Номер 590, страница 201 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

590. Выяснить, равносильны ли системы уравнений:

1) $\begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ x - y = 2 \end{cases}$ и $\begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ x = 2 + y \end{cases}$

2) $\begin{cases} x - 3y = 8 \\ x^2 - 9y^2 = 72 \end{cases}$ и $\begin{cases} x - 3y = 8 \\ x + 3y = 9 \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 - 2xy + y^2 = 9 \\ x - y = 3 \end{cases}$ и $\begin{cases} (x - y)^2 = 9 \\ x - y = -3 \end{cases}$

4) $\begin{cases} x + 2y = 5 \\ 2x + y = 4 \end{cases}$ и $\begin{cases} -2x + 2y = -10 \\ 2x + y = 4 \end{cases}$

1)

Рассмотрим две системы уравнений:

Первая система: $ \begin{cases} 2x+3y=5 \\ x-y=2 \end{cases} $

Вторая система: $ \begin{cases} 2x+3y=5 \\ x=2+y \end{cases} $

Первые уравнения в обеих системах идентичны. Второе уравнение второй системы $x=2+y$ является равносильным преобразованием второго уравнения первой системы $x-y=2$ (перенос $-y$ в правую часть уравнения с изменением знака). Так как одно из уравнений систем совпадает, а вторые уравнения равносильны, то и сами системы равносильны, то есть имеют одинаковые множества решений.

Для проверки найдем решение систем. Из второго уравнения первой системы выразим $x$: $x=y+2$. Подставим в первое уравнение:

$2(y+2) + 3y = 5$

$2y+4+3y=5$

$5y=1$, откуда $y = \frac{1}{5}$.

Тогда $x = \frac{1}{5}+2 = \frac{11}{5}$.

Решение первой системы: $(\frac{11}{5}; \frac{1}{5})$.

Во второй системе $x$ уже выражен: $x=2+y$. Подставим в первое уравнение:

$2(2+y) + 3y = 5$

$4+2y+3y=5$

$5y=1$, откуда $y=\frac{1}{5}$.

Тогда $x=2+\frac{1}{5} = \frac{11}{5}$.

Решение второй системы также $(\frac{11}{5}; \frac{1}{5})$.

Множества решений обеих систем совпадают.

Ответ: системы равносильны.

2)

Рассмотрим две системы уравнений:

Первая система: $ \begin{cases} x-3y=8 \\ x^2-9y^2=72 \end{cases} $

Вторая система: $ \begin{cases} x-3y=8 \\ x+3y=9 \end{cases} $

Преобразуем второе уравнение первой системы, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$x^2 - 9y^2 = x^2 - (3y)^2 = (x-3y)(x+3y)$

Таким образом, первая система может быть переписана в виде:

$ \begin{cases} x-3y=8 \\ (x-3y)(x+3y)=72 \end{cases} $

Теперь можно подставить значение $(x-3y)$ из первого уравнения во второе:

$8 \cdot (x+3y) = 72$

Разделив обе части уравнения на 8, получим:

$x+3y=9$

В результате такого равносильного преобразования мы получили систему, которая полностью совпадает со второй данной системой:

$ \begin{cases} x-3y=8 \\ x+3y=9 \end{cases} $

Следовательно, исходные системы равносильны.

Ответ: системы равносильны.

3)

Рассмотрим две системы уравнений:

Первая система: $ \begin{cases} x^2-2xy+y^2=9 \\ x-y=3 \end{cases} $

Вторая система: $ \begin{cases} (x-y)^2=9 \\ x-y=-3 \end{cases} $

В первой системе преобразуем первое уравнение, заметив, что левая часть является полным квадратом разности: $x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$.

Тогда первая система равносильна следующей:

$ \begin{cases} (x-y)^2=9 \\ x-y=3 \end{cases} $

Первое уравнение $(x-y)^2=9$ выполняется, если $x-y=3$ или $x-y=-3$. Второе уравнение $x-y=3$ является одним из этих случаев. Таким образом, любое решение системы должно удовлетворять условию $x-y=3$. Множество решений первой системы — это все пары $(x,y)$, для которых $x-y=3$.

Теперь рассмотрим вторую систему:

$ \begin{cases} (x-y)^2=9 \\ x-y=-3 \end{cases} $

Первое уравнение то же самое, но второе уравнение $x-y=-3$ задает другое условие. Множество решений второй системы — это все пары $(x,y)$, для которых $x-y=-3$.

Поскольку множества решений двух систем определяются разными условиями ($x-y=3$ и $x-y=-3$), они не совпадают. Например, пара $(3, 0)$ является решением первой системы, но не второй ($3-0 \ne -3$). А пара $(0, 3)$ является решением второй системы, но не первой ($0-3 \ne 3$).

Ответ: системы не равносильны.

4)

Рассмотрим две системы уравнений:

Первая система: $ \begin{cases} x+2y=5 \\ 2x+y=4 \end{cases} $

Вторая система: $ \begin{cases} -2x+2y=-10 \\ 2x+y=4 \end{cases} $

Чтобы определить, равносильны ли системы, найдем их решения и сравним.

Решим первую систему. Из первого уравнения выразим $x$: $x=5-2y$. Подставим во второе уравнение:

$2(5-2y)+y=4$

$10-4y+y=4$

$10-3y=4$

$-3y = -6$, откуда $y=2$.

Найдем $x$: $x=5-2(2)=1$.

Решение первой системы — пара чисел $(1, 2)$.

Решим вторую систему. Вторые уравнения систем совпадают. Преобразуем первое уравнение второй системы, разделив его на 2: $-x+y=-5$, откуда $y=x-5$. Подставим это выражение во второе уравнение $2x+y=4$:

$2x+(x-5)=4$

$3x-5=4$

$3x=9$, откуда $x=3$.

Найдем $y$: $y=3-5=-2$.

Решение второй системы — пара чисел $(3, -2)$.

Поскольку решения систем — $(1, 2)$ и $(3, -2)$ — различны, множества их решений не совпадают.

Ответ: системы не равносильны.