Номер 576, страница 191 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

576. Функция $y = f(x)$ задана графиком (рис. 76). Построить график функции, обратной к данной.

а) $y = f(x)$

в) $y = f(x)$

б) $y = f(x)$

г) $y = f(x)$

Рис. 76

Для построения графика функции, обратной к данной, необходимо отразить исходный график симметрично относительно прямой $y=x$. Это означает, что каждая точка с координатами $(a, b)$ на графике исходной функции $y=f(x)$ переходит в точку с координатами $(b, a)$ на графике обратной функции $y=f^{-1}(x)$. При этом область определения исходной функции становится областью значений обратной, а область значений исходной функции становится областью определения обратной.

а)

1. Анализируем исходную функцию $y=f(x)$.
- Область определения (промежуток по оси $x$): $D(f) = [-1, 1]$.
- Область значений (промежуток по оси $y$): $E(f) = [1, 4]$.
- Функция является убывающей.
- Ключевые точки на графике (концы отрезка): $(-1, 4)$ и $(1, 1)$.

2. Находим свойства обратной функции $y=f^{-1}(x)$.
- Область определения обратной функции: $D(f^{-1}) = E(f) = [1, 4]$.
- Область значений обратной функции: $E(f^{-1}) = D(f) = [-1, 1]$.
- Так как исходная функция монотонно убывает, обратная функция также будет монотонно убывающей.
- Ключевые точки для графика обратной функции получаются заменой координат: точка $(-1, 4)$ переходит в $(4, -1)$, а точка $(1, 1)$ переходит в $(1, 1)$.

3. Для построения графика обратной функции нужно нанести на координатную плоскость точки $(4, -1)$ и $(1, 1)$ и соединить их плавной убывающей кривой, которая будет симметрична исходной относительно прямой $y=x$.

Ответ: График обратной функции — это кривая, соединяющая точки $(1, 1)$ и $(4, -1)$. Область определения функции — $[1, 4]$, область значений — $[-1, 1]$.

б)

1. Анализируем исходную функцию $y=f(x)$.
- Область определения: $D(f) = [-2, 2]$.
- Область значений: $E(f) = [1/4, 4]$.
- Функция является убывающей.
- Ключевые точки на графике: $(-2, 4)$, $(0, 1)$ и $(2, 1/4)$.

2. Находим свойства обратной функции $y=f^{-1}(x)$.
- Область определения: $D(f^{-1}) = [1/4, 4]$.
- Область значений: $E(f^{-1}) = [-2, 2]$.
- Обратная функция также является убывающей.
- Ключевые точки: точка $(-2, 4)$ переходит в $(4, -2)$, точка $(0, 1)$ в $(1, 0)$, и точка $(2, 1/4)$ в $(1/4, 2)$.

3. Для построения графика обратной функции нужно нанести на координатную плоскость точки $(4, -2)$, $(1, 0)$, $(1/4, 2)$ и соединить их плавной убывающей кривой.

Ответ: График обратной функции — это кривая, проходящая через точки $(1/4, 2)$, $(1, 0)$ и $(4, -2)$. Область определения — $[1/4, 4]$, область значений — $[-2, 2]$.

в)

1. Анализируем исходную функцию $y=f(x)$.
- Область определения: $D(f) = [-2, 1]$.
- Область значений: $E(f) = [0, 2]$.
- Функция является возрастающей.
- Ключевые точки на графике: $(-2, 0)$ и $(1, 2)$.

2. Находим свойства обратной функции $y=f^{-1}(x)$.
- Область определения: $D(f^{-1}) = [0, 2]$.
- Область значений: $E(f^{-1}) = [-2, 1]$.
- Обратная функция также является возрастающей.
- Ключевые точки: точка $(-2, 0)$ переходит в $(0, -2)$, а точка $(1, 2)$ переходит в $(2, 1)$.

3. Для построения графика обратной функции нужно нанести на координатную плоскость точки $(0, -2)$ и $(2, 1)$ и соединить их плавной возрастающей кривой.

Ответ: График обратной функции — это кривая, соединяющая точки $(0, -2)$ и $(2, 1)$. Область определения — $[0, 2]$, область значений — $[-2, 1]$.

г)

1. Анализируем исходную функцию $y=f(x)$.
- Область определения: $D(f) = [-2, 0]$.
- Область значений: $E(f) = [0, 4]$.
- Функция является возрастающей.
- Ключевые точки на графике: $(-2, 0)$, $(-1, 1)$ и $(0, 4)$.

2. Находим свойства обратной функции $y=f^{-1}(x)$.
- Область определения: $D(f^{-1}) = [0, 4]$.
- Область значений: $E(f^{-1}) = [-2, 0]$.
- Обратная функция также является возрастающей.
- Ключевые точки: точка $(-2, 0)$ переходит в $(0, -2)$, точка $(-1, 1)$ в $(1, -1)$, и точка $(0, 4)$ в $(4, 0)$.

3. Для построения графика обратной функции нужно нанести на координатную плоскость точки $(0, -2)$, $(1, -1)$, $(4, 0)$ и соединить их плавной возрастающей кривой.

Ответ: График обратной функции — это кривая, проходящая через точки $(0, -2)$, $(1, -1)$ и $(4, 0)$. Область определения — $[0, 4]$, область значений — $[-2, 0]$.