Номер 594, страница 201 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Выяснить, равносильны ли уравнения (594–595).

594.

1) $|3x - 1| = 5$ и $3x - 1 = 5$;

2) $\frac{3x - 2}{3} - \frac{4 - x}{2} - \frac{3x - 5}{6} = 2x - 2$ и $2x + 3 = \frac{10}{3}$.

1)

Два уравнения называются равносильными, если множества их корней совпадают. Чтобы выяснить, равносильны ли данные уравнения, найдем корни каждого из них.

Решим первое уравнение: $|3x - 1| = 5$.
По определению модуля, это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$3x - 1 = 5$ или $3x - 1 = -5$.

Решаем первое уравнение из совокупности:
$3x = 5 + 1$
$3x = 6$
$x_1 = 2$

Решаем второе уравнение из совокупности:
$3x = -5 + 1$
$3x = -4$
$x_2 = -\frac{4}{3}$

Таким образом, множество корней первого уравнения: $\{2; -\frac{4}{3}\}$.

Теперь решим второе уравнение: $3x - 1 = 5$.
$3x = 5 + 1$
$3x = 6$
$x = 2$

Множество корней второго уравнения: $\{2\}$.

Сравнивая множества решений $\{2; -\frac{4}{3}\}$ и $\{2\}$, мы видим, что они не совпадают. Следовательно, уравнения не являются равносильными.

Ответ: уравнения не равносильны.

2)

Аналогично предыдущему пункту, найдем корни каждого уравнения.

Решим первое уравнение: $\frac{3x-2}{3} - \frac{4-x}{2} - \frac{3x-5}{6} = 2x-2$.
Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю 6:

$\frac{2(3x-2)}{6} - \frac{3(4-x)}{6} - \frac{3x-5}{6} = 2x-2$

$\frac{2(3x-2) - 3(4-x) - (3x-5)}{6} = 2x-2$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{6x-4 - 12+3x - 3x+5}{6} = 2x-2$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{6x - 11}{6} = 2x-2$

Умножим обе части уравнения на 6:

$6x - 11 = 6(2x-2)$
$6x - 11 = 12x - 12$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а свободные члены — в левую:

$12 - 11 = 12x - 6x$
$1 = 6x$
$x = \frac{1}{6}$

Корень первого уравнения: $x = \frac{1}{6}$.

Теперь решим второе уравнение: $2x+3=\frac{10}{3}$.
Вычтем 3 из обеих частей уравнения:

$2x = \frac{10}{3} - 3$
$2x = \frac{10}{3} - \frac{9}{3}$
$2x = \frac{1}{3}$

Разделим обе части на 2:

$x = \frac{1}{3 \cdot 2}$
$x = \frac{1}{6}$

Корень второго уравнения также равен $x = \frac{1}{6}$.

Поскольку множества решений обоих уравнений совпадают (каждое содержит единственный корень $x = \frac{1}{6}$), уравнения являются равносильными.

Ответ: уравнения равносильны.