Номер 589, страница 200 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

589. Выяснить, равносильны ли неравенства:

1) $2x - 1 \ge 2$ и $2(x - 1) \ge 1$;

2) $(x - 1)(x + 2) < 0$ и $x^2 + x < 2$;

3) $(x - 3)(x + 2) < 3x + 6$ и $x - 3 < 3$;

4) $x(x + 3) \ge 2x$ и $x^2(x + 3) \ge 2x^2$.

1) $2x - 1 \ge 2$ и $2(x - 1) \ge 1$
Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают. Решим каждое неравенство и сравним их решения.
Решим первое неравенство:
$2x - 1 \ge 2$
$2x \ge 2 + 1$
$2x \ge 3$
$x \ge \frac{3}{2}$
Множество решений этого неравенства: $[\frac{3}{2}; +\infty)$.
Теперь решим второе неравенство:
$2(x - 1) \ge 1$
$2x - 2 \ge 1$
$2x \ge 1 + 2$
$2x \ge 3$
$x \ge \frac{3}{2}$
Множество решений этого неравенства: $[\frac{3}{2}; +\infty)$.
Так как множества решений обоих неравенств совпадают, они являются равносильными.
Ответ: равносильны.

2) $(x - 1)(x + 2) < 0$ и $x^2 + x < 2$
Решим первое неравенство $(x - 1)(x + 2) < 0$.
Это квадратичное неравенство. Корни соответствующего уравнения $(x - 1)(x + 2) = 0$ равны $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$. Графиком функции $y = (x - 1)(x + 2)$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, значения функции отрицательны между корнями.
Множество решений первого неравенства: $(-2; 1)$.
Решим второе неравенство:
$x^2 + x < 2$
$x^2 + x - 2 < 0$
Найдем корни уравнения $x^2 + x - 2 = 0$. Используя теорему Виета, получаем корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$. Графиком функции $y = x^2 + x - 2$ также является парабола с ветвями вверх.
Множество решений второго неравенства: $(-2; 1)$.
Множества решений совпадают. Заметим, что второе неравенство получается из первого путем раскрытия скобок, что является равносильным преобразованием: $(x-1)(x+2) = x^2+2x-x-2 = x^2+x-2$. Таким образом, неравенство $(x - 1)(x + 2) < 0$ эквивалентно $x^2+x-2<0$, что, в свою очередь, эквивалентно $x^2+x<2$.
Ответ: равносильны.

3) $(x - 3)(x + 2) < 3x + 6$ и $x - 3 < 3$
Решим первое неравенство:
$(x - 3)(x + 2) < 3x + 6$
$x^2 + 2x - 3x - 6 < 3x + 6$
$x^2 - x - 6 < 3x + 6$
$x^2 - 4x - 12 < 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - 4x - 12 = 0$. По теореме Виета $x_1 = 6$ и $x_2 = -2$. Это парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется на интервале между корнями.
Множество решений первого неравенства: $(-2; 6)$.
Решим второе неравенство:
$x - 3 < 3$
$x < 6$
Множество решений второго неравенства: $(-\infty; 6)$.
Множества решений $(-2; 6)$ и $(-\infty; 6)$ не совпадают. Например, число $x=-5$ является решением второго неравенства ($ -5 < 6$), но не является решением первого (при $x=-5$ получаем $(-5-3)(-5+2)=(-8)(-3)=24$, а $3(-5)+6 = -9$, и $24 < -9$ неверно).
Ответ: не равносильны.

4) $x(x + 3) \ge 2x$ и $x^2(x + 3) \ge 2x^2$
Решим первое неравенство:
$x(x + 3) \ge 2x$
$x^2 + 3x - 2x \ge 0$
$x^2 + x \ge 0$
$x(x + 1) \ge 0$
Корни уравнения $x(x + 1) = 0$ это $x_1=0$ и $x_2=-1$. График $y = x^2 + x$ — парабола с ветвями вверх. Неравенство выполняется на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[0; +\infty)$.
Множество решений первого неравенства: $(-\infty; -1] \cup [0; +\infty)$.
Решим второе неравенство:
$x^2(x + 3) \ge 2x^2$
$x^2(x + 3) - 2x^2 \ge 0$
$x^2(x + 3 - 2) \ge 0$
$x^2(x + 1) \ge 0$
Множитель $x^2$ всегда неотрицателен ($x^2 \ge 0$).
Если $x = 0$, неравенство принимает вид $0 \ge 0$, что верно. Значит, $x=0$ — решение.
Если $x \ne 0$, то $x^2 > 0$. Можно разделить обе части неравенства на $x^2$, не меняя знака:
$x + 1 \ge 0$
$x \ge -1$
С учетом условия $x \ne 0$, получаем $[-1; 0) \cup (0; +\infty)$.
Объединяя оба случая ($x=0$ и $x \ne 0$), получаем множество решений второго неравенства: $[-1; +\infty)$.
Множества решений $(-\infty; -1] \cup [0; +\infty)$ и $[-1; +\infty)$ не совпадают. Например, $x=-2$ является решением первого неравенства, но не второго. А $x=-0.5$ является решением второго, но не первого.
Ответ: не равносильны.