Номер 571, страница 185 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

571. Вес тела изменяется прямо пропорционально его расстоянию от центра Земли, если тело находится внутри Земли, и обратно пропорционально квадрату расстояния до центра Земли, если оно находится над поверхностью Земли.

1) Схематически изобразить график изменения веса тела как функции его расстояния от центра Земли, предполагая, что на поверхности Земли вес тела равен 100 кг.

2) На каком расстоянии от центра Земли (но над её поверхностью) тело будет иметь тот же вес, что и на расстоянии 1600 км от центра Земли? (Принять диаметр Земли равным 12 800 км.)

Для решения задачи введем следующие обозначения:
$P$ – вес тела в кг (по условию задачи вес измеряется в килограммах, хотя это единица массы; будем следовать условию).
$r$ – расстояние от центра Земли в км.
$R$ – радиус Земли.
$P_0$ – вес тела на поверхности Земли, $P_0 = 100$ кг.

Из условия известно, что диаметр Земли равен 12 800 км. Следовательно, радиус Земли: $R = \frac{12800 \text{ км}}{2} = 6400 \text{ км}$

1) Схематически изобразить график изменения веса тела как функции его расстояния от центра Земли, предполагая, что на поверхности Земли вес тела равен 100 кг.

Разобьем задачу на два случая в соответствии с условием.

Случай 1: Тело находится внутри Земли ($0 \le r \le R$)
Вес тела ($P_{вн}$) прямо пропорционален расстоянию от центра Земли ($r$). Это можно записать в виде формулы: $P_{вн}(r) = k_1 \cdot r$, где $k_1$ – коэффициент пропорциональности. Чтобы найти $k_1$, воспользуемся известным значением веса на поверхности Земли, где $r=R=6400$ км, а вес $P(R) = P_0 = 100$ кг. $100 = k_1 \cdot 6400$ $k_1 = \frac{100}{6400} = \frac{1}{64}$ Таким образом, для $0 \le r \le 6400$ км функция веса имеет вид: $P_{вн}(r) = \frac{1}{64}r$ График этой функции – прямая линия, проходящая через начало координат (0,0) и точку (6400, 100).

Случай 2: Тело находится над поверхностью Земли ($r > R$)
Вес тела ($P_{внеш}$) обратно пропорционален квадрату расстояния до центра Земли ($r$). Это можно записать в виде формулы: $P_{внеш}(r) = \frac{k_2}{r^2}$, где $k_2$ – другой коэффициент пропорциональности. Для нахождения $k_2$ снова используем данные на поверхности ($r=R=6400$ км, $P(R) = 100$ кг). $100 = \frac{k_2}{6400^2}$ $k_2 = 100 \cdot 6400^2 = 100 \cdot (6.4 \cdot 10^3)^2 = 100 \cdot 40.96 \cdot 10^6 = 4.096 \cdot 10^9$ Таким образом, для $r > 6400$ км функция веса имеет вид: $P_{внеш}(r) = \frac{100 \cdot 6400^2}{r^2} = 100 \left(\frac{6400}{r}\right)^2$ График этой функции – ветвь гиперболы, убывающая с ростом $r$ и асимптотически приближающаяся к нулю.

Схематический график: Оси координат: горизонтальная ось – расстояние $r$ (в км), вертикальная ось – вес $P$ (в кг).

• От $r=0$ до $r=6400$ км график представляет собой прямую линию, идущую из точки (0, 0) в точку (6400, 100).
• При $r=6400$ км вес достигает своего максимального значения – 100 кг.
• При $r > 6400$ км график представляет собой кривую, которая начинается в точке (6400, 100) и плавно убывает, стремясь к нулю по мере увеличения $r$.

Ответ: График зависимости веса тела от расстояния до центра Земли представляет собой ломаную линию, состоящую из отрезка прямой от (0, 0) до (6400, 100) и ветви гиперболы, убывающей от точки (6400, 100) при $r \to \infty$.

2) На каком расстоянии от центра Земли (но над её поверхностью) тело будет иметь тот же вес, что и на расстоянии 1600 км от центра Земли?

Шаг 1: Найдем вес тела на расстоянии 1600 км от центра Земли.
Поскольку $1600 \text{ км} < R = 6400 \text{ км}$, тело находится внутри Земли. Используем формулу для веса внутри Земли: $P_{вн}(r) = \frac{1}{64}r$ Подставим $r = 1600$ км: $P_{вн}(1600) = \frac{1}{64} \cdot 1600 = \frac{1600}{64} = 25 \text{ кг}$

Шаг 2: Найдем расстояние над поверхностью Земли, где вес тела также равен 25 кг.
Теперь мы ищем такое расстояние $r_{внеш} > R$, что $P_{внеш}(r_{внеш}) = 25$ кг. Используем формулу для веса над поверхностью Земли: $P_{внеш}(r) = \frac{100 \cdot 6400^2}{r^2}$ Приравняем это выражение к 25 кг и решим уравнение относительно $r_{внеш}$: $25 = \frac{100 \cdot 6400^2}{r_{внеш}^2}$ $r_{внеш}^2 = \frac{100 \cdot 6400^2}{25}$ $r_{внеш}^2 = 4 \cdot 6400^2$ Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения: $r_{внеш} = \sqrt{4 \cdot 6400^2} = 2 \cdot 6400 = 12800 \text{ км}$ Это расстояние от центра Земли. Условие, что тело находится над поверхностью ($r_{внеш} > R$), выполняется, так как $12800 \text{ км} > 6400 \text{ км}$.

Ответ: На расстоянии 12 800 км от центра Земли тело будет иметь тот же вес, что и на расстоянии 1600 км от центра.