Страница 192 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

580. Найти функцию, обратную к данной:

1) $y = -x^{\frac{1}{2}}$;

2) $y = -x^{\frac{3}{5}}$;

3) $y = x^{\frac{3}{2}}$;

4) $y = -x^{\frac{1}{3}}$.

1) Дана функция $y = -x^{\frac{1}{2}}$.

Для нахождения функции, обратной к данной, необходимо выразить переменную $x$ через $y$ из уравнения функции, а затем поменять переменные $x$ и $y$ местами.

Исходное уравнение: $y = -x^{\frac{1}{2}}$. Это эквивалентно записи $y = -\sqrt{x}$.

Область определения данной функции (ОДЗ) определяется условием $x \ge 0$. Область значений функции: $y \le 0$.

Выразим $x$ через $y$:

$y = -\sqrt{x}$

$-y = \sqrt{x}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(-y)^2 = (\sqrt{x})^2$

$y^2 = x$, или $x = y^2$.

Теперь поменяем местами $x$ и $y$, чтобы получить обратную функцию в стандартном виде:

$y = x^2$.

Область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной функции, то есть $x \le 0$.

Ответ: $y=x^2$

2) Дана функция $y = -x^{\frac{3}{5}}$.

Это степенная функция с дробным показателем. Ее можно записать как $y = -(\sqrt[5]{x})^3$.

Область определения и область значений данной функции — все действительные числа, то есть $x \in (-\infty, +\infty)$ и $y \in (-\infty, +\infty)$.

Чтобы найти обратную функцию, выразим $x$ через $y$:

$y = -x^{\frac{3}{5}}$

$-y = x^{\frac{3}{5}}$

Возведем обе части уравнения в степень $\frac{5}{3}$:

$(-y)^{\frac{5}{3}} = (x^{\frac{3}{5}})^{\frac{5}{3}}$

$x = (-y)^{\frac{5}{3}}$

Используя свойство степеней, $(-a)^b = -a^b$ для нечетного знаменателя в $b$, получаем:

$x = -y^{\frac{5}{3}}$

Поменяем местами $x$ и $y$:

$y = -x^{\frac{5}{3}}$

Ответ: $y=-x^{\frac{5}{3}}$

3) Дана функция $y = x^{\frac{3}{2}}$.

Функцию можно записать как $y = (\sqrt{x})^3$.

Область определения функции (ОДЗ): $x \ge 0$. Область значений: $y \ge 0$.

Выразим $x$ через $y$:

$y = x^{\frac{3}{2}}$

Возведем обе части уравнения в степень $\frac{2}{3}$:

$y^{\frac{2}{3}} = (x^{\frac{3}{2}})^{\frac{2}{3}}$

$x = y^{\frac{2}{3}}$

Поменяем местами $x$ и $y$ для получения обратной функции:

$y = x^{\frac{2}{3}}$

Область определения обратной функции: $x \ge 0$.

Ответ: $y=x^{\frac{2}{3}}$

4) Дана функция $y = -x^{\frac{1}{3}}$.

Функцию можно записать как $y = -\sqrt[3]{x}$.

Область определения и область значений для данной функции — все действительные числа, $x \in (-\infty, +\infty)$ и $y \in (-\infty, +\infty)$.

Найдем обратную функцию, выразив $x$ через $y$:

$y = -x^{\frac{1}{3}}$

$-y = x^{\frac{1}{3}}$

Возведем обе части уравнения в куб:

$(-y)^3 = (x^{\frac{1}{3}})^3$

$-y^3 = x$, или $x = -y^3$.

Поменяем местами $x$ и $y$:

$y = -x^3$.

Ответ: $y=-x^3$

581. На одном рисунке построить график данной функции и функции, обратной к данной; найти область определения и множество значений каждой из них:

1) $y = \frac{2x-1}{3}$;

2) $y = (x-1)^2$ при $x \ge 1$;

3) $y = (x-1)^3$;

4) $y = \sqrt{x+1}$.

1) $y=\frac{2x-1}{3}$

Данная функция $y=\frac{2x-1}{3}$ является линейной. Ее можно представить в виде $y = \frac{2}{3}x - \frac{1}{3}$.

Для исходной функции $y=\frac{2x-1}{3}$:

Область определения $D(y)$: выражение определено для всех действительных чисел, поэтому $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений $E(y)$: так как это линейная функция с ненулевым угловым коэффициентом, она принимает все действительные значения, поэтому $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем обратную функцию:

1. Выразим $x$ через $y$: $3y = 2x-1$ $2x = 3y+1$ $x = \frac{3y+1}{2}$

2. Заменим $x$ на $y$ и $y$ на $x$, чтобы получить уравнение обратной функции: $y = \frac{3x+1}{2}$.

Для обратной функции $y=\frac{3x+1}{2}$:

Область определения обратной функции равна множеству значений исходной: $D(y_{обр}) = E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений обратной функции равно области определения исходной: $E(y_{обр}) = D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Построение графиков:

График функции $y=\frac{2x-1}{3}$ — это прямая, проходящая через точки, например, $(0.5, 0)$ и $(2, 1)$. График функции $y=\frac{3x+1}{2}$ — это прямая, проходящая через точки, например, $(0, 0.5)$ и $(1, 2)$. Графики этих двух функций симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: Обратная функция: $y = \frac{3x+1}{2}$. Для $y=\frac{2x-1}{3}$: $D(y)=(-\infty; +\infty)$, $E(y)=(-\infty; +\infty)$. Для $y=\frac{3x+1}{2}$: $D(y)=(-\infty; +\infty)$, $E(y)=(-\infty; +\infty)$.

2) $y=(x-1)^2$ при $x \ge 1$

Данная функция является правой ветвью параболы, вершина которой находится в точке $(1, 0)$.

Для исходной функции $y=(x-1)^2$ при $x \ge 1$:

Область определения $D(y)$ задана условием: $D(y) = [1; +\infty)$.

Множество значений $E(y)$: поскольку $x \ge 1$, то $(x-1) \ge 0$, и следовательно $y = (x-1)^2 \ge 0$. Таким образом, $E(y) = [0; +\infty)$.

Найдем обратную функцию:

1. Выразим $x$ через $y$: $\sqrt{y} = \sqrt{(x-1)^2}$ $\sqrt{y} = |x-1|$ Так как по условию $x \ge 1$, то $x-1 \ge 0$, и $|x-1| = x-1$. $\sqrt{y} = x-1$ $x = \sqrt{y}+1$

2. Заменим $x$ на $y$ и $y$ на $x$: $y = \sqrt{x}+1$.

Для обратной функции $y=\sqrt{x}+1$:

Область определения $D(y_{обр}) = E(y) = [0; +\infty)$.

Множество значений $E(y_{обр}) = D(y) = [1; +\infty)$.

Построение графиков:

График $y=(x-1)^2$ при $x \ge 1$ — это правая ветвь параболы, начинающаяся в точке $(1, 0)$ и проходящая, например, через точку $(2, 1)$. График $y=\sqrt{x}+1$ — это стандартный график квадратного корня, сдвинутый на 1 единицу вверх. Он начинается в точке $(0, 1)$ и проходит, например, через точку $(1, 2)$. Графики симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: Обратная функция: $y = \sqrt{x}+1$. Для $y=(x-1)^2, x\ge1$: $D(y)=[1; +\infty)$, $E(y)=[0; +\infty)$. Для $y=\sqrt{x}+1$: $D(y)=[0; +\infty)$, $E(y)=[1; +\infty)$.

3) $y=(x-1)^3$

Данная функция является кубической параболой, полученной сдвигом графика $y=x^3$ на 1 единицу вправо.

Для исходной функции $y=(x-1)^3$:

Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем обратную функцию:

1. Выразим $x$ через $y$: $\sqrt[3]{y} = x-1$ $x = \sqrt[3]{y}+1$

2. Заменим $x$ на $y$ и $y$ на $x$: $y = \sqrt[3]{x}+1$.

Для обратной функции $y=\sqrt[3]{x}+1$:

Область определения $D(y_{обр}) = E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений $E(y_{обр}) = D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Построение графиков:

График $y=(x-1)^3$ — кубическая парабола с точкой перегиба в $(1, 0)$, проходит через точки $(0, -1)$ и $(2, 1)$. График $y=\sqrt[3]{x}+1$ — график кубического корня, сдвинутый на 1 вверх, с точкой перегиба в $(0, 1)$, проходит через точки $(-1, 0)$ и $(1, 2)$. Графики симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: Обратная функция: $y = \sqrt[3]{x}+1$. Для $y=(x-1)^3$: $D(y)=(-\infty; +\infty)$, $E(y)=(-\infty; +\infty)$. Для $y=\sqrt[3]{x}+1$: $D(y)=(-\infty; +\infty)$, $E(y)=(-\infty; +\infty)$.

4) $y=\sqrt{x}+1$

Данная функция является графиком квадратного корня, сдвинутым на 1 единицу вверх.

Для исходной функции $y=\sqrt{x}+1$:

Область определения $D(y)$: подкоренное выражение $x \ge 0$, поэтому $D(y) = [0; +\infty)$.

Множество значений $E(y)$: так как $\sqrt{x} \ge 0$, то $\sqrt{x}+1 \ge 1$. $E(y) = [1; +\infty)$.

Найдем обратную функцию:

1. Выразим $x$ через $y$: $\sqrt{x} = y-1$ Для нахождения $x$ нужно возвести обе части в квадрат. Это преобразование будет равносильным, так как левая часть $\sqrt{x} \ge 0$, а правая часть $y-1 \ge 0$ (поскольку $y \in E(y) = [1; +\infty)$). $x = (y-1)^2$

2. Заменим $x$ на $y$ и $y$ на $x$: $y = (x-1)^2$.

Для обратной функции $y=(x-1)^2$:

Область определения обратной функции $D(y_{обр}) = E(y) = [1; +\infty)$.

Множество значений обратной функции $E(y_{обр}) = D(y) = [0; +\infty)$.

Построение графиков:

График $y=\sqrt{x}+1$ начинается в точке $(0, 1)$ и проходит через $(1, 2)$ и $(4, 3)$. График $y=(x-1)^2$ при $x \ge 1$ — это правая ветвь параболы с вершиной в $(1, 0)$, проходящая через $(2, 1)$ и $(3, 4)$. Графики симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: Обратная функция: $y=(x-1)^2$ при $x \ge 1$. Для $y=\sqrt{x}+1$: $D(y)=[0; +\infty)$, $E(y)=[1; +\infty)$. Для $y=(x-1)^2, x\ge1$: $D(y)=[1; +\infty)$, $E(y)=[0; +\infty)$.

582. Построить график функции:

1) $y=\sqrt{x^2 - 3x + 2}$;

2) $y=\sqrt{x^2 + 5x - 6}$;

3) $y=\frac{1}{x^2 + 7x - 8}$;

4) $y=\frac{2}{2x^2 + 7x - 4}$.

1) $y = \sqrt{x^2 - 3x + 2}$

Для построения графика функции, проведем ее исследование.

1. Область определения функции.
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x^2 - 3x + 2 \geq 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.
Парабола $z = x^2 - 3x + 2$ ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 1] \cup [2, +\infty)$. Это и есть область определения функции $D(y)$.

2. Область значений.
Так как корень квадратный всегда неотрицателен, $y \geq 0$. Область значений $E(y) = [0, +\infty)$.

3. Точки пересечения с осями.
При $x=1$ и $x=2$, $y=0$. Точки пересечения с осью Ox: $(1, 0)$ и $(2, 0)$.
При $x=0$, $y=\sqrt{2}$. Точка пересечения с осью Oy: $(0, \sqrt{2})$.

4. Асимптоты.
Вертикальных асимптот нет.
Найдем наклонные асимптоты вида $y = kx + b$.
$k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{\sqrt{x^2 - 3x + 2}}{x}$.
При $x \to +\infty$: $k = \lim_{x \to +\infty} \frac{x\sqrt{1 - 3/x + 2/x^2}}{x} = 1$.
При $x \to -\infty$: $k = \lim_{x \to -\infty} \frac{-x\sqrt{1 - 3/x + 2/x^2}}{x} = -1$.
Теперь найдем $b = \lim_{x \to \pm\infty} (y - kx)$.
При $x \to +\infty$ ($k=1$): $b = \lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2 - 3x + 2} - x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{(x^2 - 3x + 2) - x^2}{\sqrt{x^2 - 3x + 2} + x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{-3x + 2}{x(\sqrt{1 - ...} + 1)} = -\frac{3}{2}$. Асимптота: $y = x - \frac{3}{2}$.
При $x \to -\infty$ ($k=-1$): $b = \lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2 - 3x + 2} + x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{(x^2 - 3x + 2) - x^2}{\sqrt{x^2 - 3x + 2} - x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-3x + 2}{-x(\sqrt{1 - ...} + 1)} = \frac{-3}{-2} = \frac{3}{2}$. Асимптота: $y = -x + \frac{3}{2}$.

5. Построение графика.
График функции представляет собой две ветви, являющиеся верхней частью гиперболы $(x - \frac{3}{2})^2 - y^2 = \frac{1}{4}$.
- Отмечаем на оси Ox точки $(1, 0)$ и $(2, 0)$ - это "вершины" ветвей.
- Проводим наклонные асимптоты $y = x - 1.5$ и $y = -x + 1.5$.
- Правая ветвь начинается в точке $(2, 0)$ и с ростом $x$ приближается снизу к асимптоте $y = x - 1.5$.
- Левая ветвь начинается в точке $(1, 0)$ и с уменьшением $x$ приближается снизу к асимптоте $y = -x + 1.5$.
Ответ: График — верхние ветви гиперболы с центром в $(1.5, 0)$, вершинами в $(1, 0)$ и $(2, 0)$ и асимптотами $y = x - 1.5$ и $y = -x + 1.5$.

2) $y = \sqrt{x^2 + 5x - 6}$

1. Область определения.
$x^2 + 5x - 6 \geq 0$.
Корни уравнения $x^2 + 5x - 6 = 0$: $x_1 = -6$ и $x_2 = 1$.
Парабола ветвями вверх, поэтому $x \in (-\infty, -6] \cup [1, +\infty)$.
$D(y) = (-\infty, -6] \cup [1, +\infty)$.

2. Область значений. $E(y) = [0, +\infty)$.

3. Точки пересечения с осями.
При $x=-6$ и $x=1$, $y=0$. Точки пересечения с Ox: $(-6, 0)$ и $(1, 0)$.
$x=0$ не входит в область определения, пересечения с осью Oy нет.

4. Асимптоты.
Аналогично предыдущему пункту, ищем наклонные асимптоты $y = kx + b$.
$k_1 = \lim_{x \to +\infty} \frac{y}{x} = 1$.
$k_2 = \lim_{x \to -\infty} \frac{y}{x} = -1$.
При $x \to +\infty$: $b = \lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2 + 5x - 6} - x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{5x - 6}{\sqrt{x^2 + 5x - 6} + x} = \frac{5}{2}$. Асимптота: $y = x + \frac{5}{2}$.
При $x \to -\infty$: $b = \lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2 + 5x - 6} + x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{5x - 6}{\sqrt{x^2 + 5x - 6} - x} = \frac{5}{-2} = -\frac{5}{2}$. Асимптота: $y = -x - \frac{5}{2}$.

5. Построение графика.
График — верхняя часть гиперболы $(x + \frac{5}{2})^2 - y^2 = \frac{49}{4}$.
- Отмечаем вершины в точках $(-6, 0)$ и $(1, 0)$.
- Проводим асимптоты $y = x + 2.5$ и $y = -x - 2.5$.
- Правая ветвь начинается в $(1, 0)$ и при $x \to +\infty$ приближается к $y = x + 2.5$.
- Левая ветвь начинается в $(-6, 0)$ и при $x \to -\infty$ приближается к $y = -x - 2.5$.
Ответ: График — верхние ветви гиперболы с центром в $(-2.5, 0)$, вершинами в $(-6, 0)$ и $(1, 0)$ и асимптотами $y = x + 2.5$ и $y = -x - 2.5$.

3) $y = \frac{1}{x^2 + 7x - 8}$

1. Область определения.
Знаменатель не должен быть равен нулю: $x^2 + 7x - 8 \neq 0$.
Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -8$.
$D(y) = (-\infty, -8) \cup (-8, 1) \cup (1, +\infty)$.

2. Асимптоты.
Вертикальные асимптоты: $x = -8$ и $x = 1$.
Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x^2 + 7x - 8} = 0$, следовательно $y = 0$.

3. Экстремумы.
Найдем производную: $y' = - \frac{2x + 7}{(x^2 + 7x - 8)^2}$.
$y' = 0$ при $2x + 7 = 0$, то есть $x = -3.5$.
При $x < -3.5$, $y' > 0$ (функция возрастает).
При $x > -3.5$, $y' < 0$ (функция убывает).
Следовательно, $x = -3.5$ — точка локального максимума.
$y(-3.5) = \frac{1}{(-3.5)^2 + 7(-3.5) - 8} = \frac{1}{12.25 - 24.5 - 8} = \frac{1}{-20.25} = -\frac{4}{81}$.
Точка максимума: $(-3.5, -4/81)$.

4. Поведение около асимптот.
- При $x \to -8^-$: $y \to +\infty$. При $x \to -8^+$: $y \to -\infty$.
- При $x \to 1^-$: $y \to -\infty$. При $x \to 1^+$: $y \to +\infty$.

5. Построение графика.
- Проводим вертикальные асимптоты $x=-8$ и $x=1$, и горизонтальную $y=0$.
- На интервале $(-\infty, -8)$ график находится в верхней полуплоскости, приближаясь к $y=0$ при $x \to -\infty$ и уходя на $+\infty$ при $x \to -8^-$.
- На интервале $(-8, 1)$ график начинается от $-\infty$ при $x \to -8^+$, достигает максимума в точке $(-3.5, -4/81 \approx -0.05)$, пересекает ось Oy в точке $(0, -1/8 = -0.125)$ и уходит на $-\infty$ при $x \to 1^-$.
- На интервале $(1, +\infty)$ график начинается от $+\infty$ при $x \to 1^+$ и приближается к $y=0$ при $x \to +\infty$.
Ответ: График имеет вертикальные асимптоты $x=-8, x=1$ и горизонтальную асимптоту $y=0$. Локальный максимум в точке $(-3.5, -4/81)$.

4) $y = \frac{2}{2x^2 + 7x - 4}$

1. Область определения.
$2x^2 + 7x - 4 \neq 0$.
$D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81$.
$x = \frac{-7 \pm \sqrt{81}}{4}$, т.е. $x_1 = \frac{-7 - 9}{4} = -4$ и $x_2 = \frac{-7 + 9}{4} = \frac{1}{2}$.
$D(y) = (-\infty, -4) \cup (-4, 1/2) \cup (1/2, +\infty)$.

2. Асимптоты.
Вертикальные асимптоты: $x = -4$ и $x = 1/2$.
Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{2}{2x^2 + 7x - 4} = 0$, следовательно $y = 0$.

3. Экстремумы.
$y' = - \frac{2(4x + 7)}{(2x^2 + 7x - 4)^2}$.
$y' = 0$ при $4x + 7 = 0$, т.е. $x = -7/4 = -1.75$.
При $x < -1.75$, $y' > 0$ (возрастает). При $x > -1.75$, $y' < 0$ (убывает).
$x = -1.75$ — точка локального максимума.
$y(-1.75) = \frac{2}{2(-1.75)^2 + 7(-1.75) - 4} = \frac{2}{2(3.0625) - 12.25 - 4} = \frac{2}{6.125 - 12.25 - 4} = \frac{2}{-10.125} = \frac{2}{-81/8} = -\frac{16}{81}$.
Точка максимума: $(-1.75, -16/81)$.

4. Поведение около асимптот.
- При $x \to -4^-$: $y \to +\infty$. При $x \to -4^+$: $y \to -\infty$.
- При $x \to (1/2)^-$: $y \to -\infty$. При $x \to (1/2)^+$: $y \to +\infty$.

5. Построение графика.
- Проводим асимптоты $x=-4$, $x=0.5$ и $y=0$.
- На $(-\infty, -4)$ график идет из $y=0$ к $+\infty$.
- На $(-4, 0.5)$ график идет от $-\infty$, достигает максимума в $(-1.75, -16/81 \approx -0.2)$, пересекает Oy в $(0, -0.5)$ и уходит к $-\infty$.
- На $(0.5, +\infty)$ график идет от $+\infty$ и стремится к $y=0$.
Ответ: График имеет вертикальные асимптоты $x=-4, x=0.5$ и горизонтальную асимптоту $y=0$. Локальный максимум в точке $(-1.75, -16/81)$.