Номер 595, страница 201 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

595. 1) $x(x-1)=2x+5$ и $x^2-3x-5=0;$

2) $\sqrt{x+8}=2$ и $x+8=4.$

1) Чтобы определить, являются ли уравнения $x(x - 1) = 2x + 5$ и $x^2 - 3x - 5 = 0$ равносильными (эквивалентными), нужно сравнить их множества решений. Два уравнения равносильны, если каждое решение первого уравнения является решением второго, и наоборот.

Выполним тождественные преобразования первого уравнения, чтобы привести его к стандартному виду квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

Исходное первое уравнение:

$x(x - 1) = 2x + 5$

Раскроем скобки в левой части:

$x^2 - x = 2x + 5$

Перенесем все члены из правой части в левую с противоположным знаком:

$x^2 - x - 2x - 5 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 3x - 5 = 0$

В результате преобразований мы получили уравнение, которое в точности совпадает со вторым данным уравнением. Поскольку все выполненные преобразования (раскрытие скобок, перенос слагаемых) являются равносильными, исходные уравнения имеют одинаковые множества решений.

Ответ: Да, данные уравнения равносильны, так как первое уравнение с помощью равносильных преобразований приводится ко второму.

2) Проверим равносильность уравнений $\sqrt{x + 8} = 2$ и $x + 8 = 4$. Для этого найдем решения каждого из них и сравним множества решений.

Решим первое уравнение: $\sqrt{x + 8} = 2$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x + 8 \ge 0$, откуда $x \ge -8$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от знака корня. Это преобразование будет равносильным, так как правая часть уравнения ($2$) является неотрицательным числом.

$(\sqrt{x + 8})^2 = 2^2$

$x + 8 = 4$

Найдем $x$:

$x = 4 - 8$

$x = -4$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ ($x \ge -8$). Так как $-4 \ge -8$, корень подходит. Таким образом, первое уравнение имеет единственное решение $x = -4$.

Теперь решим второе уравнение: $x + 8 = 4$.

Это простое линейное уравнение. Найдем $x$:

$x = 4 - 8$

$x = -4$

Второе уравнение также имеет единственное решение $x = -4$.

Так как множества решений обоих уравнений совпадают (оба содержат только число $-4$), эти уравнения являются равносильными.

Ответ: Да, данные уравнения равносильны, так как они имеют один и тот же корень $x = -4$.