Номер 578, страница 191 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Задача состоит в том, чтобы для каждой сложной функции $y = f(\varphi(x))$ найти её составляющие: внутреннюю функцию $\varphi(x)$ и внешнюю функцию $f(\varphi)$. Внутренняя функция — это та, которая применяется к аргументу $x$ первой, а внешняя — та, которая применяется к результату внутренней функции.

В функции $y = \sqrt[3]{x^2 - x}$ мы можем определить внутреннюю и внешнюю функции, проанализировав порядок вычислений. Сначала вычисляется значение выражения, стоящего под знаком корня, $x^2 - x$. Затем из этого значения извлекается кубический корень. Таким образом, выражение под корнем является внутренней функцией, а операция извлечения корня — внешней.

Внутренняя функция: $\varphi(x) = x^2 - x$.

Если мы обозначим результат внутренней функции как $\varphi = x^2 - x$, то исходная функция примет вид $y = \sqrt[3]{\varphi}$.

Следовательно, внешняя функция, которая применяется к $\varphi$, есть $f(\varphi) = \sqrt[3]{\varphi}$.

Ответ: внутренняя функция $\varphi(x) = x^2 - x$, внешняя функция $f(\varphi) = \sqrt[3]{\varphi}$.

Для функции $y = \frac{1}{x^3 + 3}$ сначала вычисляется значение знаменателя дроби, $x^3 + 3$. Затем для полученного результата находится обратная величина (единица делится на результат). Следовательно, выражение в знаменателе является внутренней функцией.

Внутренняя функция: $\varphi(x) = x^3 + 3$.

Обозначив $\varphi = x^3 + 3$, мы можем переписать исходную функцию как $y = \frac{1}{\varphi}$.

Таким образом, внешняя функция, представляющая собой операцию взятия обратной величины, будет $f(\varphi) = \frac{1}{\varphi}$.

Ответ: внутренняя функция $\varphi(x) = x^3 + 3$, внешняя функция $f(\varphi) = \frac{1}{\varphi}$.

Функция $y = \frac{1}{\sqrt{x+1}}$ является композицией нескольких операций. Чтобы разложить ее на одну внутреннюю и одну внешнюю функцию, определим последнюю по порядку операцию. В данном случае это взятие обратной величины от выражения $\sqrt{x+1}$. Это определяет внешнюю функцию.

Аргументом для этой последней операции (внешней функции) является выражение $\sqrt{x+1}$. Таким образом, это и будет наша внутренняя функция.

Внутренняя функция: $\varphi(x) = \sqrt{x+1}$.

Если обозначить $\varphi = \sqrt{x+1}$, то исходная функция запишется в виде $y = \frac{1}{\varphi}$.

Следовательно, внешняя функция — это $f(\varphi) = \frac{1}{\varphi}$.

(Примечание: возможен и другой способ разложения, например, $\varphi(x) = x+1$ и $f(\varphi) = \frac{1}{\sqrt{\varphi}}$, но представленный вариант чаще используется, так как он разбивает исходную функцию на более простые и стандартные компоненты).

Ответ: внутренняя функция $\varphi(x) = \sqrt{x+1}$, внешняя функция $f(\varphi) = \frac{1}{\varphi}$.

В функции $y = \sqrt{x^5 + 3}$ логика аналогична первому примеру. Сначала вычисляется подкоренное выражение, $x^5 + 3$, а затем из результата извлекается квадратный корень. Это означает, что подкоренное выражение является внутренней функцией.

Внутренняя функция: $\varphi(x) = x^5 + 3$.

При обозначении $\varphi = x^5 + 3$, исходная функция принимает вид $y = \sqrt{\varphi}$.

Следовательно, внешняя функция, которая извлекает квадратный корень из своего аргумента, есть $f(\varphi) = \sqrt{\varphi}$.

Ответ: внутренняя функция $\varphi(x) = x^5 + 3$, внешняя функция $f(\varphi) = \sqrt{\varphi}$.