Номер 582, страница 192 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

582. Построить график функции:

1) $y=\sqrt{x^2 - 3x + 2}$;

2) $y=\sqrt{x^2 + 5x - 6}$;

3) $y=\frac{1}{x^2 + 7x - 8}$;

4) $y=\frac{2}{2x^2 + 7x - 4}$.

1) $y = \sqrt{x^2 - 3x + 2}$

Для построения графика функции, проведем ее исследование.

1. Область определения функции.
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x^2 - 3x + 2 \geq 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.
Парабола $z = x^2 - 3x + 2$ ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 1] \cup [2, +\infty)$. Это и есть область определения функции $D(y)$.

2. Область значений.
Так как корень квадратный всегда неотрицателен, $y \geq 0$. Область значений $E(y) = [0, +\infty)$.

3. Точки пересечения с осями.
При $x=1$ и $x=2$, $y=0$. Точки пересечения с осью Ox: $(1, 0)$ и $(2, 0)$.
При $x=0$, $y=\sqrt{2}$. Точка пересечения с осью Oy: $(0, \sqrt{2})$.

4. Асимптоты.
Вертикальных асимптот нет.
Найдем наклонные асимптоты вида $y = kx + b$.
$k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{\sqrt{x^2 - 3x + 2}}{x}$.
При $x \to +\infty$: $k = \lim_{x \to +\infty} \frac{x\sqrt{1 - 3/x + 2/x^2}}{x} = 1$.
При $x \to -\infty$: $k = \lim_{x \to -\infty} \frac{-x\sqrt{1 - 3/x + 2/x^2}}{x} = -1$.
Теперь найдем $b = \lim_{x \to \pm\infty} (y - kx)$.
При $x \to +\infty$ ($k=1$): $b = \lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2 - 3x + 2} - x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{(x^2 - 3x + 2) - x^2}{\sqrt{x^2 - 3x + 2} + x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{-3x + 2}{x(\sqrt{1 - ...} + 1)} = -\frac{3}{2}$. Асимптота: $y = x - \frac{3}{2}$.
При $x \to -\infty$ ($k=-1$): $b = \lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2 - 3x + 2} + x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{(x^2 - 3x + 2) - x^2}{\sqrt{x^2 - 3x + 2} - x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-3x + 2}{-x(\sqrt{1 - ...} + 1)} = \frac{-3}{-2} = \frac{3}{2}$. Асимптота: $y = -x + \frac{3}{2}$.

5. Построение графика.
График функции представляет собой две ветви, являющиеся верхней частью гиперболы $(x - \frac{3}{2})^2 - y^2 = \frac{1}{4}$.
- Отмечаем на оси Ox точки $(1, 0)$ и $(2, 0)$ - это "вершины" ветвей.
- Проводим наклонные асимптоты $y = x - 1.5$ и $y = -x + 1.5$.
- Правая ветвь начинается в точке $(2, 0)$ и с ростом $x$ приближается снизу к асимптоте $y = x - 1.5$.
- Левая ветвь начинается в точке $(1, 0)$ и с уменьшением $x$ приближается снизу к асимптоте $y = -x + 1.5$.
Ответ: График — верхние ветви гиперболы с центром в $(1.5, 0)$, вершинами в $(1, 0)$ и $(2, 0)$ и асимптотами $y = x - 1.5$ и $y = -x + 1.5$.

2) $y = \sqrt{x^2 + 5x - 6}$

1. Область определения.
$x^2 + 5x - 6 \geq 0$.
Корни уравнения $x^2 + 5x - 6 = 0$: $x_1 = -6$ и $x_2 = 1$.
Парабола ветвями вверх, поэтому $x \in (-\infty, -6] \cup [1, +\infty)$.
$D(y) = (-\infty, -6] \cup [1, +\infty)$.

2. Область значений. $E(y) = [0, +\infty)$.

3. Точки пересечения с осями.
При $x=-6$ и $x=1$, $y=0$. Точки пересечения с Ox: $(-6, 0)$ и $(1, 0)$.
$x=0$ не входит в область определения, пересечения с осью Oy нет.

4. Асимптоты.
Аналогично предыдущему пункту, ищем наклонные асимптоты $y = kx + b$.
$k_1 = \lim_{x \to +\infty} \frac{y}{x} = 1$.
$k_2 = \lim_{x \to -\infty} \frac{y}{x} = -1$.
При $x \to +\infty$: $b = \lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2 + 5x - 6} - x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{5x - 6}{\sqrt{x^2 + 5x - 6} + x} = \frac{5}{2}$. Асимптота: $y = x + \frac{5}{2}$.
При $x \to -\infty$: $b = \lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2 + 5x - 6} + x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{5x - 6}{\sqrt{x^2 + 5x - 6} - x} = \frac{5}{-2} = -\frac{5}{2}$. Асимптота: $y = -x - \frac{5}{2}$.

5. Построение графика.
График — верхняя часть гиперболы $(x + \frac{5}{2})^2 - y^2 = \frac{49}{4}$.
- Отмечаем вершины в точках $(-6, 0)$ и $(1, 0)$.
- Проводим асимптоты $y = x + 2.5$ и $y = -x - 2.5$.
- Правая ветвь начинается в $(1, 0)$ и при $x \to +\infty$ приближается к $y = x + 2.5$.
- Левая ветвь начинается в $(-6, 0)$ и при $x \to -\infty$ приближается к $y = -x - 2.5$.
Ответ: График — верхние ветви гиперболы с центром в $(-2.5, 0)$, вершинами в $(-6, 0)$ и $(1, 0)$ и асимптотами $y = x + 2.5$ и $y = -x - 2.5$.

3) $y = \frac{1}{x^2 + 7x - 8}$

1. Область определения.
Знаменатель не должен быть равен нулю: $x^2 + 7x - 8 \neq 0$.
Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -8$.
$D(y) = (-\infty, -8) \cup (-8, 1) \cup (1, +\infty)$.

2. Асимптоты.
Вертикальные асимптоты: $x = -8$ и $x = 1$.
Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x^2 + 7x - 8} = 0$, следовательно $y = 0$.

3. Экстремумы.
Найдем производную: $y' = - \frac{2x + 7}{(x^2 + 7x - 8)^2}$.
$y' = 0$ при $2x + 7 = 0$, то есть $x = -3.5$.
При $x < -3.5$, $y' > 0$ (функция возрастает).
При $x > -3.5$, $y' < 0$ (функция убывает).
Следовательно, $x = -3.5$ — точка локального максимума.
$y(-3.5) = \frac{1}{(-3.5)^2 + 7(-3.5) - 8} = \frac{1}{12.25 - 24.5 - 8} = \frac{1}{-20.25} = -\frac{4}{81}$.
Точка максимума: $(-3.5, -4/81)$.

4. Поведение около асимптот.
- При $x \to -8^-$: $y \to +\infty$. При $x \to -8^+$: $y \to -\infty$.
- При $x \to 1^-$: $y \to -\infty$. При $x \to 1^+$: $y \to +\infty$.

5. Построение графика.
- Проводим вертикальные асимптоты $x=-8$ и $x=1$, и горизонтальную $y=0$.
- На интервале $(-\infty, -8)$ график находится в верхней полуплоскости, приближаясь к $y=0$ при $x \to -\infty$ и уходя на $+\infty$ при $x \to -8^-$.
- На интервале $(-8, 1)$ график начинается от $-\infty$ при $x \to -8^+$, достигает максимума в точке $(-3.5, -4/81 \approx -0.05)$, пересекает ось Oy в точке $(0, -1/8 = -0.125)$ и уходит на $-\infty$ при $x \to 1^-$.
- На интервале $(1, +\infty)$ график начинается от $+\infty$ при $x \to 1^+$ и приближается к $y=0$ при $x \to +\infty$.
Ответ: График имеет вертикальные асимптоты $x=-8, x=1$ и горизонтальную асимптоту $y=0$. Локальный максимум в точке $(-3.5, -4/81)$.

4) $y = \frac{2}{2x^2 + 7x - 4}$

1. Область определения.
$2x^2 + 7x - 4 \neq 0$.
$D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81$.
$x = \frac{-7 \pm \sqrt{81}}{4}$, т.е. $x_1 = \frac{-7 - 9}{4} = -4$ и $x_2 = \frac{-7 + 9}{4} = \frac{1}{2}$.
$D(y) = (-\infty, -4) \cup (-4, 1/2) \cup (1/2, +\infty)$.

2. Асимптоты.
Вертикальные асимптоты: $x = -4$ и $x = 1/2$.
Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{2}{2x^2 + 7x - 4} = 0$, следовательно $y = 0$.

3. Экстремумы.
$y' = - \frac{2(4x + 7)}{(2x^2 + 7x - 4)^2}$.
$y' = 0$ при $4x + 7 = 0$, т.е. $x = -7/4 = -1.75$.
При $x < -1.75$, $y' > 0$ (возрастает). При $x > -1.75$, $y' < 0$ (убывает).
$x = -1.75$ — точка локального максимума.
$y(-1.75) = \frac{2}{2(-1.75)^2 + 7(-1.75) - 4} = \frac{2}{2(3.0625) - 12.25 - 4} = \frac{2}{6.125 - 12.25 - 4} = \frac{2}{-10.125} = \frac{2}{-81/8} = -\frac{16}{81}$.
Точка максимума: $(-1.75, -16/81)$.

4. Поведение около асимптот.
- При $x \to -4^-$: $y \to +\infty$. При $x \to -4^+$: $y \to -\infty$.
- При $x \to (1/2)^-$: $y \to -\infty$. При $x \to (1/2)^+$: $y \to +\infty$.

5. Построение графика.
- Проводим асимптоты $x=-4$, $x=0.5$ и $y=0$.
- На $(-\infty, -4)$ график идет из $y=0$ к $+\infty$.
- На $(-4, 0.5)$ график идет от $-\infty$, достигает максимума в $(-1.75, -16/81 \approx -0.2)$, пересекает Oy в $(0, -0.5)$ и уходит к $-\infty$.
- На $(0.5, +\infty)$ график идет от $+\infty$ и стремится к $y=0$.
Ответ: График имеет вертикальные асимптоты $x=-4, x=0.5$ и горизонтальную асимптоту $y=0$. Локальный максимум в точке $(-1.75, -16/81)$.