Номер 575, страница 191 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

575. Найти область определения и множество значений функции, обратной к данной:

1) $y = \frac{1}{4}x - 7$;

2) $y = (x-1)^3$;

3) $y = \frac{3}{x-4}$.

1)

Для нахождения области определения и множества значений функции, обратной к данной, воспользуемся свойством: область определения обратной функции совпадает с множеством значений исходной функции, а множество значений обратной функции совпадает с областью определения исходной функции.

Дана функция $y = \frac{1}{4}x - 7$. Это линейная функция.

Область определения $D(y)$ данной функции — все действительные числа, так как выражение $\frac{1}{4}x - 7$ определено для любого $x$.

$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений $E(y)$ линейной функции (с ненулевым угловым коэффициентом) также является множеством всех действительных чисел.

$E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Следовательно, для обратной функции:

Область определения: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Ответ: область определения: $(-\infty; +\infty)$; множество значений: $(-\infty; +\infty)$.

2)

Дана функция $y = (x - 1)^3$. Это кубическая функция.

Область определения $D(y)$ данной функции — все действительные числа, так как выражение $(x - 1)^3$ определено для любого $x$.

$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений $E(y)$ кубической функции — все действительные числа.

$E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Следовательно, для обратной функции:

Область определения: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Ответ: область определения: $(-\infty; +\infty)$; множество значений: $(-\infty; +\infty)$.

3)

Дана функция $y = \frac{3}{x - 4}$. Это дробно-рациональная функция.

Область определения $D(y)$ данной функции определяется условием, что знаменатель дроби не равен нулю.

$x - 4 \neq 0 \implies x \neq 4$.

Таким образом, $D(y) = (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$.

Чтобы найти множество значений $E(y)$, выразим $x$ через $y$:

$y(x - 4) = 3$

$x - 4 = \frac{3}{y}$

$x = \frac{3}{y} + 4$

Из полученного выражения видно, что $y$ не может быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя.

Таким образом, $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Следовательно, для обратной функции:

Область определения равна множеству значений исходной функции: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Множество значений равно области определения исходной функции: $(-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$.

Ответ: область определения: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$; множество значений: $(-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$.