Номер 598, страница 201 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

598. Найти корни уравнения:

1) $\frac{3}{x-1} - \frac{4x-1}{x+1} = \frac{x^2+5}{x^2-1} - 5;$

2) $\frac{x+2}{x-2} - \frac{x(x-4)}{x^2-4} = \frac{x-2}{x+2} - \frac{4(3+x)}{4-x^2}.$

1) $\frac{3}{x-1} - \frac{4x-1}{x+1} = \frac{x^2+5}{x^2-1} - 5$

Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Знаменатели дробей не могут быть равны нулю.
$x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$
$x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$
$x^2-1 = (x-1)(x+1) \neq 0$, что включает в себя два предыдущих условия.
Таким образом, ОДЗ: $x \neq \pm 1$.

Приведем все члены уравнения к общему знаменателю $x^2-1 = (x-1)(x+1)$.
$\frac{3(x+1)}{(x-1)(x+1)} - \frac{(4x-1)(x-1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{x^2+5}{x^2-1} - \frac{5(x^2-1)}{x^2-1}$

Поскольку знаменатели теперь одинаковы, мы можем приравнять числители.
$3(x+1) - (4x-1)(x-1) = x^2+5 - 5(x^2-1)$

Раскроем скобки и упростим выражение.
$3x+3 - (4x^2 - 4x - x + 1) = x^2+5 - 5x^2+5$
$3x+3 - (4x^2 - 5x + 1) = -4x^2+10$
$3x+3 - 4x^2 + 5x - 1 = -4x^2+10$

Приведем подобные слагаемые.
$-4x^2 + 8x + 2 = -4x^2 + 10$

Прибавим к обеим частям уравнения $4x^2$.
$8x + 2 = 10$
$8x = 10 - 2$
$8x = 8$
$x = 1$

Теперь сравним полученный корень с ОДЗ. Мы определили, что $x \neq 1$. Полученное значение $x=1$ является посторонним корнем, так как оно обращает знаменатель в ноль. Следовательно, у уравнения нет решений.

Ответ: корней нет.

2) $\frac{x+2}{x-2} - \frac{x(x-4)}{x^2-4} = \frac{x-2}{x+2} - \frac{4(3+x)}{4-x^2}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
$x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$
$x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$
$x^2-4 = (x-2)(x+2) \neq 0$
$4-x^2 = -(x^2-4) \neq 0$
ОДЗ: $x \neq \pm 2$.

Преобразуем последний член уравнения, чтобы привести все дроби к общему знаменателю.
$\frac{4(3+x)}{4-x^2} = \frac{4(3+x)}{-(x^2-4)} = -\frac{4(3+x)}{x^2-4}$
Подставим это в исходное уравнение:
$\frac{x+2}{x-2} - \frac{x(x-4)}{x^2-4} = \frac{x-2}{x+2} - (-\frac{4(3+x)}{x^2-4})$
$\frac{x+2}{x-2} - \frac{x(x-4)}{x^2-4} = \frac{x-2}{x+2} + \frac{4(3+x)}{x^2-4}$

Приведем все дроби к общему знаменателю $x^2-4 = (x-2)(x+2)$.
$\frac{(x+2)(x+2)}{x^2-4} - \frac{x(x-4)}{x^2-4} = \frac{(x-2)(x-2)}{x^2-4} + \frac{4(3+x)}{x^2-4}$

Приравняем числители.
$(x+2)^2 - x(x-4) = (x-2)^2 + 4(3+x)$

Раскроем скобки и упростим.
$(x^2+4x+4) - (x^2-4x) = (x^2-4x+4) + (12+4x)$
$x^2+4x+4 - x^2+4x = x^2-4x+4+12+4x$

Приведем подобные слагаемые.
$8x+4 = x^2+16$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение.
$x^2 - 8x + 16 - 4 = 0$
$x^2 - 8x + 12 = 0$

Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 8, а их произведение равно 12. Подходят числа 2 и 6.
$x_1 = 2$, $x_2 = 6$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq \pm 2$).
Корень $x_1=2$ не входит в ОДЗ, поэтому является посторонним.
Корень $x_2=6$ входит в ОДЗ.

Ответ: 6.