Номер 599, страница 201 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

599. Решить неравенство:

1) $x^3 - 3x^2 + 2x - 6 > 2x^3 - x^2 + 4x - 2;$

2) $x^3 - 3x^2 - 4x + 12 > -3x^3 + x^2 + 12x - 4.$

1)

Исходное неравенство: $x^3 - 3x^2 + 2x - 6 > 2x^3 - x^2 + 4x - 2$.
Перенесем все члены из левой части неравенства в правую, чтобы сгруппировать их:
$0 > 2x^3 - x^2 + 4x - 2 - (x^3 - 3x^2 + 2x - 6)$
$0 > 2x^3 - x^2 + 4x - 2 - x^3 + 3x^2 - 2x + 6$
Приведем подобные слагаемые в правой части:
$0 > (2x^3 - x^3) + (-x^2 + 3x^2) + (4x - 2x) + (-2 + 6)$
$0 > x^3 + 2x^2 + 2x + 4$
Это неравенство равносильно следующему:
$x^3 + 2x^2 + 2x + 4 < 0$
Разложим левую часть на множители методом группировки:
$(x^3 + 2x^2) + (2x + 4) < 0$
Вынесем общие множители из каждой группы:
$x^2(x + 2) + 2(x + 2) < 0$
Вынесем общий множитель $(x + 2)$:
$(x + 2)(x^2 + 2) < 0$
Проанализируем знаки множителей. Выражение $x^2$ всегда неотрицательно, то есть $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$. Следовательно, множитель $x^2 + 2$ всегда строго положителен, так как $x^2 + 2 \ge 2$.
Поскольку один из множителей ($x^2 + 2$) всегда положителен, знак всего произведения зависит только от знака второго множителя ($x + 2$).
Таким образом, неравенство сводится к более простому:
$x + 2 < 0$
$x < -2$
Решением является открытый луч $(-\infty; -2)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2)$.

2)

Исходное неравенство: $x^3 - 3x^2 - 4x + 12 > -3x^3 + x^2 + 12x - 4$.
Перенесем все члены из правой части неравенства в левую:
$x^3 - 3x^2 - 4x + 12 - (-3x^3 + x^2 + 12x - 4) > 0$
$x^3 - 3x^2 - 4x + 12 + 3x^3 - x^2 - 12x + 4 > 0$
Приведем подобные слагаемые:
$(x^3 + 3x^3) + (-3x^2 - x^2) + (-4x - 12x) + (12 + 4) > 0$
$4x^3 - 4x^2 - 16x + 16 > 0$
Разделим обе части неравенства на 4. Так как 4 > 0, знак неравенства не изменится:
$x^3 - x^2 - 4x + 4 > 0$
Разложим левую часть на множители методом группировки:
$(x^3 - x^2) - (4x - 4) > 0$
$x^2(x - 1) - 4(x - 1) > 0$
$(x - 1)(x^2 - 4) > 0$
Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ к множителю $x^2 - 4$:
$(x - 1)(x - 2)(x + 2) > 0$
Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни многочлена в левой части, приравняв его к нулю:
$(x - 1)(x - 2)(x + 2) = 0$
Корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$, $x_3 = -2$.
Отметим эти точки на числовой прямой в порядке возрастания: -2, 1, 2. Они разбивают прямую на четыре интервала: $(-\infty; -2)$, $(-2; 1)$, $(1; 2)$ и $(2; +\infty)$.
Определим знак выражения $(x - 1)(x - 2)(x + 2)$ в каждом интервале.
- В интервале $(2; +\infty)$, например при $x=3$: $(3-1)(3-2)(3+2) = 2 \cdot 1 \cdot 5 = 10 > 0$. Знак «+».
- В интервале $(1; 2)$, например при $x=1.5$: $(1.5-1)(1.5-2)(1.5+2) = 0.5 \cdot (-0.5) \cdot 3.5 < 0$. Знак «-».
- В интервале $(-2; 1)$, например при $x=0$: $(0-1)(0-2)(0+2) = (-1) \cdot (-2) \cdot 2 = 4 > 0$. Знак «+».
- В интервале $(-\infty; -2)$, например при $x=-3$: $(-3-1)(-3-2)(-3+2) = (-4) \cdot (-5) \cdot (-1) = -20 < 0$. Знак «-».
Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля (знак «+»). Это интервалы $(-2; 1)$ и $(2; +\infty)$.
Объединение этих интервалов является решением неравенства.

Ответ: $x \in (-2; 1) \cup (2; +\infty)$.