Номер 585, страница 194 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

585. Не выполняя построения графика функции, найти его горизонтальную и вертикальную асимптоты:

1) $y = \frac{2x + 2}{x - 1}$;

2) $y = \frac{1 - 2x}{5 - x}$.

1) $y = \frac{2x+2}{x-1}$

Для нахождения асимптот графика функции проанализируем ее поведение в точках разрыва и на бесконечности.

Вертикальная асимптота

Вертикальные асимптоты могут существовать в точках, где функция не определена. Для данной дробно-рациональной функции это точки, в которых знаменатель обращается в ноль.

Найдем корень знаменателя:
$x - 1 = 0$
$x = 1$

Теперь необходимо убедиться, что при $x=1$ числитель не равен нулю, иначе это будет точка устранимого разрыва, а не асимптота.
Подставим $x=1$ в числитель:
$2(1) + 2 = 4$

Поскольку при $x=1$ знаменатель равен нулю, а числитель не равен нулю ($4 \ne 0$), прямая $x=1$ является вертикальной асимптотой графика функции.

Горизонтальная асимптота

Горизонтальная асимптота описывает поведение функции при стремлении $x$ к $+\infty$ и $-\infty$. Для ее нахождения нужно вычислить предел функции при $x \to \infty$.

$ \lim_{x \to \infty} \frac{2x+2}{x-1} $

Так как степени многочленов в числителе и знаменателе равны (обе равны 1), предел равен отношению коэффициентов при старших степенях $x$.
$ y = \frac{2}{1} = 2 $

Можно также найти предел, разделив числитель и знаменатель на $x$ в старшей степени:
$ \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2x}{x} + \frac{2}{x}}{\frac{x}{x} - \frac{1}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{2}{x}}{1 - \frac{1}{x}} = \frac{2+0}{1-0} = 2 $

Следовательно, прямая $y=2$ является горизонтальной асимптотой.

Ответ: вертикальная асимптота $x=1$, горизонтальная асимптота $y=2$.

2) $y = \frac{1-2x}{5-x}$

Вертикальная асимптота

Найдем точки, в которых знаменатель равен нулю:
$5 - x = 0$
$x = 5$

Проверим значение числителя при $x=5$:
$1 - 2(5) = 1 - 10 = -9$

Так как при $x=5$ знаменатель равен нулю, а числитель не равен нулю ($-9 \ne 0$), прямая $x=5$ является вертикальной асимптотой.

Горизонтальная асимптота

Найдем предел функции при $x \to \infty$:
$ \lim_{x \to \infty} \frac{1-2x}{5-x} $

Степени числителя и знаменателя равны 1. Предел равен отношению коэффициентов при старших степенях $x$. Коэффициент при $x$ в числителе равен -2, а в знаменателе -1.
$ y = \frac{-2}{-1} = 2 $

Вычислим предел формально, разделив на $x$:
$ \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{2x}{x}}{\frac{5}{x} - \frac{x}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - 2}{\frac{5}{x} - 1} = \frac{0-2}{0-1} = 2 $

Таким образом, прямая $y=2$ является горизонтальной асимптотой.

Ответ: вертикальная асимптота $x=5$, горизонтальная асимптота $y=2$.