Номер 573, страница 191 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

573. (Устно.) Выяснить, является ли обратимой функция:

1) $y = 3x - 1$;

2) $y = x^2 + 7$;

3) $y = \frac{1}{x}$;

4) $y = \sqrt{x}$;

5) $y = x^4$;

6) $y = x^4, x < 0$.

Для того чтобы выяснить, является ли функция обратимой, необходимо проверить, является ли она взаимно-однозначной (или инъективной). Функция является взаимно-однозначной на некотором множестве, если любым двум разным значениям аргумента из этого множества соответствуют два разных значения функции. Проще говоря, если $x_1 \ne x_2$, то $f(x_1) \ne f(x_2)$. Это эквивалентно тому, что если $f(x_1) = f(x_2)$, то $x_1 = x_2$. Геометрически это означает, что любая горизонтальная прямая пересекает график функции не более чем в одной точке. Функции, которые являются строго монотонными (строго возрастающими или строго убывающими) на своей области определения, всегда являются обратимыми.

1) $y = 3x - 1$
Это линейная функция, определенная на всей числовой оси $(-\infty, +\infty)$. Проверим ее на взаимную однозначность. Предположим, что $y(x_1) = y(x_2)$. Тогда $3x_1 - 1 = 3x_2 - 1$, что приводит к $3x_1 = 3x_2$ и, следовательно, $x_1 = x_2$. Так как из равенства значений функции следует равенство аргументов, функция является взаимно-однозначной. Кроме того, ее производная $y' = 3$ всегда положительна, что означает, что функция строго возрастает на всей области определения. Следовательно, функция является обратимой.
Ответ: да.

2) $y = x^2 + 7$
Это квадратичная функция, определенная на всей числовой оси. Графиком является парабола. Эта функция не является взаимно-однозначной, так как разным значениям аргумента может соответствовать одно и то же значение функции. Например, возьмем $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$. Получим $y(-1) = (-1)^2 + 7 = 8$ и $y(1) = 1^2 + 7 = 8$. Поскольку $y(-1) = y(1)$, но $-1 \ne 1$, функция не является взаимно-однозначной и, следовательно, не является обратимой на всей своей области определения.
Ответ: нет.

3) $y = \frac{1}{x}$
Это дробно-рациональная функция, ее область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Проверим на взаимную однозначность. Если $y(x_1) = y(x_2)$, то $\frac{1}{x_1} = \frac{1}{x_2}$, откуда следует, что $x_1 = x_2$. Функция является взаимно-однозначной на своей области определения. Она строго убывает на каждом из интервалов $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$, поэтому является обратимой.
Ответ: да.

4) $y = \sqrt{x}$
Функция квадратного корня определена при $x \ge 0$. Область определения $D(y) = [0; +\infty)$. Проверим на взаимную однозначность. Если $y(x_1) = y(x_2)$, то $\sqrt{x_1} = \sqrt{x_2}$. Возводя обе части в квадрат (что корректно, так как они обе неотрицательны), получаем $x_1 = x_2$. Функция является взаимно-однозначной. Она также является строго возрастающей на всей своей области определения. Следовательно, функция обратима.
Ответ: да.

5) $y = x^4$
Это степенная функция с четным показателем, определенная на всей числовой оси. Как и в случае с $y=x^2$, эта функция не является взаимно-однозначной. Например, $y(-2) = (-2)^4 = 16$ и $y(2) = 2^4 = 16$. Так как разным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, она не является обратимой на всей области определения.
Ответ: нет.

6) $y = x^4, x < 0$
Здесь мы рассматриваем ту же функцию $y = x^4$, но на ограниченной области определения $D(y) = (-\infty; 0)$. Проверим ее на взаимную однозначность на этом интервале. Пусть $y(x_1) = y(x_2)$ для $x_1, x_2 \in (-\infty; 0)$. Тогда $x_1^4 = x_2^4$, что означает $|x_1| = |x_2|$. Поскольку $x_1$ и $x_2$ отрицательны, то $|x_1| = -x_1$ и $|x_2| = -x_2$. Таким образом, $-x_1 = -x_2$, откуда $x_1 = x_2$. Функция является взаимно-однозначной на данном интервале. Ее производная $y' = 4x^3$ отрицательна при $x < 0$, значит, функция строго убывает. Следовательно, на данном множестве функция является обратимой.
Ответ: да.