. Точка пересечения — $(-1.5, 0)$.
Так как коэффициент при дроби (5) положительный, ветви гиперболы располагаются в первой и третьей координатных четвертях относительно нового центра $(1, 2)$.
Ответ: График функции – гипербола с центром в точке $(1, 2)$. Вертикальная асимптота: $x=1$. Горизонтальная асимптота: $y=2$. График проходит через точки $(0, -3)$ и $(-1.5, 0)$.

2) Рассмотрим функцию $y = \frac{1-2x}{4-x}$. Преобразуем ее для удобства: $y = \frac{-(2x-1)}{-(x-4)} = \frac{2x-1}{x-4}$.
Выделим целую часть:
$y = \frac{2x-8+8-1}{x-4} = \frac{2(x-4) + 7}{x-4} = \frac{2(x-4)}{x-4} + \frac{7}{x-4} = 2 + \frac{7}{x-4}$.
График данной функции получается из графика $y = \frac{7}{x}$ сдвигом на 4 единицы вправо вдоль оси Ox и на 2 единицы вверх вдоль оси Oy.
Найдем асимптоты графика:
Вертикальная асимптота: $x-4=0$, следовательно, $x=4$.
Горизонтальная асимптота: $y=2$.
Найдем точки пересечения графика с осями координат:
С осью Oy (при $x=0$): $y = \frac{1-2 \cdot 0}{4-0} = \frac{1}{4}$. Точка пересечения — $(0, 0.25)$.
С осью Ox (при $y=0$): $0 = \frac{1-2x}{4-x}$, отсюда $1-2x=0$, $x=0.5$. Точка пересечения — $(0.5, 0)$.
Так как коэффициент при дроби (7) положительный, ветви гиперболы располагаются в первой и третьей координатных четвертях относительно нового центра $(4, 2)$.
Ответ: График функции – гипербола с центром в точке $(4, 2)$. Вертикальная асимптота: $x=4$. Горизонтальная асимптота: $y=2$. График проходит через точки $(0, 0.25)$ и $(0.5, 0)$.

3) Рассмотрим функцию $y = \frac{4x+1}{x-2}$.
Выделим целую часть:
$y = \frac{4x-8+8+1}{x-2} = \frac{4(x-2) + 9}{x-2} = \frac{4(x-2)}{x-2} + \frac{9}{x-2} = 4 + \frac{9}{x-2}$.
График данной функции получается из графика $y = \frac{9}{x}$ сдвигом на 2 единицы вправо вдоль оси Ox и на 4 единицы вверх вдоль оси Oy.
Найдем асимптоты графика:
Вертикальная асимптота: $x-2=0$, следовательно, $x=2$.
Горизонтальная асимптота: $y=4$.
Найдем точки пересечения графика с осями координат:
С осью Oy (при $x=0$): $y = \frac{4 \cdot 0 + 1}{0 - 2} = -\frac{1}{2} = -0.5$. Точка пересечения — $(0, -0.5)$.
С осью Ox (при $y=0$): $0 = \frac{4x+1}{x-2}$, отсюда $4x+1=0$, $x = -0.25$. Точка пересечения — $(-0.25, 0)$.
Так как коэффициент при дроби (9) положительный, ветви гиперболы располагаются в первой и третьей координатных четвертях относительно нового центра $(2, 4)$.
Ответ: График функции – гипербола с центром в точке $(2, 4)$. Вертикальная асимптота: $x=2$. Горизонтальная асимптота: $y=4$. График проходит через точки $(0, -0.5)$ и $(-0.25, 0)$.

4) Рассмотрим функцию $y = \frac{2+4x}{x+2}$.
Выделим целую часть:
$y = \frac{4x+2}{x+2} = \frac{4x+8-8+2}{x+2} = \frac{4(x+2) - 6}{x+2} = \frac{4(x+2)}{x+2} - \frac{6}{x+2} = 4 - \frac{6}{x+2}$.
График данной функции получается из графика $y = -\frac{6}{x}$ сдвигом на 2 единицы влево вдоль оси Ox и на 4 единицы вверх вдоль оси Oy.
Найдем асимптоты графика:
Вертикальная асимптота: $x+2=0$, следовательно, $x=-2$.
Горизонтальная асимптота: $y=4$.
Найдем точки пересечения графика с осями координат:
С осью Oy (при $x=0$): $y = \frac{2+4 \cdot 0}{0+2} = \frac{2}{2} = 1$. Точка пересечения — $(0, 1)$.
С осью Ox (при $y=0$): $0 = \frac{2+4x}{x+2}$, отсюда $2+4x=0$, $x = -0.5$. Точка пересечения — $(-0.5, 0)$.
Так как коэффициент при дроби (-6) отрицательный, ветви гиперболы располагаются во второй и четвертой координатных четвертях относительно нового центра $(-2, 4)$.
Ответ: График функции – гипербола с центром в точке $(-2, 4)$. Вертикальная асимптота: $x=-2$. Горизонтальная асимптота: $y=4$. График проходит через точки $(0, 1)$ и $(-0.5, 0)$.