Номер 583, страница 194 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

583. Построить график функции, указать её область определения, множество значений, промежутки монотонности:

1) $y = -\frac{2}{x}$;

2) $y = \frac{3}{x+2}$;

3) $y = 1 - \frac{3}{x}$.

1) $y = -\frac{2}{x}$

Построение графика:

Графиком функции является гипербола. Это функция вида $y = \frac{k}{x}$ с коэффициентом $k = -2$.

Поскольку $k < 0$, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях.

Асимптоты графика — оси координат:

• Вертикальная асимптота: $x = 0$ (ось Oy).
• Горизонтальная асимптота: $y = 0$ (ось Ox).

Составим таблицу значений для построения графика:

График симметричен относительно начала координат.

Область определения:

Функция определена для всех значений $x$, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль.

$x \neq 0$.

Следовательно, область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Множество значений:

Для функции вида $y = \frac{k}{x}$, где $k \neq 0$, $y$ не может быть равен нулю.

Множество значений: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Промежутки монотонности:

Найдем производную функции: $y' = (-\frac{2}{x})' = (-2x^{-1})' = -2 \cdot (-1)x^{-2} = \frac{2}{x^2}$.

Так как $x^2 > 0$ для всех $x$ из области определения, то $y' > 0$.

Следовательно, функция возрастает на всей области определения.

Промежутки возрастания: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

Ответ:

Область определения: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Множество значений: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Промежутки монотонности: функция возрастает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

2) $y = \frac{3}{x+2}$

Построение графика:

График этой функции можно получить из графика функции $y = \frac{3}{x}$ путем сдвига влево на 2 единицы вдоль оси Ox.

Графиком является гипербола. Коэффициент $k=3 > 0$, поэтому ветви гиперболы расположены в I и III четвертях относительно своих асимптот.

Асимптоты графика:

• Вертикальная асимптота: $x+2 = 0 \implies x = -2$.
• Горизонтальная асимптота: $y = 0$.

Составим таблицу значений для построения графика:

Область определения:

Функция определена для всех значений $x$, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль.

$x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$.

Следовательно, область определения: $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

Множество значений:

Функция является результатом сдвига функции $y = \frac{3}{x}$, множество значений которой $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Сдвиг по горизонтали не влияет на множество значений.

Множество значений: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Промежутки монотонности:

Найдем производную функции: $y' = (\frac{3}{x+2})' = (3(x+2)^{-1})' = 3 \cdot (-1)(x+2)^{-2} = -\frac{3}{(x+2)^2}$.

Так как $(x+2)^2 > 0$ для всех $x$ из области определения, то $y' < 0$.

Следовательно, функция убывает на всей области определения.

Промежутки убывания: $(-\infty; -2)$ и $(-2; +\infty)$.

Ответ:

Область определения: $(-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

Множество значений: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Промежутки монотонности: функция убывает на промежутках $(-\infty; -2)$ и $(-2; +\infty)$.

3) $y = 1 - \frac{3}{x}$

Построение графика:

Перепишем функцию в виде $y = -\frac{3}{x} + 1$. График этой функции можно получить из графика функции $y = -\frac{3}{x}$ путем сдвига вверх на 1 единицу вдоль оси Oy.

Графиком является гипербола. Для базовой функции $y = -\frac{3}{x}$ коэффициент $k=-3 < 0$, поэтому ветви расположены во II и IV четвертях относительно своих асимптот.

Асимптоты графика:

• Вертикальная асимптота: $x = 0$ (ось Oy).
• Горизонтальная асимптота: $y = 1$.

Найдем точку пересечения с осью Ox ($y=0$): $0 = 1 - \frac{3}{x} \implies \frac{3}{x} = 1 \implies x = 3$. Точка (3; 0).

Составим таблицу значений для построения графика:

Область определения:

Функция определена для всех значений $x$, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль.

$x \neq 0$.

Следовательно, область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Множество значений:

Выразим $x$ через $y$: $y-1 = -\frac{3}{x} \implies x = -\frac{3}{y-1} = \frac{3}{1-y}$.

Знаменатель не может быть равен нулю: $1-y \neq 0 \implies y \neq 1$.

Множество значений: $E(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

Промежутки монотонности:

Найдем производную функции: $y' = (1 - 3x^{-1})' = 0 - 3 \cdot (-1)x^{-2} = \frac{3}{x^2}$.

Так как $x^2 > 0$ для всех $x$ из области определения, то $y' > 0$.

Следовательно, функция возрастает на всей области определения.

Промежутки возрастания: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

Ответ:

Область определения: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Множество значений: $(-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

Промежутки монотонности: функция возрастает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.