Номер 569, страница 184 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

569. Найти координаты точки пересечения графиков функций:

1) $y = \sqrt[5]{x}$ и $y = x^{\frac{3}{5}}$;

2) $y = \sqrt[7]{x}$ и $y = x^{\frac{5}{7}}$

1) Для нахождения координат точек пересечения графиков функций $y = \sqrt[5]{x}$ и $y = x^{\frac{3}{5}}$, необходимо приравнять правые части уравнений, так как в точках пересечения значения $y$ и $x$ у обоих графиков совпадают.

Перепишем функцию $y = \sqrt[5]{x}$ в виде степенной функции: $y = x^{\frac{1}{5}}$.

Теперь приравняем выражения для $y$:

$x^{\frac{1}{5}} = x^{\frac{3}{5}}$

Заметим, что обе функции определены для всех действительных чисел $x$, так как показатель корня (5) является нечетным числом.

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

$x^{\frac{3}{5}} - x^{\frac{1}{5}} = 0$

Вынесем общий множитель $x^{\frac{1}{5}}$ за скобки:

$x^{\frac{1}{5}}(x^{\frac{2}{5}} - 1) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1. $x^{\frac{1}{5}} = 0$. Возведя обе части в 5-ю степень, получаем $x = 0$.

2. $x^{\frac{2}{5}} - 1 = 0$, что равносильно $x^{\frac{2}{5}} = 1$. Это уравнение можно записать как $(\sqrt[5]{x})^2 = 1$. Отсюда следует, что $\sqrt[5]{x} = 1$ или $\sqrt[5]{x} = -1$.

- Если $\sqrt[5]{x} = 1$, то, возведя обе части в 5-ю степень, получаем $x = 1^5 = 1$.

- Если $\sqrt[5]{x} = -1$, то, возведя обе части в 5-ю степень, получаем $x = (-1)^5 = -1$.

Таким образом, мы нашли три возможных значения абсциссы $x$: $0$, $1$ и $-1$. Теперь найдем соответствующие значения ординаты $y$, подставив эти значения в любую из исходных функций, например, в $y = \sqrt[5]{x}$.

- При $x = 0$, $y = \sqrt[5]{0} = 0$. Координаты точки: $(0; 0)$.

- При $x = 1$, $y = \sqrt[5]{1} = 1$. Координаты точки: $(1; 1)$.

- При $x = -1$, $y = \sqrt[5]{-1} = -1$. Координаты точки: $(-1; -1)$.

Проверим эти значения по второй функции $y = x^{\frac{3}{5}}$:

- При $x = 0$, $y = 0^{\frac{3}{5}} = 0$.

- При $x = 1$, $y = 1^{\frac{3}{5}} = 1$.

- При $x = -1$, $y = (-1)^{\frac{3}{5}} = (\sqrt[5]{-1})^3 = (-1)^3 = -1$.

Все значения совпадают.

Ответ: $(0; 0)$, $(1; 1)$, $(-1; -1)$.

2) Аналогично первому пункту, найдем координаты точек пересечения графиков функций $y = \sqrt[7]{x}$ и $y = x^{\frac{5}{7}}$.

Приравняем правые части уравнений. Представим $y = \sqrt[7]{x}$ в виде $y = x^{\frac{1}{7}}$.

$x^{\frac{1}{7}} = x^{\frac{5}{7}}$

Обе функции определены для всех $x \in \mathbb{R}$, так как показатель корня (7) нечетный.

Перенесем все члены в одну сторону и решим уравнение:

$x^{\frac{5}{7}} - x^{\frac{1}{7}} = 0$

Вынесем общий множитель $x^{\frac{1}{7}}$:

$x^{\frac{1}{7}}(x^{\frac{4}{7}} - 1) = 0$

Рассмотрим два случая:

1. $x^{\frac{1}{7}} = 0$. Возведя обе части в 7-ю степень, получаем $x = 0$.

2. $x^{\frac{4}{7}} - 1 = 0$, то есть $x^{\frac{4}{7}} = 1$. Это уравнение можно записать как $(\sqrt[7]{x})^4 = 1$. Отсюда следует, что $\sqrt[7]{x} = 1$ или $\sqrt[7]{x} = -1$.

- Если $\sqrt[7]{x} = 1$, то $x = 1^7 = 1$.

- Если $\sqrt[7]{x} = -1$, то $x = (-1)^7 = -1$.

Мы получили три значения для абсциссы $x$: $0$, $1$ и $-1$. Найдем соответствующие ординаты $y$ с помощью функции $y = \sqrt[7]{x}$.

- При $x = 0$, $y = \sqrt[7]{0} = 0$. Координаты точки: $(0; 0)$.

- При $x = 1$, $y = \sqrt[7]{1} = 1$. Координаты точки: $(1; 1)$.

- При $x = -1$, $y = \sqrt[7]{-1} = -1$. Координаты точки: $(-1; -1)$.

Проверка по второй функции $y = x^{\frac{5}{7}}$ дает те же результаты.

Ответ: $(0; 0)$, $(1; 1)$, $(-1; -1)$.