Номер 597, страница 201 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

597. Решить уравнение $\frac{1}{5x+1} - \frac{2}{5x-1} - \frac{9x}{25x^2-1} = \frac{5x^2}{1-25x^2}$

Исходное уравнение:

$\frac{1}{5x+1} - \frac{2}{5x-1} - \frac{9x}{25x^2-1} = \frac{5x^2}{1-25x^2}$

В первую очередь определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Знаменатели дробей в уравнении не должны равняться нулю.

$5x+1 \ne 0 \implies 5x \ne -1 \implies x \ne -\frac{1}{5}$

$5x-1 \ne 0 \implies 5x \ne 1 \implies x \ne \frac{1}{5}$

Знаменатели $25x^2-1$ и $1-25x^2$ также не должны быть равны нулю. Разложим их на множители: $25x^2-1 = (5x-1)(5x+1)$. Это выражение равно нулю при тех же значениях $x$, что и первые два знаменателя. Таким образом, ОДЗ: $x \ne \pm\frac{1}{5}$.

Теперь преобразуем уравнение. Используем формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ для знаменателей. Заметим, что $25x^2-1 = (5x-1)(5x+1)$ и $1-25x^2 = -(25x^2-1) = -(5x-1)(5x+1)$.

Подставим эти выражения в уравнение:

$\frac{1}{5x+1} - \frac{2}{5x-1} - \frac{9x}{(5x-1)(5x+1)} = \frac{5x^2}{-(5x-1)(5x+1)}$

Упростим правую часть:

$\frac{1}{5x+1} - \frac{2}{5x-1} - \frac{9x}{(5x-1)(5x+1)} = -\frac{5x^2}{(5x-1)(5x+1)}$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения, изменив знак у переносимого слагаемого:

$\frac{1}{5x+1} - \frac{2}{5x-1} - \frac{9x}{(5x-1)(5x+1)} + \frac{5x^2}{(5x-1)(5x+1)} = 0$

Приведем дроби к общему знаменателю $(5x-1)(5x+1)$:

$\frac{1 \cdot (5x-1)}{(5x+1)(5x-1)} - \frac{2 \cdot (5x+1)}{(5x-1)(5x+1)} - \frac{9x}{(5x-1)(5x+1)} + \frac{5x^2}{(5x-1)(5x+1)} = 0$

Запишем все под одной дробной чертой:

$\frac{(5x-1) - 2(5x+1) - 9x + 5x^2}{(5x-1)(5x+1)} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Условие неравенства знаменателя нулю мы уже учли в ОДЗ. Приравняем числитель к нулю:

$5x-1 - 2(5x+1) - 9x + 5x^2 = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$5x - 1 - 10x - 2 - 9x + 5x^2 = 0$

$5x^2 + (5x - 10x - 9x) + (-1 - 2) = 0$

$5x^2 - 14x - 3 = 0$

Получили квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-14)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 196 + 60 = 256$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{14 + \sqrt{256}}{2 \cdot 5} = \frac{14 + 16}{10} = \frac{30}{10} = 3$

$x_2 = \frac{14 - \sqrt{256}}{2 \cdot 5} = \frac{14 - 16}{10} = \frac{-2}{10} = -\frac{1}{5}$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ne \pm\frac{1}{5}$).

Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x_2 = -\frac{1}{5}$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении $x$ знаменатели $5x+1$ и $25x^2-1$ обращаются в ноль. Следовательно, $x_2 = -\frac{1}{5}$ является посторонним корнем.

Таким образом, единственным решением уравнения является $x=3$.

Ответ: 3