Страница 201 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

590. Выяснить, равносильны ли системы уравнений:

1) $\begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ x - y = 2 \end{cases}$ и $\begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ x = 2 + y \end{cases}$

2) $\begin{cases} x - 3y = 8 \\ x^2 - 9y^2 = 72 \end{cases}$ и $\begin{cases} x - 3y = 8 \\ x + 3y = 9 \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 - 2xy + y^2 = 9 \\ x - y = 3 \end{cases}$ и $\begin{cases} (x - y)^2 = 9 \\ x - y = -3 \end{cases}$

4) $\begin{cases} x + 2y = 5 \\ 2x + y = 4 \end{cases}$ и $\begin{cases} -2x + 2y = -10 \\ 2x + y = 4 \end{cases}$

1)

Рассмотрим две системы уравнений:

Первая система: $ \begin{cases} 2x+3y=5 \\ x-y=2 \end{cases} $

Вторая система: $ \begin{cases} 2x+3y=5 \\ x=2+y \end{cases} $

Первые уравнения в обеих системах идентичны. Второе уравнение второй системы $x=2+y$ является равносильным преобразованием второго уравнения первой системы $x-y=2$ (перенос $-y$ в правую часть уравнения с изменением знака). Так как одно из уравнений систем совпадает, а вторые уравнения равносильны, то и сами системы равносильны, то есть имеют одинаковые множества решений.

Для проверки найдем решение систем. Из второго уравнения первой системы выразим $x$: $x=y+2$. Подставим в первое уравнение:

$2(y+2) + 3y = 5$

$2y+4+3y=5$

$5y=1$, откуда $y = \frac{1}{5}$.

Тогда $x = \frac{1}{5}+2 = \frac{11}{5}$.

Решение первой системы: $(\frac{11}{5}; \frac{1}{5})$.

Во второй системе $x$ уже выражен: $x=2+y$. Подставим в первое уравнение:

$2(2+y) + 3y = 5$

$4+2y+3y=5$

$5y=1$, откуда $y=\frac{1}{5}$.

Тогда $x=2+\frac{1}{5} = \frac{11}{5}$.

Решение второй системы также $(\frac{11}{5}; \frac{1}{5})$.

Множества решений обеих систем совпадают.

Ответ: системы равносильны.

2)

Рассмотрим две системы уравнений:

Первая система: $ \begin{cases} x-3y=8 \\ x^2-9y^2=72 \end{cases} $

Вторая система: $ \begin{cases} x-3y=8 \\ x+3y=9 \end{cases} $

Преобразуем второе уравнение первой системы, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$x^2 - 9y^2 = x^2 - (3y)^2 = (x-3y)(x+3y)$

Таким образом, первая система может быть переписана в виде:

$ \begin{cases} x-3y=8 \\ (x-3y)(x+3y)=72 \end{cases} $

Теперь можно подставить значение $(x-3y)$ из первого уравнения во второе:

$8 \cdot (x+3y) = 72$

Разделив обе части уравнения на 8, получим:

$x+3y=9$

В результате такого равносильного преобразования мы получили систему, которая полностью совпадает со второй данной системой:

$ \begin{cases} x-3y=8 \\ x+3y=9 \end{cases} $

Следовательно, исходные системы равносильны.

Ответ: системы равносильны.

3)

Рассмотрим две системы уравнений:

Первая система: $ \begin{cases} x^2-2xy+y^2=9 \\ x-y=3 \end{cases} $

Вторая система: $ \begin{cases} (x-y)^2=9 \\ x-y=-3 \end{cases} $

В первой системе преобразуем первое уравнение, заметив, что левая часть является полным квадратом разности: $x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$.

Тогда первая система равносильна следующей:

$ \begin{cases} (x-y)^2=9 \\ x-y=3 \end{cases} $

Первое уравнение $(x-y)^2=9$ выполняется, если $x-y=3$ или $x-y=-3$. Второе уравнение $x-y=3$ является одним из этих случаев. Таким образом, любое решение системы должно удовлетворять условию $x-y=3$. Множество решений первой системы — это все пары $(x,y)$, для которых $x-y=3$.

Теперь рассмотрим вторую систему:

$ \begin{cases} (x-y)^2=9 \\ x-y=-3 \end{cases} $

Первое уравнение то же самое, но второе уравнение $x-y=-3$ задает другое условие. Множество решений второй системы — это все пары $(x,y)$, для которых $x-y=-3$.

Поскольку множества решений двух систем определяются разными условиями ($x-y=3$ и $x-y=-3$), они не совпадают. Например, пара $(3, 0)$ является решением первой системы, но не второй ($3-0 \ne -3$). А пара $(0, 3)$ является решением второй системы, но не первой ($0-3 \ne 3$).

Ответ: системы не равносильны.

4)

Рассмотрим две системы уравнений:

Первая система: $ \begin{cases} x+2y=5 \\ 2x+y=4 \end{cases} $

Вторая система: $ \begin{cases} -2x+2y=-10 \\ 2x+y=4 \end{cases} $

Чтобы определить, равносильны ли системы, найдем их решения и сравним.

Решим первую систему. Из первого уравнения выразим $x$: $x=5-2y$. Подставим во второе уравнение:

$2(5-2y)+y=4$

$10-4y+y=4$

$10-3y=4$

$-3y = -6$, откуда $y=2$.

Найдем $x$: $x=5-2(2)=1$.

Решение первой системы — пара чисел $(1, 2)$.

Решим вторую систему. Вторые уравнения систем совпадают. Преобразуем первое уравнение второй системы, разделив его на 2: $-x+y=-5$, откуда $y=x-5$. Подставим это выражение во второе уравнение $2x+y=4$:

$2x+(x-5)=4$

$3x-5=4$

$3x=9$, откуда $x=3$.

Найдем $y$: $y=3-5=-2$.

Решение второй системы — пара чисел $(3, -2)$.

Поскольку решения систем — $(1, 2)$ и $(3, -2)$ — различны, множества их решений не совпадают.

Ответ: системы не равносильны.

591. Установить, какое из двух уравнений является следствием другого уравнения:

1) $x-2=0$ и $x^2-5x+6=0$;

2) $\frac{x^2-5x+4}{x-1}=0$ и $x^2-5x+4=0$.

1) Чтобы определить, какое из двух уравнений является следствием другого, необходимо найти множества решений для каждого уравнения и сравнить их. Уравнение $B$ является следствием уравнения $A$, если каждый корень уравнения $A$ также является корнем уравнения $B$ (т.е. множество решений $A$ является подмножеством множества решений $B$).
Рассмотрим первое уравнение: $x - 2 = 0$.
Оно имеет единственный корень: $x = 2$.
Множество его решений: $\{2\}$.
Рассмотрим второе уравнение: $x^2 - 5x + 6 = 0$.
Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью теоремы Виета:
$x_1 + x_2 = 5$
$x_1 \cdot x_2 = 6$
Отсюда корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.
Множество его решений: $\{2, 3\}$.
Сравнивая множества решений, мы видим, что множество решений первого уравнения $\{2\}$ является подмножеством множества решений второго уравнения $\{2, 3\}$. Это означает, что любой корень первого уравнения является корнем второго. Обратное неверно, так как $x = 3$ является корнем второго уравнения, но не является корнем первого.
Следовательно, уравнение $x^2 - 5x + 6 = 0$ является следствием уравнения $x - 2 = 0$.
Ответ: Уравнение $x^2 - 5x + 6 = 0$ является следствием уравнения $x - 2 = 0$.

2) Рассмотрим вторую пару уравнений, используя тот же принцип.
Решим первое уравнение: $\frac{x^2 - 5x + 4}{x - 1} = 0$.
Данное уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} x^2 - 5x + 4 = 0, \\ x - 1 \neq 0. \end{cases}$
Решаем квадратное уравнение $x^2 - 5x + 4 = 0$. По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = 5$
$x_1 \cdot x_2 = 4$
Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.
Теперь применим условие $x - 1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$. Корень $x=1$ является посторонним и должен быть исключен.
Таким образом, единственным решением первого уравнения является $x = 4$.
Множество его решений: $\{4\}$.
Решим второе уравнение: $x^2 - 5x + 4 = 0$.
Как мы уже выяснили, его корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.
Множество его решений: $\{1, 4\}$.
Сравнивая множества решений, мы видим, что множество решений первого уравнения $\{4\}$ является подмножеством множества решений второго уравнения $\{1, 4\}$. Корень первого уравнения является корнем второго. Обратное неверно, так как $x = 1$ является корнем второго уравнения, но не удовлетворяет области определения первого.
Следовательно, уравнение $x^2 - 5x + 4 = 0$ является следствием уравнения $\frac{x^2 - 5x + 4}{x - 1} = 0$.
Ответ: Уравнение $x^2 - 5x + 4 = 0$ является следствием уравнения $\frac{x^2 - 5x + 4}{x - 1} = 0$.

592. Решить уравнение:

1) $ \frac{2x}{x+1} + \frac{3x}{x-1} = \frac{6x}{x^2-1}; $

2) $ \frac{x-1}{x-2} - \frac{2}{x} = \frac{1}{x-2}; $

3) $ (x-3)(x-5) = 3(x-5); $

4) $ (x-2)(x^2+1) = 2(x^2+1). $

1) $\frac{2x}{x+1} + \frac{3x}{x-1} = \frac{6x}{x^2-1}$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:
$x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$
$x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$
$x^2-1 = (x-1)(x+1) \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$ и $x \neq -1$.
Итак, ОДЗ: $x \neq \pm 1$.

Приведем все дроби к общему знаменателю $x^2-1 = (x-1)(x+1)$. Для этого умножим обе части уравнения на $(x^2-1)$:
$\frac{2x(x-1)}{x^2-1} + \frac{3x(x+1)}{x^2-1} = \frac{6x}{x^2-1}$
Умножив на общий знаменатель, получим:
$2x(x-1) + 3x(x+1) = 6x$

Раскроем скобки и упростим выражение:
$2x^2 - 2x + 3x^2 + 3x = 6x$
$5x^2 + x = 6x$

Перенесем все члены в левую часть и решим полученное уравнение:
$5x^2 + x - 6x = 0$
$5x^2 - 5x = 0$
Вынесем общий множитель $5x$ за скобки:
$5x(x-1) = 0$

Отсюда получаем два возможных корня:
$5x = 0 \Rightarrow x_1 = 0$
$x-1 = 0 \Rightarrow x_2 = 1$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ.
Корень $x_1 = 0$ удовлетворяет условию $x \neq \pm 1$.
Корень $x_2 = 1$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при $x=1$ знаменатель обращается в ноль. Следовательно, это посторонний корень.

Ответ: $0$.

2) $\frac{x-1}{x-2} - \frac{2}{x} = \frac{1}{x-2}$

Определим ОДЗ. Знаменатели не могут быть равны нулю:
$x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$
$x \neq 0$
Итак, ОДЗ: $x \neq 0$ и $x \neq 2$.

Перенесем член $\frac{1}{x-2}$ в левую часть уравнения:
$\frac{x-1}{x-2} - \frac{1}{x-2} - \frac{2}{x} = 0$

Сгруппируем дроби с одинаковыми знаменателями:
$\frac{(x-1)-1}{x-2} - \frac{2}{x} = 0$
$\frac{x-2}{x-2} - \frac{2}{x} = 0$

Поскольку в ОДЗ $x \neq 2$, то дробь $\frac{x-2}{x-2}$ равна 1:
$1 - \frac{2}{x} = 0$

Решим полученное уравнение:
$1 = \frac{2}{x}$
$x = 2$

Сравним полученный корень с ОДЗ. Корень $x=2$ не входит в область допустимых значений. Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет корней.

3) $(x-3)(x-5) = 3(x-5)$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$(x-3)(x-5) - 3(x-5) = 0$

Вынесем общий множитель $(x-5)$ за скобки:
$(x-5)((x-3) - 3) = 0$
$(x-5)(x-6) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю:
$x-5 = 0 \Rightarrow x_1 = 5$
$x-6 = 0 \Rightarrow x_2 = 6$

Данное уравнение не имеет ограничений на область допустимых значений, поэтому оба корня являются решениями.

Ответ: $5; 6$.

4) $(x-2)(x^2+1) = 2(x^2+1)$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$(x-2)(x^2+1) - 2(x^2+1) = 0$

Вынесем общий множитель $(x^2+1)$ за скобки:
$(x^2+1)((x-2) - 2) = 0$
$(x^2+1)(x-4) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
$x^2+1 = 0$ или $x-4 = 0$

Рассмотрим первое уравнение:
$x^2+1 = 0 \Rightarrow x^2 = -1$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен.

Рассмотрим второе уравнение:
$x-4 = 0 \Rightarrow x = 4$

Единственным решением уравнения является $x=4$.

Ответ: $4$.

593. Решить неравенство:

1) $\frac{x+6}{2+x^2} < 3$;

2) $\frac{x-2}{5-x} > 1$.

1)

Дано неравенство: $\frac{x+6}{2+x^2} < 3$.

Сначала обратим внимание на знаменатель дроби: $2+x^2$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то $2+x^2 \ge 2$. Это означает, что знаменатель всегда положителен.

Так как знаменатель всегда больше нуля, мы можем умножить обе части неравенства на $2+x^2$, не меняя знака неравенства:

$x+6 < 3(2+x^2)$

Раскроем скобки и перенесем все члены в правую часть:

$x+6 < 6 + 3x^2$

$0 < 3x^2 - x$

$3x^2 - x > 0$

Теперь решим это квадратное неравенство. Вынесем $x$ за скобки:

$x(3x-1) > 0$

Найдем корни соответствующего уравнения $x(3x-1) = 0$. Корни равны $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{1}{3}$.

Эти корни разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty, 0)$, $(0, \frac{1}{3})$ и $(\frac{1}{3}, +\infty)$. Выражение $x(3x-1)$ представляет собой параболу с ветвями вверх, поэтому оно будет положительно вне интервала между корнями.

Проверим знаки на интервалах:
- При $x < 0$ (например, $x=-1$): $(-1)(3(-1)-1) = (-1)(-4) = 4 > 0$. Интервал подходит.
- При $0 < x < \frac{1}{3}$ (например, $x=0.1$): $(0.1)(3(0.1)-1) = (0.1)(-0.7) = -0.07 < 0$. Интервал не подходит.
- При $x > \frac{1}{3}$ (например, $x=1$): $(1)(3(1)-1) = (1)(2) = 2 > 0$. Интервал подходит.

Объединяя подходящие интервалы, получаем решение.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (\frac{1}{3}, +\infty)$

2)

Дано неравенство: $\frac{x-2}{5-x} > 1$.

Перенесем 1 в левую часть неравенства, чтобы сравнить выражение с нулем:

$\frac{x-2}{5-x} - 1 > 0$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{x-2 - (5-x)}{5-x} > 0$

Упростим числитель:

$\frac{x-2-5+x}{5-x} > 0$

$\frac{2x-7}{5-x} > 0$

Решим это рациональное неравенство методом интервалов. Найдем точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль:
- Нуль числителя: $2x-7=0 \Rightarrow x = \frac{7}{2} = 3.5$
- Нуль знаменателя: $5-x=0 \Rightarrow x = 5$ (эта точка не входит в область определения, поэтому будет выколотой)

Отметим эти точки на числовой прямой: $3.5$ и $5$. Они разбивают прямую на три интервала: $(-\infty, 3.5)$, $(3.5, 5)$ и $(5, +\infty)$.

Определим знак выражения $\frac{2x-7}{5-x}$ на каждом интервале:
- При $x < 3.5$ (например, $x=0$): $\frac{2(0)-7}{5-0} = \frac{-7}{5} < 0$. Интервал не подходит.
- При $3.5 < x < 5$ (например, $x=4$): $\frac{2(4)-7}{5-4} = \frac{1}{1} > 0$. Интервал подходит.
- При $x > 5$ (например, $x=6$): $\frac{2(6)-7}{5-6} = \frac{5}{-1} = -5 < 0$. Интервал не подходит.

Таким образом, неравенство выполняется только на интервале $(3.5, 5)$.

Ответ: $x \in (3.5, 5)$

Выяснить, равносильны ли уравнения (594–595).

594.

1) $|3x - 1| = 5$ и $3x - 1 = 5$;

2) $\frac{3x - 2}{3} - \frac{4 - x}{2} - \frac{3x - 5}{6} = 2x - 2$ и $2x + 3 = \frac{10}{3}$.

1)

Два уравнения называются равносильными, если множества их корней совпадают. Чтобы выяснить, равносильны ли данные уравнения, найдем корни каждого из них.

Решим первое уравнение: $|3x - 1| = 5$.
По определению модуля, это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$3x - 1 = 5$ или $3x - 1 = -5$.

Решаем первое уравнение из совокупности:
$3x = 5 + 1$
$3x = 6$
$x_1 = 2$

Решаем второе уравнение из совокупности:
$3x = -5 + 1$
$3x = -4$
$x_2 = -\frac{4}{3}$

Таким образом, множество корней первого уравнения: $\{2; -\frac{4}{3}\}$.

Теперь решим второе уравнение: $3x - 1 = 5$.
$3x = 5 + 1$
$3x = 6$
$x = 2$

Множество корней второго уравнения: $\{2\}$.

Сравнивая множества решений $\{2; -\frac{4}{3}\}$ и $\{2\}$, мы видим, что они не совпадают. Следовательно, уравнения не являются равносильными.

Ответ: уравнения не равносильны.

2)

Аналогично предыдущему пункту, найдем корни каждого уравнения.

Решим первое уравнение: $\frac{3x-2}{3} - \frac{4-x}{2} - \frac{3x-5}{6} = 2x-2$.
Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю 6:

$\frac{2(3x-2)}{6} - \frac{3(4-x)}{6} - \frac{3x-5}{6} = 2x-2$

$\frac{2(3x-2) - 3(4-x) - (3x-5)}{6} = 2x-2$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{6x-4 - 12+3x - 3x+5}{6} = 2x-2$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{6x - 11}{6} = 2x-2$

Умножим обе части уравнения на 6:

$6x - 11 = 6(2x-2)$
$6x - 11 = 12x - 12$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а свободные члены — в левую:

$12 - 11 = 12x - 6x$
$1 = 6x$
$x = \frac{1}{6}$

Корень первого уравнения: $x = \frac{1}{6}$.

Теперь решим второе уравнение: $2x+3=\frac{10}{3}$.
Вычтем 3 из обеих частей уравнения:

$2x = \frac{10}{3} - 3$
$2x = \frac{10}{3} - \frac{9}{3}$
$2x = \frac{1}{3}$

Разделим обе части на 2:

$x = \frac{1}{3 \cdot 2}$
$x = \frac{1}{6}$

Корень второго уравнения также равен $x = \frac{1}{6}$.

Поскольку множества решений обоих уравнений совпадают (каждое содержит единственный корень $x = \frac{1}{6}$), уравнения являются равносильными.

Ответ: уравнения равносильны.

595. 1) $x(x-1)=2x+5$ и $x^2-3x-5=0;$

2) $\sqrt{x+8}=2$ и $x+8=4.$

1) Чтобы определить, являются ли уравнения $x(x - 1) = 2x + 5$ и $x^2 - 3x - 5 = 0$ равносильными (эквивалентными), нужно сравнить их множества решений. Два уравнения равносильны, если каждое решение первого уравнения является решением второго, и наоборот.

Выполним тождественные преобразования первого уравнения, чтобы привести его к стандартному виду квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

Исходное первое уравнение:

$x(x - 1) = 2x + 5$

Раскроем скобки в левой части:

$x^2 - x = 2x + 5$

Перенесем все члены из правой части в левую с противоположным знаком:

$x^2 - x - 2x - 5 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 3x - 5 = 0$

В результате преобразований мы получили уравнение, которое в точности совпадает со вторым данным уравнением. Поскольку все выполненные преобразования (раскрытие скобок, перенос слагаемых) являются равносильными, исходные уравнения имеют одинаковые множества решений.

Ответ: Да, данные уравнения равносильны, так как первое уравнение с помощью равносильных преобразований приводится ко второму.

2) Проверим равносильность уравнений $\sqrt{x + 8} = 2$ и $x + 8 = 4$. Для этого найдем решения каждого из них и сравним множества решений.

Решим первое уравнение: $\sqrt{x + 8} = 2$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x + 8 \ge 0$, откуда $x \ge -8$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от знака корня. Это преобразование будет равносильным, так как правая часть уравнения ($2$) является неотрицательным числом.

$(\sqrt{x + 8})^2 = 2^2$

$x + 8 = 4$

Найдем $x$:

$x = 4 - 8$

$x = -4$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ ($x \ge -8$). Так как $-4 \ge -8$, корень подходит. Таким образом, первое уравнение имеет единственное решение $x = -4$.

Теперь решим второе уравнение: $x + 8 = 4$.

Это простое линейное уравнение. Найдем $x$:

$x = 4 - 8$

$x = -4$

Второе уравнение также имеет единственное решение $x = -4$.

Так как множества решений обоих уравнений совпадают (оба содержат только число $-4$), эти уравнения являются равносильными.

Ответ: Да, данные уравнения равносильны, так как они имеют один и тот же корень $x = -4$.

596. Установить, какое из двух уравнений является следствием другого уравнения:

1) $ \left|x\right| = \sqrt{6} $ и $ \sqrt{x^2} = 6 $;

2) $ \frac{x-2}{x+3} = \frac{x-3}{x+2} $ и $ (x-2)(x+2) = (x-3)(x+3) $.

Для того чтобы установить, какое из двух уравнений является следствием другого, необходимо найти множества решений каждого уравнения и сравнить их. Уравнение (2) является следствием уравнения (1), если множество решений уравнения (1) является подмножеством множества решений уравнения (2). Если множества решений совпадают, то уравнения называются равносильными, и в этом случае каждое из них является следствием другого.

Рассмотрим первое уравнение: $|x| = \sqrt{6}$.
Это уравнение имеет два корня: $x_1 = \sqrt{6}$ и $x_2 = -\sqrt{6}$.
Множество его решений: $M_1 = \{-\sqrt{6}, \sqrt{6}\}$.

Рассмотрим второе уравнение: $\sqrt{x^2} = 6$.
Используя тождество $\sqrt{a^2} = |a|$, мы можем переписать это уравнение в виде $|x| = 6$.
Это уравнение также имеет два корня: $x_1 = 6$ и $x_2 = -6$.
Множество его решений: $M_2 = \{-6, 6\}$.

Сравним множества решений $M_1$ и $M_2$.
$M_1 = \{-\sqrt{6}, \sqrt{6}\}$ и $M_2 = \{-6, 6\}$.
Эти множества не имеют общих элементов. Ни одно из них не является подмножеством другого ($M_1 \not\subset M_2$ и $M_2 \not\subset M_1$).
Следовательно, ни одно из этих уравнений не является следствием другого.

Ответ: Ни одно из уравнений не является следствием другого, так как множества их решений не пересекаются.

Рассмотрим первое уравнение: $\frac{x-2}{x+3} = \frac{x-3}{x+2}$.
Это дробно-рациональное уравнение. Его область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, что знаменатели не равны нулю:
$x+3 \neq 0 \implies x \neq -3$
$x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$
Таким образом, ОДЗ: $x \in \mathbb{R} \setminus \{-3, -2\}$.

Для решения уравнения в его ОДЗ, воспользуемся основным свойством пропорции (перекрестным умножением):
$(x-2)(x+2) = (x-3)(x+3)$
Применяя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, получаем:
$x^2 - 4 = x^2 - 9$
Вычитая $x^2$ из обеих частей, приходим к неверному равенству:
$-4 = -9$
Это означает, что исходное уравнение не имеет решений. Множество его решений пусто: $M_1 = \emptyset$.

Рассмотрим второе уравнение: $(x-2)(x+2) = (x-3)(x+3)$.
Это целое алгебраическое уравнение, его ОДЗ — все действительные числа.
Преобразуем его так же, как и в предыдущем пункте:
$x^2 - 4 = x^2 - 9$
$-4 = -9$
Это уравнение также не имеет решений. Множество его решений пусто: $M_2 = \emptyset$.

Сравним множества решений $M_1$ и $M_2$. Оба множества пусты: $M_1 = M_2 = \emptyset$.
Поскольку множества решений совпадают, уравнения являются равносильными. В случае равносильных уравнений каждое является следствием другого.

Ответ: Уравнения являются равносильными, так как оба не имеют решений. Следовательно, каждое из них является следствием другого.

597. Решить уравнение $\frac{1}{5x+1} - \frac{2}{5x-1} - \frac{9x}{25x^2-1} = \frac{5x^2}{1-25x^2}$

Исходное уравнение:

$\frac{1}{5x+1} - \frac{2}{5x-1} - \frac{9x}{25x^2-1} = \frac{5x^2}{1-25x^2}$

В первую очередь определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Знаменатели дробей в уравнении не должны равняться нулю.

$5x+1 \ne 0 \implies 5x \ne -1 \implies x \ne -\frac{1}{5}$

$5x-1 \ne 0 \implies 5x \ne 1 \implies x \ne \frac{1}{5}$

Знаменатели $25x^2-1$ и $1-25x^2$ также не должны быть равны нулю. Разложим их на множители: $25x^2-1 = (5x-1)(5x+1)$. Это выражение равно нулю при тех же значениях $x$, что и первые два знаменателя. Таким образом, ОДЗ: $x \ne \pm\frac{1}{5}$.

Теперь преобразуем уравнение. Используем формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ для знаменателей. Заметим, что $25x^2-1 = (5x-1)(5x+1)$ и $1-25x^2 = -(25x^2-1) = -(5x-1)(5x+1)$.

Подставим эти выражения в уравнение:

$\frac{1}{5x+1} - \frac{2}{5x-1} - \frac{9x}{(5x-1)(5x+1)} = \frac{5x^2}{-(5x-1)(5x+1)}$

Упростим правую часть:

$\frac{1}{5x+1} - \frac{2}{5x-1} - \frac{9x}{(5x-1)(5x+1)} = -\frac{5x^2}{(5x-1)(5x+1)}$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения, изменив знак у переносимого слагаемого:

$\frac{1}{5x+1} - \frac{2}{5x-1} - \frac{9x}{(5x-1)(5x+1)} + \frac{5x^2}{(5x-1)(5x+1)} = 0$

Приведем дроби к общему знаменателю $(5x-1)(5x+1)$:

$\frac{1 \cdot (5x-1)}{(5x+1)(5x-1)} - \frac{2 \cdot (5x+1)}{(5x-1)(5x+1)} - \frac{9x}{(5x-1)(5x+1)} + \frac{5x^2}{(5x-1)(5x+1)} = 0$

Запишем все под одной дробной чертой:

$\frac{(5x-1) - 2(5x+1) - 9x + 5x^2}{(5x-1)(5x+1)} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Условие неравенства знаменателя нулю мы уже учли в ОДЗ. Приравняем числитель к нулю:

$5x-1 - 2(5x+1) - 9x + 5x^2 = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$5x - 1 - 10x - 2 - 9x + 5x^2 = 0$

$5x^2 + (5x - 10x - 9x) + (-1 - 2) = 0$

$5x^2 - 14x - 3 = 0$

Получили квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-14)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 196 + 60 = 256$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{14 + \sqrt{256}}{2 \cdot 5} = \frac{14 + 16}{10} = \frac{30}{10} = 3$

$x_2 = \frac{14 - \sqrt{256}}{2 \cdot 5} = \frac{14 - 16}{10} = \frac{-2}{10} = -\frac{1}{5}$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ne \pm\frac{1}{5}$).

Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x_2 = -\frac{1}{5}$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении $x$ знаменатели $5x+1$ и $25x^2-1$ обращаются в ноль. Следовательно, $x_2 = -\frac{1}{5}$ является посторонним корнем.

Таким образом, единственным решением уравнения является $x=3$.

Ответ: 3

598. Найти корни уравнения:

1) $\frac{3}{x-1} - \frac{4x-1}{x+1} = \frac{x^2+5}{x^2-1} - 5;$

2) $\frac{x+2}{x-2} - \frac{x(x-4)}{x^2-4} = \frac{x-2}{x+2} - \frac{4(3+x)}{4-x^2}.$

1) $\frac{3}{x-1} - \frac{4x-1}{x+1} = \frac{x^2+5}{x^2-1} - 5$

Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Знаменатели дробей не могут быть равны нулю.
$x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$
$x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$
$x^2-1 = (x-1)(x+1) \neq 0$, что включает в себя два предыдущих условия.
Таким образом, ОДЗ: $x \neq \pm 1$.

Приведем все члены уравнения к общему знаменателю $x^2-1 = (x-1)(x+1)$.
$\frac{3(x+1)}{(x-1)(x+1)} - \frac{(4x-1)(x-1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{x^2+5}{x^2-1} - \frac{5(x^2-1)}{x^2-1}$

Поскольку знаменатели теперь одинаковы, мы можем приравнять числители.
$3(x+1) - (4x-1)(x-1) = x^2+5 - 5(x^2-1)$

Раскроем скобки и упростим выражение.
$3x+3 - (4x^2 - 4x - x + 1) = x^2+5 - 5x^2+5$
$3x+3 - (4x^2 - 5x + 1) = -4x^2+10$
$3x+3 - 4x^2 + 5x - 1 = -4x^2+10$

Приведем подобные слагаемые.
$-4x^2 + 8x + 2 = -4x^2 + 10$

Прибавим к обеим частям уравнения $4x^2$.
$8x + 2 = 10$
$8x = 10 - 2$
$8x = 8$
$x = 1$

Теперь сравним полученный корень с ОДЗ. Мы определили, что $x \neq 1$. Полученное значение $x=1$ является посторонним корнем, так как оно обращает знаменатель в ноль. Следовательно, у уравнения нет решений.

Ответ: корней нет.

2) $\frac{x+2}{x-2} - \frac{x(x-4)}{x^2-4} = \frac{x-2}{x+2} - \frac{4(3+x)}{4-x^2}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
$x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$
$x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$
$x^2-4 = (x-2)(x+2) \neq 0$
$4-x^2 = -(x^2-4) \neq 0$
ОДЗ: $x \neq \pm 2$.

Преобразуем последний член уравнения, чтобы привести все дроби к общему знаменателю.
$\frac{4(3+x)}{4-x^2} = \frac{4(3+x)}{-(x^2-4)} = -\frac{4(3+x)}{x^2-4}$
Подставим это в исходное уравнение:
$\frac{x+2}{x-2} - \frac{x(x-4)}{x^2-4} = \frac{x-2}{x+2} - (-\frac{4(3+x)}{x^2-4})$
$\frac{x+2}{x-2} - \frac{x(x-4)}{x^2-4} = \frac{x-2}{x+2} + \frac{4(3+x)}{x^2-4}$

Приведем все дроби к общему знаменателю $x^2-4 = (x-2)(x+2)$.
$\frac{(x+2)(x+2)}{x^2-4} - \frac{x(x-4)}{x^2-4} = \frac{(x-2)(x-2)}{x^2-4} + \frac{4(3+x)}{x^2-4}$

Приравняем числители.
$(x+2)^2 - x(x-4) = (x-2)^2 + 4(3+x)$

Раскроем скобки и упростим.
$(x^2+4x+4) - (x^2-4x) = (x^2-4x+4) + (12+4x)$
$x^2+4x+4 - x^2+4x = x^2-4x+4+12+4x$

Приведем подобные слагаемые.
$8x+4 = x^2+16$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение.
$x^2 - 8x + 16 - 4 = 0$
$x^2 - 8x + 12 = 0$

Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 8, а их произведение равно 12. Подходят числа 2 и 6.
$x_1 = 2$, $x_2 = 6$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq \pm 2$).
Корень $x_1=2$ не входит в ОДЗ, поэтому является посторонним.
Корень $x_2=6$ входит в ОДЗ.

Ответ: 6.

599. Решить неравенство:

1) $x^3 - 3x^2 + 2x - 6 > 2x^3 - x^2 + 4x - 2;$

2) $x^3 - 3x^2 - 4x + 12 > -3x^3 + x^2 + 12x - 4.$

1)

Исходное неравенство: $x^3 - 3x^2 + 2x - 6 > 2x^3 - x^2 + 4x - 2$.
Перенесем все члены из левой части неравенства в правую, чтобы сгруппировать их:
$0 > 2x^3 - x^2 + 4x - 2 - (x^3 - 3x^2 + 2x - 6)$
$0 > 2x^3 - x^2 + 4x - 2 - x^3 + 3x^2 - 2x + 6$
Приведем подобные слагаемые в правой части:
$0 > (2x^3 - x^3) + (-x^2 + 3x^2) + (4x - 2x) + (-2 + 6)$
$0 > x^3 + 2x^2 + 2x + 4$
Это неравенство равносильно следующему:
$x^3 + 2x^2 + 2x + 4 < 0$
Разложим левую часть на множители методом группировки:
$(x^3 + 2x^2) + (2x + 4) < 0$
Вынесем общие множители из каждой группы:
$x^2(x + 2) + 2(x + 2) < 0$
Вынесем общий множитель $(x + 2)$:
$(x + 2)(x^2 + 2) < 0$
Проанализируем знаки множителей. Выражение $x^2$ всегда неотрицательно, то есть $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$. Следовательно, множитель $x^2 + 2$ всегда строго положителен, так как $x^2 + 2 \ge 2$.
Поскольку один из множителей ($x^2 + 2$) всегда положителен, знак всего произведения зависит только от знака второго множителя ($x + 2$).
Таким образом, неравенство сводится к более простому:
$x + 2 < 0$
$x < -2$
Решением является открытый луч $(-\infty; -2)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2)$.

2)

Исходное неравенство: $x^3 - 3x^2 - 4x + 12 > -3x^3 + x^2 + 12x - 4$.
Перенесем все члены из правой части неравенства в левую:
$x^3 - 3x^2 - 4x + 12 - (-3x^3 + x^2 + 12x - 4) > 0$
$x^3 - 3x^2 - 4x + 12 + 3x^3 - x^2 - 12x + 4 > 0$
Приведем подобные слагаемые:
$(x^3 + 3x^3) + (-3x^2 - x^2) + (-4x - 12x) + (12 + 4) > 0$
$4x^3 - 4x^2 - 16x + 16 > 0$
Разделим обе части неравенства на 4. Так как 4 > 0, знак неравенства не изменится:
$x^3 - x^2 - 4x + 4 > 0$
Разложим левую часть на множители методом группировки:
$(x^3 - x^2) - (4x - 4) > 0$
$x^2(x - 1) - 4(x - 1) > 0$
$(x - 1)(x^2 - 4) > 0$
Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ к множителю $x^2 - 4$:
$(x - 1)(x - 2)(x + 2) > 0$
Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни многочлена в левой части, приравняв его к нулю:
$(x - 1)(x - 2)(x + 2) = 0$
Корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$, $x_3 = -2$.
Отметим эти точки на числовой прямой в порядке возрастания: -2, 1, 2. Они разбивают прямую на четыре интервала: $(-\infty; -2)$, $(-2; 1)$, $(1; 2)$ и $(2; +\infty)$.
Определим знак выражения $(x - 1)(x - 2)(x + 2)$ в каждом интервале.
- В интервале $(2; +\infty)$, например при $x=3$: $(3-1)(3-2)(3+2) = 2 \cdot 1 \cdot 5 = 10 > 0$. Знак «+».
- В интервале $(1; 2)$, например при $x=1.5$: $(1.5-1)(1.5-2)(1.5+2) = 0.5 \cdot (-0.5) \cdot 3.5 < 0$. Знак «-».
- В интервале $(-2; 1)$, например при $x=0$: $(0-1)(0-2)(0+2) = (-1) \cdot (-2) \cdot 2 = 4 > 0$. Знак «+».
- В интервале $(-\infty; -2)$, например при $x=-3$: $(-3-1)(-3-2)(-3+2) = (-4) \cdot (-5) \cdot (-1) = -20 < 0$. Знак «-».
Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля (знак «+»). Это интервалы $(-2; 1)$ и $(2; +\infty)$.
Объединение этих интервалов является решением неравенства.

Ответ: $x \in (-2; 1) \cup (2; +\infty)$.