Номер 570, страница 185 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

570. Начальная масса тела $(m_0)$ при движении этого тела со скоростью $v$ меняется и достигает значения $m$, вычисляемого по формуле $m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$, где $c$ — скорость света, $c \approx 3 \cdot 10^5$ км/с.

Как изменится начальная масса тела при движении со скоростью, равной половине величины скорости света?

Чтобы определить, как изменится масса тела, воспользуемся формулой для релятивистской массы, приведенной в условии задачи:

$m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

Здесь $m_0$ — это начальная масса тела (масса покоя), $m$ — масса тела при движении со скоростью $v$, а $c$ — скорость света.

По условию, скорость тела равна половине величины скорости света. Запишем это соотношение:

$v = \frac{1}{2}c$ или $v = \frac{c}{2}$

Теперь подставим это значение скорости $v$ в исходную формулу для массы:

$m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{(\frac{c}{2})^2}{c^2}}}$

Далее проведем упрощение выражения в знаменателе. Сначала возведем в квадрат скорость $v$:

$(\frac{c}{2})^2 = \frac{c^2}{4}$

Подставим результат обратно в формулу:

$m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{c^2/4}{c^2}}}$

Сократим $c^2$ в дроби под корнем:

$m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{1}{4}}}$

Вычислим значение подкоренного выражения:

$m = \frac{m_0}{\sqrt{\frac{3}{4}}}$

Извлечем квадратный корень из знаменателя:

$m = \frac{m_0}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

Чтобы найти итоговое значение массы $m$, разделим $m_0$ на полученную дробь (что эквивалентно умножению на перевернутую дробь):

$m = m_0 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}$

Для более стандартной формы записи избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$m = m_0 \cdot \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = m_0 \cdot \frac{2\sqrt{3}}{3}$

Таким образом, масса тела $m$ при движении со скоростью, равной половине скорости света, будет в $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ раз больше начальной массы $m_0$. Приблизительное значение этого множителя составляет $1.155$.

Ответ: При движении со скоростью, равной половине величины скорости света, масса тела увеличится в $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ раза.