Номер 581, страница 192 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

581. На одном рисунке построить график данной функции и функции, обратной к данной; найти область определения и множество значений каждой из них:

1) $y = \frac{2x-1}{3}$;

2) $y = (x-1)^2$ при $x \ge 1$;

3) $y = (x-1)^3$;

4) $y = \sqrt{x+1}$.

1) $y=\frac{2x-1}{3}$

Данная функция $y=\frac{2x-1}{3}$ является линейной. Ее можно представить в виде $y = \frac{2}{3}x - \frac{1}{3}$.

Для исходной функции $y=\frac{2x-1}{3}$:

Область определения $D(y)$: выражение определено для всех действительных чисел, поэтому $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений $E(y)$: так как это линейная функция с ненулевым угловым коэффициентом, она принимает все действительные значения, поэтому $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем обратную функцию:

1. Выразим $x$ через $y$: $3y = 2x-1$ $2x = 3y+1$ $x = \frac{3y+1}{2}$

2. Заменим $x$ на $y$ и $y$ на $x$, чтобы получить уравнение обратной функции: $y = \frac{3x+1}{2}$.

Для обратной функции $y=\frac{3x+1}{2}$:

Область определения обратной функции равна множеству значений исходной: $D(y_{обр}) = E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений обратной функции равно области определения исходной: $E(y_{обр}) = D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Построение графиков:

График функции $y=\frac{2x-1}{3}$ — это прямая, проходящая через точки, например, $(0.5, 0)$ и $(2, 1)$. График функции $y=\frac{3x+1}{2}$ — это прямая, проходящая через точки, например, $(0, 0.5)$ и $(1, 2)$. Графики этих двух функций симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: Обратная функция: $y = \frac{3x+1}{2}$. Для $y=\frac{2x-1}{3}$: $D(y)=(-\infty; +\infty)$, $E(y)=(-\infty; +\infty)$. Для $y=\frac{3x+1}{2}$: $D(y)=(-\infty; +\infty)$, $E(y)=(-\infty; +\infty)$.

2) $y=(x-1)^2$ при $x \ge 1$

Данная функция является правой ветвью параболы, вершина которой находится в точке $(1, 0)$.

Для исходной функции $y=(x-1)^2$ при $x \ge 1$:

Область определения $D(y)$ задана условием: $D(y) = [1; +\infty)$.

Множество значений $E(y)$: поскольку $x \ge 1$, то $(x-1) \ge 0$, и следовательно $y = (x-1)^2 \ge 0$. Таким образом, $E(y) = [0; +\infty)$.

Найдем обратную функцию:

1. Выразим $x$ через $y$: $\sqrt{y} = \sqrt{(x-1)^2}$ $\sqrt{y} = |x-1|$ Так как по условию $x \ge 1$, то $x-1 \ge 0$, и $|x-1| = x-1$. $\sqrt{y} = x-1$ $x = \sqrt{y}+1$

2. Заменим $x$ на $y$ и $y$ на $x$: $y = \sqrt{x}+1$.

Для обратной функции $y=\sqrt{x}+1$:

Область определения $D(y_{обр}) = E(y) = [0; +\infty)$.

Множество значений $E(y_{обр}) = D(y) = [1; +\infty)$.

Построение графиков:

График $y=(x-1)^2$ при $x \ge 1$ — это правая ветвь параболы, начинающаяся в точке $(1, 0)$ и проходящая, например, через точку $(2, 1)$. График $y=\sqrt{x}+1$ — это стандартный график квадратного корня, сдвинутый на 1 единицу вверх. Он начинается в точке $(0, 1)$ и проходит, например, через точку $(1, 2)$. Графики симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: Обратная функция: $y = \sqrt{x}+1$. Для $y=(x-1)^2, x\ge1$: $D(y)=[1; +\infty)$, $E(y)=[0; +\infty)$. Для $y=\sqrt{x}+1$: $D(y)=[0; +\infty)$, $E(y)=[1; +\infty)$.

3) $y=(x-1)^3$

Данная функция является кубической параболой, полученной сдвигом графика $y=x^3$ на 1 единицу вправо.

Для исходной функции $y=(x-1)^3$:

Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем обратную функцию:

1. Выразим $x$ через $y$: $\sqrt[3]{y} = x-1$ $x = \sqrt[3]{y}+1$

2. Заменим $x$ на $y$ и $y$ на $x$: $y = \sqrt[3]{x}+1$.

Для обратной функции $y=\sqrt[3]{x}+1$:

Область определения $D(y_{обр}) = E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений $E(y_{обр}) = D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Построение графиков:

График $y=(x-1)^3$ — кубическая парабола с точкой перегиба в $(1, 0)$, проходит через точки $(0, -1)$ и $(2, 1)$. График $y=\sqrt[3]{x}+1$ — график кубического корня, сдвинутый на 1 вверх, с точкой перегиба в $(0, 1)$, проходит через точки $(-1, 0)$ и $(1, 2)$. Графики симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: Обратная функция: $y = \sqrt[3]{x}+1$. Для $y=(x-1)^3$: $D(y)=(-\infty; +\infty)$, $E(y)=(-\infty; +\infty)$. Для $y=\sqrt[3]{x}+1$: $D(y)=(-\infty; +\infty)$, $E(y)=(-\infty; +\infty)$.

4) $y=\sqrt{x}+1$

Данная функция является графиком квадратного корня, сдвинутым на 1 единицу вверх.

Для исходной функции $y=\sqrt{x}+1$:

Область определения $D(y)$: подкоренное выражение $x \ge 0$, поэтому $D(y) = [0; +\infty)$.

Множество значений $E(y)$: так как $\sqrt{x} \ge 0$, то $\sqrt{x}+1 \ge 1$. $E(y) = [1; +\infty)$.

Найдем обратную функцию:

1. Выразим $x$ через $y$: $\sqrt{x} = y-1$ Для нахождения $x$ нужно возвести обе части в квадрат. Это преобразование будет равносильным, так как левая часть $\sqrt{x} \ge 0$, а правая часть $y-1 \ge 0$ (поскольку $y \in E(y) = [1; +\infty)$). $x = (y-1)^2$

2. Заменим $x$ на $y$ и $y$ на $x$: $y = (x-1)^2$.

Для обратной функции $y=(x-1)^2$:

Область определения обратной функции $D(y_{обр}) = E(y) = [1; +\infty)$.

Множество значений обратной функции $E(y_{обр}) = D(y) = [0; +\infty)$.

Построение графиков:

График $y=\sqrt{x}+1$ начинается в точке $(0, 1)$ и проходит через $(1, 2)$ и $(4, 3)$. График $y=(x-1)^2$ при $x \ge 1$ — это правая ветвь параболы с вершиной в $(1, 0)$, проходящая через $(2, 1)$ и $(3, 4)$. Графики симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: Обратная функция: $y=(x-1)^2$ при $x \ge 1$. Для $y=\sqrt{x}+1$: $D(y)=[0; +\infty)$, $E(y)=[1; +\infty)$. Для $y=(x-1)^2, x\ge1$: $D(y)=[1; +\infty)$, $E(y)=[0; +\infty)$.